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1、电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录已修改第拉普拉斯变换 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录本章的学习目的和要求 了解拉普拉斯变换的定义和基本性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳的基础上，掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性电路的方法和步骤；在求拉氏反变换时，要求掌握分解定理及其应用。电路分析基础电路分析基础电路分析
2、基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录学习目标：学习目标：了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、象函数的概念。在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换(简称拉氏变换)就是其中的一种。拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路)的运动过程，在工程上有着广泛的应用。拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。只要f(t)在区间0,有定义，则有12.1 12.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录 上式是拉氏
3、变换的定义式。由定义式可知：一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st称为收敛因子，收敛因子中的s=c+j是一个复数形式的频率，称为复频率复频率，其实部恒为正，虚部即可为正、为负，也可为零。上式左边的F F(s s)称为复频域函数称为复频域函数，是时域函数时域函数f f(t t)的拉氏变换，F(s)也叫做f(t)的象函数象函数。记作 式中L 是算子，表示对括号内的函数进行拉氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。如复频域函数F(s)已知，要求出与它对应的时域函数f(t)，又要用到拉氏反变换，即电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分
4、析基础返节目录返节目录返节目录返节目录 该式左边的f(t)在这里称为F(s)的原函数原函数，此式表明：如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又可得到它的象函数F(s)，记作：式中L-1 也是一个算子，表示对括号内的象函数进行拉氏反变换。在拉氏变换中，一个时域函数f(t)惟一地对应一个复频域函数F(s)；反过来，一个复频域函数F(s)惟一地对应一个时域函数f(t)，即不同的原函数和不同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变换的惟一性拉氏变换的惟一性。注意在拉氏变换或反变换的过程中，原函数一律用小原函数一律用小写字母表示写字母表示，而象函数则一律用相应的大写字母表示象函数则一律用相应的大写
5、字母表示。如电压原函数为u u(t t)，对应象函数为U U(s s)。拉普拉斯变换的唯一性电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录应用举例应用举例求指数函数f(t)=et 、f(t)=et(0,是常数)的拉普拉斯变换。由拉氏变换定义式可得此积分在s时收敛，有：同理可得f(t)=et 的拉氏变换为：电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录求单位阶跃函数f(t)=(t)、单位冲激函数f(t)=(t)、正弦函数f(t)=sint的象函数。由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为同理，单位冲激函数的象函数为正弦函数si
6、n t的象函数为：应用举例应用举例电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录什么是拉普拉斯什么是拉普拉斯变换？什么是拉变换？什么是拉普拉斯反变换？普拉斯反变换？什么是原函数？什么是原函数？什么是象函数？什么是象函数？二者之间的关系二者之间的关系如何？如何？已知原函数求象函数的过程称为拉普拉斯变换；而已知象函数求原函数的过程称为拉普拉斯反变换。原函数是时域函数，一般用小写字母表示，象函数是复频域函数，用相应的大写字母表示。原函数的拉氏变换为象函数；象函数的拉氏反变换得到的是原函数。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目
7、录学习目标：学习目标：了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。1.代数性质 上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。12.2 12.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录应用举例应用举例电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录2、微分性质导数性
8、质表明拉氏变换把原函数求导数的运算转换成象函数乘以s后减初值的代数运算。如果f(0-)=0，则有:电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录3、积分性质微分性质可参看课本172页下至173页上。课本173页的表12.1为一些常用函数的拉普拉斯变换表，在解题时可直接套用。拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性质、延迟性质、频移性质等，由课本P173页表12.1表示了这些性质的具体应用。拉普拉斯变换有拉普拉斯变换有哪些性质？哪些性质？利用拉普拉利用拉普拉斯变换的性斯变换的性质，对解决质，对解决问题有何种问题有何种效益？效益？利用拉普拉斯变换的性质可
9、以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程，利用这些性质课本表12.1中给出了一些常用的时间函数的拉氏变换。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录学习目标：学习目标：熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳，掌握应用拉氏变换分析线性电路的方法。时域条件下电阻电路有uR=RiR，把该式进行拉氏变换可得到电阻元件上的电压、电流复频域关系式为：1.电阻元件的运算电路时域的电阻电路12.4.1 单一参数的运算电路+复频域的
10、电阻运算电路12.4 12.4 应用拉氏变换分析线性电路应用拉氏变换分析线性电路电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录2、电感元件的运算电路时域条件下电感电路u、i关系：+L+复频域的电感运算电路1sL+-复频域的电感运算电路2+-sL1对时域条件下电感电路u、i关系式进行拉氏变换后可得：由此得复频域运算电路：由此得复频域运算电路：运算阻抗运算阻抗运算导纳运算导纳相应附加相应附加电流源电流源相应附加相应附加电压源电压源时域的电感电路电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录3、电容元件的运算电路时域的电容电路+C)
11、(Cti时域条件下电容电路u、i关系：对时域条件下电容电路u、i关系式进行拉氏变换后可得：由此得电容运算电路：运算阻抗运算导纳相应附加电流源相应附加电压源+复频域的电容运算电路1+-sC1+-sC复频域的电容运算电路2+-电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录12.4.3 应用拉氏变换分析线性电路 拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为复频域的代数方程，更加方便于运算和求解；变换自动包含初始状态，既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。应用拉氏变换求解电路的一般步骤如下：应用拉氏变换求解电路
12、的一般步骤如下：1、确定和计算各储能元件的初始条件；2、将t0时的时域电路变换为相应的运算电路；3、用以前学过的任何一种方法分析运算电路，求出待求响 应的象函数；4、对待求响应的象函数进行拉氏反变换，即可确定时域中 的待求响应。电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录求下图所示电路在t0时各支路上的电流响应。(设开关闭合以前电路已达稳态)ik S(t=0)例题 电路图110VuC111FiCiL1HIk(s)例题 运算电路图10/s11IC(s)IL(s)5/ss5ss1首先确定动态元件的初始条件由此可得出相应运算电路如图示：据运算电路求两支路电流的象函数电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录对运算电路上结点列KCL可得再对各支路电流进行拉氏反变换 Ik(s)例题 运算电路图10/s11IC(s)IL(s)5/ss5ss1电路分析基础电路分析基础电路分析基础电路分析基础返节目录返节目录返节目录返节目录