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1、第十三章第十三章 无无 穷穷 级级 数数n无穷级数是微积分学的重要组成部分，它在函数无穷级数是微积分学的重要组成部分，它在函数表示、数值计算、研究函数性质、微分方程的求表示、数值计算、研究函数性质、微分方程的求解等诸多方面，都有着不可替代的作用。无论对解等诸多方面，都有着不可替代的作用。无论对数学理论本身，还是在科学技术的应用中，无穷数学理论本身，还是在科学技术的应用中，无穷级数都是一个有效的工具。级数都是一个有效的工具。n本章内容由常数项级数、幂级数和傅立叶级数三本章内容由常数项级数、幂级数和傅立叶级数三部分组成。主要介绍无穷级数的基本概念、基本部分组成。主要介绍无穷级数的基本概念、基本性质
2、、敛散性的审敛法、幂级数以及将函数展开性质、敛散性的审敛法、幂级数以及将函数展开为幂级数和傅立叶级数的方法及其应用为幂级数和傅立叶级数的方法及其应用。2.2.数项级数的性质数项级数的性质3.3.柯西柯西(cauchy)(cauchy)收敛准则收敛准则1.1.数项级数的基本概念数项级数的基本概念1 数项级数的概念与性质若有一个若有一个无穷数列无穷数列 u1，u2，u3，un，此此无穷数列无穷数列构成下列表达式构成下列表达式 u1+u2+u3+un+(1)称以上表达式为称以上表达式为(常数项常数项)无穷级数无穷级数，简称，简称(常数项常数项)级数级数，记为，记为1.无穷级数的概念无穷级数的概念其中
3、第其中第n n项项u un n叫作级数的叫作级数的一般项一般项或或通项通项.由上我们便得到一个数列由上我们便得到一个数列,从形式上从形式上=与发散与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念。进而就不难得出级数的收敛与发散的概念。不难知道不难知道，以前我们学过数列的收敛，以前我们学过数列的收敛换而言之，有限个数相加为一数换而言之，有限个数相加为一数,无穷多个数相加是无穷多个数相加是否仍为一个数呢？否仍为一个数呢？问问 题题则称无穷级数 收敛.s称为此级数的和.且有若 无极限，则称无穷级数 发散.定义定义1 1 若级数 的部分和数列 收敛，设其极 限值为无穷多项求和问题转无穷多项求和问题转化成数
4、列化成数列sn的极限的极限问题问题注意1:称为级数的余项，为 代替s所产生的误差.注意2:到目前为止，已了解的级数的基本概念，特别到目前为止，已了解的级数的基本概念，特别了解了级数了解了级数的收敛与发散性的收敛与发散性(敛散性敛散性)是由其是由其部分和数列部分和数列 的敛散性所决定的。的敛散性所决定的。确切地说，两者敛散性是相同的确切地说，两者敛散性是相同的 解:(1)若 ,则部分和则则级数发散级数发散。则则级数收敛级数收敛；当n为奇数或偶数时，sn为a或0，则 的极限不存在，级数发散.小结:等比级数的公比 ，级数收敛级数收敛,，级数发散级数发散.例例3 证明证明调和级数调和级数发散发散.证证
5、:为估计调和级数的部分和为估计调和级数的部分和sn，我们在区间，我们在区间1,+上引入函数上引入函数对于任一对于任一x属于属于1,+，存在，存在自然数自然数k，使得，使得，于是，于是对上式两端在区间对上式两端在区间k，k+1上取定积分上取定积分当当时时,.显然显然不存在不存在.故原故原级数发散级数发散.性质性质1:(收敛的必要条件收敛的必要条件)如果如果级数级数收敛收敛，则它的一般项，则它的一般项 趋于零，即趋于零，即2.数项级数基本性质数项级数基本性质注注1:若反之若反之，则不一定成立则不一定成立。，原级数原级数不一定收敛不一定收敛。发散发散，但但.如调和级数如调和级数即即注注2:收敛的必要
6、条件常用来证明级数发散收敛的必要条件常用来证明级数发散。，则原级数则原级数一定不收敛一定不收敛.即若即若性质性质2 若级数若级数 收敛于和收敛于和s s，则它的各项同乘，则它的各项同乘以一个常数以一个常数k,k,所得的级数所得的级数 也收敛也收敛,且其和为且其和为ks.ks.级数的每一项同乘以不级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散为零的常数后，其敛散性不变性不变性质性质3 如果级数如果级数 ,分别收敛于分别收敛于 ,即即两个收敛级数的和差仍两个收敛级数的和差仍为收敛级数为收敛级数注注1:称为级数称为级数与与注注2:若级数若级数和和发发散散。（证明）（证明）的和与差的和与差.之中有一个收敛，
