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1、数项级数的概念数项级数的概念 主讲人：陈亦佳主讲人：陈亦佳玉溪师范学院理学院玉溪师范学院理学院 这就是这就是“无限个数相加无限个数相加”的例子的例子.引例引例1 1 战国时代哲学家庄周所著的庄子战国时代哲学家庄周所著的庄子.天下篇引天下篇引用过一句话：用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”.”把每天截下那一部分的长度“加”起来：引例引例2.用圆内接正多边形面积逼近圆面积A.内接正六边形的面积为 内接正三边形的面积为 以每一条边为底，分别作顶点在圆周上的等腰三角形等腰三角形面积和为内接正十二边形其面积为 依次类推定义定义定义定义1 1：给定一个数列将各项依即称
2、上式为数项级数，其中第 n 项叫做级数的通项,设级数（1）的前 n 项和是称为级数的n项部分和.次用加号连接起来,(1)即定义定义定义定义2 2：当级数（1）收敛时,称差值为级数（1）的余余和和.则称级数（1）发散发散.显然若级数（1）的部分和数列则称级数（1）收敛收敛,并称 S 为级数(1)的和和,记作若部分和数列例例例例1.1.讨论讨论数项数项级数级数的敛散性的敛散性的敛散性的敛散性.解：解：所以这个数项级数收敛，而且它的和等于所以这个数项级数收敛，而且它的和等于1.1.例例例例2 2 2 2.讨论讨论数项数项级数级数的敛散性的敛散性的敛散性的敛散性.解：解：显然，这个部分和数列发散，因此数项级数发散，显然，这个部分和数列发散，因此数项级数发散，所以这个级数 收敛,其和为 1.技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和例例例例3 3.判别判别下面下面级数的敛散性级数的敛散性:解：解：的敛散性的敛散性的敛散性的敛散性.例例例例4 4.讨论几何级数(q 称为公比)的敛散性.解解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为2).若因此级数发散;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时,几何级数收敛;时,几何级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.例例例例5 5 5 5.证明调和级数解解:设调和级数的n项部分和是由上册2.2例14可知，从而，调和级数发散。谢谢