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1、2.2.数项级数的性质数项级数的性质3.3.柯西柯西(cauchy)(cauchy)收敛准则收敛准则1.1.数项级数的基本概念数项级数的基本概念1 1 数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质第1页/共39页若有一个无穷数列 u1，u2，u3，un，此无穷数列构成下列表达式 u1+u2+u3+un+(1)称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为1.无穷级数的概念其中第n n项u un n叫作级数的一般项或通项.第2页/共39页第3页/共39页第4页/共39页 由上我们便得到一个数列由上我们便得到一个数列,从形式上从形式上=与发散与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念。进
2、而就不难得出级数的收敛与发散的概念。不难知道，以前我们学过数列的收敛换而言之，有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢？问问 题题第5页/共39页则称无穷级数 收敛.s称为此级数的和.且有若 无极限，则称无穷级数 发散.定义1 1 若级数 的部分和数列 收敛，设其极 限值为无穷多项求和问题转化成数列sn的极限问题第6页/共39页注意1:称为级数的余项，为 代替s所产生的误差.第7页/共39页注意2:到目前为止，已了解的级数的基本概念，特别了解了级数的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列 的敛散性所决定的。确切地说，两者敛散性是相同的 第8页/共39页第9页/共39页解:(1)若 ,
3、则部分和第10页/共39页则级数发散。则级数收敛；第11页/共39页当n为奇数或偶数时，sn为a或0，则 的极限不存在，级数发散.小结:等比级数的公比 ，级数收敛级数收敛,，级数发散级数发散.第12页/共39页例例3 证明证明调和级数调和级数发散发散.证:为估计调和级数的部分和sn，我们在区间1,+上引入函数对于任一x属于1,+，存在自然数k，使得，于是对上式两端在区间k，k+1上取定积分当当时时,.显然显然不存在不存在.故原故原级数发散级数发散.第13页/共39页性质性质1:(收敛的必要条件收敛的必要条件)如果如果级数级数收敛收敛，则它的一般项，则它的一般项 趋于零，即趋于零，即2.数项级数
4、基本性质第14页/共39页注1:若反之，则不一定成立。，原级数不一定收敛。发散，但.如调和级数即第15页/共39页注2:收敛的必要条件常用来证明级数发散。，则原级数一定不收敛.即若第16页/共39页性质性质2 若级数 收敛于和s s，则它的各项同乘以一个常数k,k,所得的级数 也收敛,且其和为ks.ks.级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变第17页/共39页性质性质3 如果级数 ,分别收敛于 ,即两个收敛级数的和差仍为收敛级数第18页/共39页注注1:称为级数与注注2:若级数若级数和发散。（证明）的和与差.之中有一个收敛，另一个发散，则问：若两个都发散，情况又如何呢？（思考）第19页
5、/共39页性质性质4 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数 的敛散性，但其和可能改变.只是当级数收敛时，加上有限项或去掉有限项，一般会改变级数的和.第20页/共39页性质性质5:收敛级数加括号后收敛级数加括号后(不改变各项顺序不改变各项顺序)所产生所产生 的级数仍收敛于原来级数的和的级数仍收敛于原来级数的和.注注1:这里所谓加括号这里所谓加括号,就是在就是在不改变各项的顺序不改变各项的顺序的情的情 况下况下,将其某项放在一起作为新的项将其某项放在一起作为新的项,而产生的而产生的 级数级数.当然当然,加括号的方法是有无穷多种的加括号的方法是有无穷多种的.是发散的是发散的,是收敛的是收敛的.注注
6、2:2:若级数在加括号后所得的级数发散若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级那么原级 数发散数发散.但是但是,某级数在加括号后所得的级数收某级数在加括号后所得的级数收 敛敛,则原级数未必收敛则原级数未必收敛.也就是说也就是说:发散的级数发散的级数 加括号后可能产生收敛的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如例如:但但 第21页/共39页例4 判别级数 的敛散性。解：由于级数 是公比为 的几何级数，且 所以 收敛 由性质2可知 也收敛第22页/共39页例例5 5 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解:因级数因级数 与级数与级数 均收敛均收敛 由性质由性质3 3可知可知 收敛收敛.第23页/共3
7、9页3.柯西(cauchy)收敛准则第24页/共39页第25页/共39页第26页/共39页第27页/共39页所以对于任一给定的正数所以对于任一给定的正数，取自然数，取自然数则当则当 时，对任意自然数时，对任意自然数p,p,都有都有成立成立由柯西收敛定理，级数由柯西收敛定理，级数 收敛收敛第28页/共39页2.2.交错级数的收敛判别法交错级数的收敛判别法3.3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛4.4.任意项级数的收敛判别法任意项级数的收敛判别法1.1.正项级数的收敛判别法正项级数的收敛判别法13.2 13.2 数项级数的收敛判别法数项级数的收敛判别法第29页/共39页 前面所讲的常数项级数中
8、，各项均可是正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊情况。如果级数中各项是由正数或零组成，这就称该级数为正项级数。同理也有负项级数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.第30页/共39页定义定义 设级数设级数为正项级数.显然,正项级数的部分和 s sn n 数列是单调增加的，即1.正项级数的收敛判别法第31页/共39页定理定理 正项级数正项级数收敛有界有界.证证:“”收敛收敛收敛有界有界.有界有界,又又是一个是一个单调上升单调上升数列数列存在存在收敛.“”第32页/共39页证明:这是一个正项级数，其部分和为:故sn有界，所以原级数收敛.第33页/共39页定理1(比较判别法)设与是两个正项级数，且 那么（1）如果 收敛，则收敛。（2）如果 发散，则发散。证:设和分别表示和的部分和，显然由(1)收敛有界有界也收敛.(2)发散无界无界也发散.第34页/共39页例2 2 判定p-级数的敛散性.(常数 p0)第35页/共39页第36页/共39页由此可得结论，p级数当 时发散，p1时收敛.第37页/共39页思考题：若正项级数则下列级数的敛散性(2)(3)收敛，(1)(1)例3 判断下列级数的敛散性第38页/共39页感谢您的观看！第39页/共39页