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1、12.3 角的平分线的性质角的平分线的性质(1)第12章 全等三角形 1.通过操作、验证等方式，通过操作、验证等方式， 掌握掌握角的平分线的性质角的平分线的性质定理定理。 2.能能运用运用角的平分线的性质定理角的平分线的性质定理 解决解决简单的几何问题简单的几何问题. . 1 1、角平分线的概念、角平分线的概念 2 2、点到直线距离的意义、点到直线距离的意义oBCA12OPAB3、你知道几种作角平分线的方法？、你知道几种作角平分线的方法？方法二：利用角的平分仪方法二：利用角的平分仪方法一：利用三角板方法一：利用三角板方法三：利用圆规方法三：利用圆规3、你知道几种作角的平分线的方法？、你知道几种
2、作角的平分线的方法？方法三：利用角的平分仪方法三：利用角的平分仪方法二：利用三角板方法二：利用三角板方法四：利用圆规方法四：利用圆规方法一：折纸方法一：折纸.1.1.为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？ 3.3.如果如果AOB AOB 是一个平角，那么是一个平角，那么OCOC与与ABAB是什是什么关系？么关系？ABOC2.2.为什么大于为什么大于 长为半径作弧长为半径作弧? ?MN21E ED DA A0 0B BP PC C你认为你认为PD与与PE的大小关系如何？为什么？的大小关系如何？为什么？过点过点P作作PDOA , PEOB,垂足分别为垂足分别为D，E。猜想：猜想：角的平分
3、线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。已知已知：如图，：如图，OCOC是是AOBAOB的平分线，点的平分线，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分别是，垂足分别是D D，E E。求证求证：PD=PEPD=PEDP PEAOBC角的平分线的性质定理：角的平分线的性质定理：角的平分线角的平分线上的上的点点到角的两边的到角的两边的距离相等。距离相等。注意注意：角的平分线的性质定理必须具备三个条件角的平分线的性质定理必须具备三个条件 （1 1）角平分线；（）角平分线；（2 2）垂直；（）垂直；（3 3）点在平分线上。）点在平分线上。思考思考
4、：如何用几何语言来描述？如何用几何语言来描述？ OCOC平分平分AOB,PDOAAOB,PDOA，PEOBPEOB， PD=PEPD=PE作用作用：证明：证明线段相等线段相等。 一般情况下，我们要证明一个几何中的一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，会按照类似的步骤进行，即命题时，会按照类似的步骤进行，即（1 1）明确命题中的明确命题中的已知和求证已知和求证；（2 2）根据题意，根据题意，画出图形，画出图形，并用并用数学符号表数学符号表示示已知和求证已知和求证；（3 3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程写出证明过程。下列几何书写对不对？下
5、列几何书写对不对？ 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）下列几何书写对不对？下列几何书写对不对？ 如图，如图， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）下列几何书写对不对？下列几何书写对不对？ AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等。边的
6、距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等（）例例1:1:如图，在如图，在ABCABC中，中，CC90900 0，ADAD平分平分BACBAC交交BCBC于点于点D D，若，若BCBC8,BD8,BD5 5，则点，则点DD到到ABAB的距离是多少？的距离是多少？A AC CD DB BE例例2：ABC中中,AD是它的角平分线是它的角平分线,且且BD=CD ,DE、DF分别垂直于分别垂直于AB、AC,垂垂足为足为E、F。 求证求证: EB=FC。ABCEFD 如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=CBAC=CB，ADAD为为BACBAC的平分线，的平分线，DEABDEAB于点于
7、点E E。 求证：求证：DBEDBE的周长等于的周长等于ABAB。ABCDEw 一、定理（文字语言）一、定理（文字语言）: 角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等边的距离相等.w 符号语言：符号语言： OC是是AOB的平分线的平分线, 又又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点到角的两边距离相等角的平分线上的点到角的两边距离相等). w 二、用尺规作角的平分线二、用尺规作角的平分线.w 三、三、证明一个文字几何命题一般分三步走证明一个文字几何命题一般分三步走. .EDOABPC“好题目和某种蘑菇有点相似好题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长。找到之处：
8、它们都成串生长。找到一个以后，我们应该四处看看，一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找很有可能在很近的地方又能找到更多的。到更多的。”著名美国数学家和数学教育家著名美国数学家和数学教育家 波利亚波利亚怎样解题课本：课本：P51 第第5题，题，P52 第第6题题1.作业本作业本2 P14152.全效全效A P1819 1,2,3,4,5.1 1、如图、如图, , ABCABC的角平分线的角平分线BM,CNBM,CN相交于点相交于点P,P,求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等ABCPMNDEF证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F BM为为ABC的角平分线的角平分线PD=PE同理同理,PE=PF. PDPE=PF即点即点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等你能得出什么结论？你能得出什么结论？结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上2.如图，的如图，的的外角的平分线的外角的平分线与与的外角的平分线相交于点的外角的平分线相交于点求证：点到三边求证：点到三边AB，BC，CA所在直线的距所在直线的距离相等离相等F FGH