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1、第第3 3节节 解析函数的孤立奇点与留数解析函数的孤立奇点与留数 留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。一.孤立奇点及其分类定义1 若 在 不解析，但在 的某一去心邻域内解析，则称 是 的孤立奇点。（1）为 的可去奇点：若 中无负幂项根据Laurent级数的形式分类：设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域内，的Laurent 展式为:孤立奇点可按以下两种方式分类：（3）为 的本性奇点：若 中负幂项有无穷多项（2）为 的(m 级)极点：若 中负幂项只有有限项(m项)定义2 根据 的极 限分类：性质1性质2例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：解解解解以上讨论了
2、当 为有限奇点时，孤立奇点的分类。现讨论若 在无穷远点的去心邻域内解析（这时Laurent 展式为:Laurent 展式为:例如关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况或者利用已知函数的展开式来判定，当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内的Laurent展式。二.留数设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域内，的Laurent 展式为:无穷远点处的留数留数计算法：证明2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可当作级数为m 来计算。这是因为表达式这不影响证明结果。的系数 中可能有一个或几个为零而已，例2 求下列函数的奇点并计算留数：解法1法2法3解解 法1所以，0为 的三级极点，且法2 因为0是分子的一级零点，是分母的四级零点，所以0是 的三级极点，取 m=4,由公式 2 得三.留数定理定理定理1 设函数 在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，L是D内包围诸奇点的一条逆时针方向简单闭曲线，那么由复合闭路定理,得利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分，转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的留数。定理定理2 如果函数 在扩充的复平面内除有限个点）的留数的总和必等于零,即孤立奇点外解析，那么 在所有各奇点（包括例3 计算下列积分：由留数定理1，得由留数定理1，2，得四.利用留数计算某些实积分例4例5例6例7