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1、infinite series第第1111章章 无无 穷穷 级级 数数 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质2为什么要研究无穷级数为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、如计算函数值、出它的威力出它的威力. . 在自然科学和工程技术中在自然科学和工程技术中, 无穷级数是数和函数的一种表现形式无穷级数是数和函数的一种表现形式. .因无穷级数中包含有许多非初等函数因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时故它在积分运算和微分方程求解时, 也呈现也呈现如谐波分析等如谐波分析等. .造函数值表造函数值表). .级数来分
2、析问题级数来分析问题,也常用无穷也常用无穷 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质3常数项级数的概念常数项级数的概念收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质柯西审敛原理柯西审敛原理 小结小结 思考题思考题 作业作业 第第11 11章章 无穷级数无穷级数constant term infinite series11.1 常数项级数常数项级数的概念和性质的概念和性质 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质4引例引例 依次作圆内接正依次作圆内接正),2,1,0(23 nn边形边形, 这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 A .0a1a 2a na ,时时 n即即 na
3、aaaA210设设a0表示内接正三角形面积表示内接正三角形面积, ak表示表示边数增加时边数增加时增加的面积增加的面积, 则圆内接正则圆内接正n23 一、一、常数项级数常数项级数的概念的概念用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积. .边形面积为边形面积为 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质51. 级数的定义级数的定义 nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项如如 ;1031003103 n;1)1(41312111 nn.)1(11111 n以上均为以上均为(常常)数项数项级数级数.(1) 11.1 常数项级数的概念与性质常
4、数项级数的概念与性质6这样这样, 级数级数(1)对应一个部分和数列对应一个部分和数列: nnuuus21称无穷级数称无穷级数(1)的的,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 级数的收敛与发散概念级数的收敛与发散概念按通常的加法运算一项一项的加下去按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数为级数(1)的的,无穷级数定义式无穷级数定义式(1)的含义是什么的含义是什么?也算不完也算不完,永远永远那么如何计算那么如何计算?前前n项和项和部分和部分和. niiu1 nnnuuuuu3211(1)从无限到有限从无限到有限, 再从有限再从有限(近似近似)到无限到无限(精确精确
5、) 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质7部分和数列可能存在极限部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限也可能不存在极限.定义定义11.1,1收敛收敛 nnu.1的和的和叫做级数叫做级数这时极限这时极限 nnus nuuus21.1发散发散则称无穷级数则称无穷级数 nnu的的如果级数如果级数 1nnu.limssnn 即即则称无穷级数则称无穷级数并写成并写成即即常数项级数收敛常数项级数收敛(发散发散).nns lim(不存在不存在)存在存在当当n无限增大时无限增大时,部分和数列部分和数列sn有极限有极限s,如果如果sn没有极限没有极限, 11.1 常数项级数的概念与性质常数项
6、级数的概念与性质8nnssr 21nnuu 1iinu0lim nnr对对收敛收敛级数级数(1),为级数为级数(1)的的余项余项或或余和余和. .显然有显然有当当n充分大时充分大时,级数的敛散性它与部分和数列是否有极限级数的敛散性它与部分和数列是否有极限是等价的是等价的. nnnuuuuu3211(1)称差称差, ssn 误差误差为为. |nr 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质9例例2)1(321 nnnsn而而 nnslim所以所以, n321的部分和的部分和 级数级数 2)1(limnnn 级数发散级数发散. 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质10
7、解解,1时时如果如果 q12 nnaqaqaqasqaqan 1qaqqan 11(重要重要)例例 讨论讨论等比级数等比级数(几何级数几何级数)的收敛性的收敛性.)0(20 aaqaqaqaaqnnn,1时时当当 q, 0lim nnq,1limqasnn 级数级数收敛收敛; 因为因为 所以所以 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质11,1时时当当 q,lim nnq,lim nns级数级数发散发散;,1时时如果如果 q,1时时当当 q,1时时当当 q, nasn级数级数发散发散; aaaa,lim不不存存在在nns 级数级数发散发散. 综上综上:.,1,10 发散发散时时当
8、当收敛收敛时时当当qqaqnn级数变为级数变为qaqqasnn 11 因为因为 所以所以 所以所以)0(0 aaqaqaaqnnn 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质12解解)12)(12(1 nnun)121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn例例 判定级数判定级数的收敛性的收敛性. )12()12(1531311nn因为因为所以所以 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质13)1211(21limlim nsnnn)1211(21 nsn21 其余项为其余项为nnssr 121
9、12121n即即21 s.21和为和为.12121 n所以所以所以级数收敛所以级数收敛, 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质14例例 12nnn 因为因为nnns223222132 ns2后式减前式后式减前式, 得得nnnnnnns2)212()2223()2122(11122 nnn2212121112 证证证明级数证明级数并求其和并求其和.收敛收敛,12223221 nnnnn2211211 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质15 nnnns2211211故故 nnsslim 所以所以, 此级数收敛此级数收敛,nnn22121 且其和为且其和为 2.
