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1、第七章第七章 无穷级数无穷级数p第一节第一节 数项级数的概念及性质数项级数的概念及性质p第二节第二节 正项级数敛散性的判别正项级数敛散性的判别p第三节第三节 任意项级数敛散性的判别任意项级数敛散性的判别p第四节第四节 幂级数幂级数p第五节第五节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开第七章第七章 无穷级数无穷级数第一节第一节 数项级数的概念及性质数项级数的概念及性质例如例如:某人现在某人现在元年金元年金,求其应趸交的保费求其应趸交的保费?设银行年利率为设银行年利率为岁的人活过岁的人活过 年的概率年的概率,趸交的保费为趸交的保费为,则则岁岁,在生存期内每年获得在生存期内每年获得为为如果如果数列数列,则
2、则称称 为为一个数一个数项项无无穷级穷级数数,简简称称称称为为首首项项,数数项级项级数数简记为简记为第一节第一节 数项级数的概念及性质数项级数的概念及性质一一 数项级数的概念数项级数的概念1.数项级数数项级数是一个是一个数项级数或级数数项级数或级数.注注称为通项或一般项称为通项或一般项.2.第第次部分和次部分和 对于级数对于级数称称为级为级数的第数的第记记作作次部分和次部分和,3.部分和数列部分和数列 数列数列称称为级为级数的数的部分和数列部分和数列,简记为简记为注注 关系式关系式.设设是是级级数数的部分和数列的部分和数列,极限存在极限存在值为值为则则称称级级数数是收是收敛敛的的,和和为为极限
3、不存在极限不存在,是是发发散的散的,没有和没有和.4.收敛与发散收敛与发散如果如果如果如果则称级数则称级数重点重点定义定义注注 做题步骤做题步骤:(1)求求(2)求求例例1 讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.解解故级数收敛故级数收敛,和为和为例例2 讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性综上所述综上所述:时级数收敛时级数收敛,和为和为时级数发散时级数发散.解解(1)此级数为等比级数或几何级数此级数为等比级数或几何级数.(2)此级数可写成此级数可写成注意事项注意事项例例3 讨论调和级数讨论调和级数的敛散性的敛散性.解解故调和级数发散故调和级数发散.二二 级数的基本性质级数的基本性质性质性质1 设设是常
4、数是常数,则则收敛于和收敛于和与与收敛于和收敛于和证证设设的第的第次部分和为次部分和为的第的第次部分和为次部分和为因因敛散敛散性相同性相同.且且时时,故故性质性质2 如果如果与与都收敛都收敛,则则也收敛也收敛,且且证证 设设与与次部分和次部分和的第的第分别为分别为与与则则故故(1)与与都收敛都收敛,则则也收敛也收敛.(2)收敛收敛发散发散,则则发散发散.(3)与与都发散都发散,则则不确定不确定.例如例如发散发散,发散发散,仍发散仍发散.发散发散,发散发散,收敛收敛.例例4 判定下列级数判定下列级数的敛散性的敛散性.所以收敛所以收敛所以发散所以发散所以发散所以发散在级数中去掉或添加在级数中去掉或
5、添加有限有限项项,级数的级数的敛散性不变敛散性不变.证证(1)(2)(2)的第的第次部分和为次部分和为(1)的第的第次部分和分别为次部分和分别为性质性质3则则存在存在存在存在存在存在故故次次与与性质性质4收敛级数任意加括号后仍收敛于收敛级数任意加括号后仍收敛于原来的和原来的和.证证设设的第的第次部分和为次部分和为加括号后所成的新级数为加括号后所成的新级数为的第的第 次部分和为次部分和为新新级级数数收收敛敛.(2)加括号后发散原级数一定发散加括号后发散原级数一定发散(3)加括号后收敛原级数敛散性不确定加括号后收敛原级数敛散性不确定例如例如发散发散收敛收敛收敛收敛收敛收敛(1)收敛级数任意加括号后
6、仍收敛收敛级数任意加括号后仍收敛例例5 判断级数的敛散性判断级数的敛散性解解(2)收敛收敛(3)发散发散(1)发散发散原级数发散原级数发散.性质性质5 如果级数如果级数收敛收敛,则则证证 设设的的次部分和为次部分和为,和为和为则则从而从而(2)如果如果则级数一定发散则级数一定发散.(1)如果级数收敛如果级数收敛,则则(3)如果如果则级数不一定收敛则级数不一定收敛.(4)如果级数发散如果级数发散,则则不一定不等于零不一定不等于零.例例6 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.解解因因故级数发散故级数发散.做题参考思路做题参考思路:(1)是否特殊级数是否特殊级数(等比级数等比级数,调和级调和级数数)(2)一般项是否趋于零一般项是否趋于零(3)其它基本性质其它基本性质(4)定义定义作业题作业题习题七习题七(A)1、2、3、4、5.