7、另一个之中有一个收敛，另一个发散，则发散，则问：问：若两个都发散，情况又如何呢？若两个都发散，情况又如何呢？（思考）（思考）性质性质4 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数 的敛散性，但其的敛散性，但其和可能改变和可能改变.只是当级数收只是当级数收敛时，加上有敛时，加上有限项或去掉有限项或去掉有限项，一般会限项，一般会改变级数的和改变级数的和.性质性质5:收敛级数加括号后收敛级数加括号后(不改变各项顺序不改变各项顺序)所产生所产生 的级数仍收敛于原来级数的和的级数仍收敛于原来级数的和.注注1:这里所谓加括号这里所谓加括号,就是在就是在不改变各项的顺序不改
8、变各项的顺序的情的情 况下况下,将其某项放在一起作为新的项将其某项放在一起作为新的项,而产生的而产生的 级数级数.当然当然,加括号的方法是有无穷多种的加括号的方法是有无穷多种的.是发散的是发散的,是收敛的是收敛的.注注2:2:若级数在加括号后所得的级数发散若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级那么原级 数发散数发散.但是但是,某级数在加括号后所得的级数收某级数在加括号后所得的级数收 敛敛,则原级数未必收敛则原级数未必收敛.也就是说也就是说:发散的级数发散的级数 加括号后可能产生收敛的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如例如:但但 例例4 4 判别级数判别级数 的敛散性。的敛散性。解：解：由于
9、级数由于级数 是公比为是公比为 的几何级数，且的几何级数，且 所以所以 收敛收敛 由性质由性质2 2可知可知 也收敛也收敛例例5 5 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解:因级数因级数 与级数与级数 均收敛均收敛 由性质由性质3 3可知可知 收敛收敛.3.柯西柯西(cauchy)收敛准则收敛准则所以对于任一给定的正数所以对于任一给定的正数，取自然数，取自然数则当则当 时，对任意自然数时，对任意自然数p,p,都有都有成立成立由柯西收敛定理，级数由柯西收敛定理，级数 收敛收敛2.2.交错级数的收敛判别法交错级数的收敛判别法3.3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛4.4.任意项级数的收敛判别法
10、任意项级数的收敛判别法1.1.正项级数的收敛判别法正项级数的收敛判别法13.2 数项级数的收敛判别法 前面所讲的常数项级数中，各项均可是前面所讲的常数项级数中，各项均可是正数，负数或零。正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊正项级数是其中一种特殊情况。情况。如果级数中各项是由正数或零组成，如果级数中各项是由正数或零组成，这就称该级数为正项级数。同理也有负项级这就称该级数为正项级数。同理也有负项级数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛在级数中占有
11、很重要的地位。很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性散性讨论都会转为正项级数的敛散性.定义定义 设级数设级数为正项级数正项级数.显然显然,正项级数的部分和正项级数的部分和 s sn n 数列是数列是单调增加单调增加的，的，即即1.正项级数的收敛判别法正项级数的收敛判别法定理定理 正项级数正项级数收敛收敛有界有界.证证:“”收敛收敛收敛收敛有界有界.有界有界,又又是一个是一个单调上升单调上升数列数列存在存在收敛收敛.“”证明:这是一个正项级数，其部分和为:故sn有界，所以原级数收敛.定理定理1(比较判别法比较判别法)设设与与是两个正是两个正项级项级数数，且且 那么那么（1）如果）如果 收敛收敛，则则收敛收敛。（2）如果）如果 发散发散，则则发散发散。证证:设设和和分别表示分别表示和和的部分和的部分和，显然由显然由(1)收敛收敛有界有界有界有界也收敛也收敛.(2)发散发散无界无界无界无界也发散也发散.例例2 2 判定p-级数的敛散性.(常数常数 p0)由此可得结论，p级数当 时发散，p1时收敛.思考题：思考题：若正项级数若正项级数则下列级数的敛散性则下列级数的敛散性(2)(3)收敛，收敛，(1)(1)例例3 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性