10、 )2212(lim1nnnn2 12nnn 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质的部分和分别为的部分和分别为 ns.n 及及则则 n nks于是于是,0时时不不存存在在极极限限且且当当 ksn也不存在极限也不存在极限.nnks , ssn当当nnks 证证性质性质11.111.1 设常数设常数, 0 k则则 11nnnnkuu 与与有相同的敛散性有相同的敛散性. 11nnnnkuu 与与令令 nkukuku21;ks所以所以, 11nnnnkuu 与与有相同的敛散性有相同的敛散性.结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变
11、敛散性不变. .二、二、收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质 )(21nuuuk16 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质17讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.)0(ln31 aann解解例例因为因为 1ln3nna为公比的等比级数为公比的等比级数,是以是以aln故故,ee1时时当当 a, 1|ln| a级数级数收敛收敛;级数级数发散发散.e10 a当当, 1|ln| a .,1,10发散发散时时当当收敛收敛时时当当qqaqnn,e时时或或 a 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质18性质性质11.211.2,11 nnnnvu 与与设有两个级数设有两个级数
12、,1sunn 若若,1 nnv.)(1 svunnn则则 1nnu若若 1nnv)(1nnnvu 则则发散发散.,1 nnu若若收敛收敛,发散发散, 1nnv均发散均发散,)(1nnnvu 则则敛散性敛散性不确定不确定.证证 niiivu1)(极限的性质极限的性质 niiinvu1)(lim niinniinvu11limlim即证即证.级数的部分和级数的部分和 niiv1 niiu1 结论结论: : 收敛收敛级数可以逐项相加与逐项相减级数可以逐项相加与逐项相减. . 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质19 例例 11131,21nnnn 1121nn 1121nn都收敛都
13、收敛. 131nn 2111 113131nn无穷递减等比数列的和无穷递减等比数列的和qaS 11 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn 113121nnn311131 .25 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质20,)1()1()1( 都都发散发散. 但但,111 )1(1级数收敛级数收敛.例例 000 )1(10 若两级数都发散若两级数都发散,)(1nnnvu 不一定发散不一定发散. . 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质21将级数将级数 1nnu的前的前 k 项去掉项去掉, 1nnku的部分和为的部分和为 nllknu1 knks
14、s nkns 与与 ,时时由于由于 n级数敛散性相同级数敛散性相同. 当级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为.kss 类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同极限状况相同, 故新旧两故新旧两所得新级数所得新级数性质性质11.311.3 添加、去掉添加、去掉或改变或改变有限项有限项不影响不影响证证一个级数的敛散性一个级数的敛散性.推论推论11.211.2 在级数在级数中中添加、去掉添加、去掉或改变或改变有限项有限项不影响一个级数的敛散性不影响一个级数的敛散性. 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质22性质性质11.411.4 1nn
15、u设级数设级数收敛收敛, 在此在此收敛收敛级数内级数内可以任意加可以任意加(有限个或无限个有限个或无限个)括号括号, 一个级数加括号后所得新级数发散一个级数加括号后所得新级数发散, 注注则原级数发散则原级数发散.事实上事实上,加括后的级数就应该收敛了加括后的级数就应该收敛了.设原来的级数收敛设原来的级数收敛,则根据则根据性质性质11.4, )11()11(例如例如 1111 收敛收敛 发散发散 一个级数加括号后收敛一个级数加括号后收敛, 原级数敛散性不确定原级数敛散性不确定.收敛收敛于原级数的和于原级数的和所得新级数所得新级数仍仍要强调的是要强调的是, 收敛收敛级数一般不能去掉无穷多个级数一般
16、不能去掉无穷多个括号括号;发散发散级数一般不能加无穷多个括号级数一般不能加无穷多个括号.(这个性质也称这个性质也称无穷和的结合律无穷和的结合律). 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质23性质性质11.4 11.4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级收敛于原级数的和数的和. .设收敛级数设收敛级数,1 nnus若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧, )()(54321uuuuu则新级数的部分和数列则新级数的部分和数列 ), 2 , 1( mm 为原级数部分为原级数部分和数列和数列 ), 2 , 1( nsn的一个子数列的一个子数列,nnmms
17、limlim . s 因此必有因此必有例如例如证证 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质240lim nnu证证,1 nnus nu nnulimss 此定理是此定理是级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件.设设则则所以所以1limlim nnnnss1 nnss. 0 定理定理11.5,1收敛收敛若级数若级数 nnu则则注注(1) 此定理此定理常用来判别级数发散常用来判别级数发散;(3) 此定理是此定理是必要条件而不是充分条件必要条件而不是充分条件. .(2) 也可用也可用此定理此定理求或验证极限为求或验证极限为“0”的极限的极限;即即,limssnn 0lim nnu有有
