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1、积分变换积分变换第第5讲讲1拉普拉斯变换2对于一个函数j(t),有可能因为不满足傅氏变换的条件,因而不存在傅氏变换.但是对之进行某些处理后，便可进行傅氏变换了。因此,首先将j(t)乘上u(t),这样t小于零的部分的函数值就都等于0了；而大家知道在各种函数中,指数函数ebt(b0)的上升速度是最快的了,因而e-bt下降的速度也是最快的.因此,几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存在。3tf(t)Otf(t)u(t)e-btO4对函数j(t)u(t)e-bt(b0)取傅氏变换,可得5定义 设函数f(t)当t0时有定义,而且积分在s的某一域内
2、收敛,则由此积分所确定的函数可写为称此式为函数f(t)的拉普拉斯变换式(简称拉氏变换式-单边拉氏变换),记为F(s)=L f(t)F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称为象函数).而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为f(t)=L-1F(s)也可记为f(t)F(s).6例1 求单位阶跃函数根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)0时收敛,而且有7例2 求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).根据(2.1)式,有这个积分在Re(s)k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为 Re(s)Re(k)8拉氏变换的存在定理 若函数f(t)满足:1,在t0的任一有限区
3、间上分段连续2,当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M0及c0,使得|f(t)|Mect,0tc上一定存在,右端的积分在Re(s)c1c上绝对收敛而且一致收敛,并且在Re(s)c的半平面内,F(s)为解析函数.9MMectf(t)tO10证 由条件2可知,对于任何t值(0t0(即bc+=c1c),则|f(t)e-st|Me-t.所以根据含参量广义积分的性质可知,在Re(s)c1c上拉氏变换的积分不仅绝对收敛而且一致收敛.11在(2.1)式的积分号内对s求导,则由此可见,上式右端的积分在半平面Re(s)c1c内也是绝对收敛且一致收敛,从而微分与积分可以交换顺序。12因此得这就
4、表明,F(s)在Re(s)c内是可微的.根据复变函数的解析函数理论可知,F(s)在Re(s)c内是解析的.13例3 求 f(t)=sinkt (k为实数)的拉氏变换14同理可得15G-函数(gamma函数)简介,在工程中经常应用的G-函数定义为利用分部积分公式可证明16例4 求幂函数f(t)=tm(常数m-1)的拉氏变换.为求此积分,若令st=u,s为右半平面内任一复数,则得到复数的积分变量u.因此,可先考虑积分17积分路线是OB直线段,B对应着sR=rRcosq+jrRsinq,A对应着rRcosq,取一很小正数,则C对应s=rcosq+jrsinq,D对应rcosq.考察R,的情况.qaO
5、DCAt(实轴)虚轴Bv18根据柯西积分定理,有192021同理2223例5 求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的拉氏变换bOb2b3b4btf(t)242526对一般周期函数也成立27满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处有界时,积分中的下限取中的下限取0+或或0-不会影响其结果不会影响其结果.但如果但如果f(t)在在t=0处包含脉冲函数时处包含脉冲函数时,就必须明确指出就必须明确指出是是0+还是还是0-,因为因为28当f(t)在t=0处有界时,则当f(t)在t=0处包含了脉冲函数时,则29为了考虑这一情况,需将进行拉氏变换的函数f(t),当t0时有定义扩大为当t0及t=0的任意一个邻域内有定义.这样,原来的拉氏变换的定义但为了书写方便起见,仍写成(2.1)式的形式.30例6 求单位脉冲函数d(t)的拉氏变换.解：解：31例7 求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b0)的拉氏变换.解：解：32在今后的实际工作中,我们并不要求用广义积分的方法来求函数的拉氏变换,有现成的拉氏变换表可查,就如同使用三角函数表,对数表及积分表一样.本书已将工程实际中常遇到的一些函数及其拉氏变换列于附录II中,以备查询.33例8 求sin 2t sin 3t的拉氏变换解：解：34作业 习题35