18、n131211如如 调和级数调和级数但级数是却是发散的但级数是却是发散的. (后面将给予证明后面将给予证明) 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质25例例 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn 133ln31nnnn)3(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件常用判别级数发散常用判别级数发散. ., 0lim nnu解题思路解题思路 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质26)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn解解 由于由于 nnulim81 发散发散0 )32)
19、(12)(12(52lim3 nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn解解 由于由于 nnulim nnn111lim30 发散发散e3 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质27 133ln31nnnn)3( 解解 11nn 131nn而级数而级数33ln r33ln| r所以这个等比级数所以这个等比级数 133ln31nnnn发散发散.由由性质性质11.1知知,发散发散.因调和级数因调和级数发散发散,为公比的等比级数为公比的等比级数, 133lnnnn是以是以1 收敛收敛.由性质由性质11.2知知, 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质28 1nnu设设为
20、为收敛级数收敛级数, a为非零常数为非零常数,试判别级数试判别级数 1)(nnau的敛散性的敛散性.解解 因为因为 1nnu收敛收敛, 故故. 0lim nnu从而从而)(limaunn 0 故故级数级数 1)(nnau发散发散.a 0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质三、柯西审敛原理（柯西准则）三、柯西审敛原理（柯西准则） 定理定理11.6(11.6(判别级数收敛性的柯西收敛原理判别级数收敛性的柯西收敛原理) ), 0 , 0 N,时时当当Nn 有有证证 设所给级数部分和数列为设所给级数部分和数列为sn由判断数列收敛性
21、的柯西准则知由判断数列收敛性的柯西准则知,收敛收敛级数级数 1nnu对于任意正整数对于任意正整数p,.|21 pnnnuuu |mnss柯西收敛准则柯西收敛准则 数列数列xn收敛的充要条件是收敛的充要条件是:有有,时时当当NnNm , 0N正整数正整数 nmxx数列数列sn收敛的收敛的充要条件是充要条件是:, 0 , 0 N,时时当当Nnm 有有29), 2 , 1(| pssnpn 显然显然,可改写为当可改写为当,时时Nn 有有,时时即当即当Nn 有有.|21 pnnnuuu)., 2 , 1( n 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质30 11312111nnn利用柯西收
22、敛原理证明利用柯西收敛原理证明调和级数调和级数发散发散.例例证证 考虑此级数的一段考虑此级数的一段 nnn111nn2111 显然显然,nn2111 nnn212121 21 这说明这说明: 不论不论n多么大多么大,调和级数的这一段的绝对值调和级数的这一段的绝对值都不可能任意小都不可能任意小,由柯西收敛原理得知由柯西收敛原理得知,调和级数调和级数发散发散.柯西收敛准则柯西收敛准则 数列数列xn收敛的充要条件是收敛的充要条件是:有有,时时当当NnNm , 0N正整数正整数 nmxx 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质31 121nn利用柯西收敛原理判定级数利用柯西收敛原理判定
23、级数例例解解的收敛性的收敛性.因对任意正整数因对任意正整数p, 都有都有|21pnnnuuu 222)(1)2(1)1(1pnnn )(1(1)2)(1(1)1(1pnpnnnnn pnpnnnnn1112111111pnn 11,1n 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质32, 0 ,1 N有有对于任意正整数对于任意正整数p, |21pnnnuuu.112收敛收敛级数级数 nn按柯西收敛原理按柯西收敛原理,所以所以取正整数取正整数,时时则当则当Nn 成立成立.|21pnnnuuu n1 柯西收敛准则柯西收敛准则 数列数列xn收敛的充要条件是收敛的充要条件是:有有,时时当当N
24、nNm , 0N正整数正整数 nmxx 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质33,)1(, 2 , 1, 0111收敛收敛发散发散若若设设 nnnnnnaana则下列结论正确的是则下列结论正确的是 12112.,)A(nnnnaa发散发散收敛收敛研究生考题研究生考题(数学三数学三) 选择选择, 4分分 11212.,)B(nnnnaa发散发散收敛收敛 1212.)()C(nnnaa收敛收敛 1212.)()D(nnnaa收敛收敛(D)对对 ns)()()(2124321nnaaaaaa nkkka211)1(因为因为,)1(11收敛收敛 nnna nknnnas211)1(2
25、)1()1(2nnss 即即所以所以有极限有极限,有极限有极限,所以所以(D)成立成立. nkknkkknaaas211212)(C) 错错因为因为所以所以,01发散发散且且 nnnaa,21)0(2 nkknas即即,)0(2 nnss 1212.)(nnnaa发散发散所以所以(A)错错 则则 12112.,nnnnaa发散发散收敛收敛若若,)(1212发散发散 nnnaa则与则与(D)正确矛盾正确矛盾.同理同理(B)错错. 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质34常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法:(3) 按基本性质按基本性质;则级数收敛则级数收
26、敛;由定义由定义, ssn若若(2), 0lim nnu当当则级数发散则级数发散;一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质四、小结四、小结级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件记住记住等比级数等比级数(几何级数几何级数)的收敛性的收敛性 0nnaq(1)调和级数调和级数 11nn发散发散柯西审敛原理柯西审敛原理(4) 按按柯西审敛原理柯西审敛原理. 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质35思考题思考题, 0lim nnu若若是非题是非题.1必收敛必收敛则则 nnu,1发散发散若若 nnu. 0lim nnu则必有则必有, 0lim nnu若若.1发散发散则必有则必有 nnu非非非非是是)1()2()3( 11.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质36作作 业业习题习题11.1(47811.1(478页页) )