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1、第六章第六章 无穷级数无穷级数6.3 幂级数幂级数本节内容本节内容一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、三、 Taylor 级数及其应用级数及其应用 6.3 幂级数幂级数一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念设设121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间为定义在区间 I 上的上的函数项级数函数项级数 .对对, I0 x若常数项级数若常数项级数10)(nnxu敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;若常数项级数若常数项级数10)(nnxu为定义在区间为定义在区间 I 上的函数上的函数, 称称收敛收
2、敛,发散发散 ,所有所有0 x称为其为其收收 0 x称为其为其发散点发散点, ),2, 1()(nxun发散点的全体称为其发散点的全体称为其发散域发散域 .6.3 幂级数幂级数, )(xS为级数的为级数的和函数和函数 , 并写成并写成)()(1xuxSnn若用若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余项令余项)()()(xSxSxrnn则在收敛域上有则在收敛域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函数项级数前表示函数项级数前 n 项的和项的和, 即即在收敛域上在收敛域上, 函数项级数的和是函数项级数的和是 x 的函数的函数 称它称它6.3 幂级数幂级数例如例如, 等比级数
3、等比级数它的收敛域是它的收敛域是, )1,1(,11,(），及201nnnxxxx xxnn110它的发散域是它的发散域是或写作或写作.1x,)1,1(时当x有和函数有和函数 6.3 幂级数幂级数二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如例如, 幂级数幂级数1,110 xxxnn为幂级数的为幂级数的系数系数 .即是此种情形即是此种情形. .的情形的情形, 即即nnxxa)(
4、0称称 6.3 幂级数幂级数ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式则对满足不等式0 xx 的一切的一切 x 幂级数都绝对收敛幂级数都绝对收敛.反之反之, 若当若当0 xx 0 xx 的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 时该幂级数发散时该幂级数发散 ,则对满足不等式则对满足不等式证证: 设设00nnnxa, 0lim0nnnxa收敛收敛, 则必有则必有),2, 1(0nMxann于是存在于是存在常数常数 M 0, 使使6.3 幂级数幂级数当当 时时, 0 xx
5、00nnxxM收敛收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛故原幂级数绝对收敛 .也收敛也收敛,反之反之, 若当若当0 xx 时该幂级数发散时该幂级数发散 ,下面用反证法证之下面用反证法证之.假设有一点假设有一点1x01xx0 x满足不等式满足不等式0 xx 所以若当所以若当0 xx 满足满足且使级数收敛且使级数收敛 ,面的证明可知面的证明可知, 级数在点级数在点故假设不真故假设不真. 的的 x , 原幂级数也原幂级数也发散发散 . 时幂级数发散时幂级数发散 , 则对一切则对一切则由前则由前也应收敛也应收敛, 与所设矛盾与所设矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0证毕证毕6.
6、3 幂级数幂级数幂级数在幂级数在 (, +) 收敛收敛 ;由由Abel 定理可以看出定理可以看出, 0nnnxa中心的区间中心的区间. 用用R 表示幂级数收敛与发散的分界点表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为的收敛域是以原点为则则R = 0 时时, 幂级数仅在幂级数仅在 x = 0 收敛收敛 ;R = 时时,0 R幂级数在幂级数在 (R , R ) 收敛收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为称为收敛半径收敛半径 ， 在在R , R 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .Rx外发散外发散; 在在(R , R ) 称为称为收敛区间收敛区间
7、.ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散6.3 幂级数幂级数xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2. 若若0nnnxa的系数满足的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:1) 若若 0,则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知:当当,1x原级数收敛原级数收敛;当当,1x原级数发散原级数发散.x即即1x时时,1) 当当 0 时时,2) 当当 0 时时,3) 当当 时时,即即时时,则则 1x6.3 幂级数幂级数2) 若若, 0则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛绝对收敛 ,3) 若若,则对除则对除 x = 0 以外的一切以外的一切 x
8、原级发散原级发散 ,.0R对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为说明说明: :据此定理据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径.1R6.3 幂级数幂级数对端点对端点 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点对端点 x = 1, 级数为交错级数级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛收敛; 级数为级数为,11nn发散发散 . . 1, 1(故收敛域为故收敛域为例例1 1. .求幂级数求幂级数 limn 6.3 幂级数幂级数例例2. 求下列幂
9、级数的收敛域求下列幂级数的收敛域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收敛域为所以收敛域为. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在所以级数仅在 x = 0 处收敛处收敛 .规定规定: 0 ! = 1! ) 1(1n6.3 幂级数幂级数例例3.221212nnnnx求幂级数的收敛半径的收敛半径 .解解: 级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理,比值审敛法求收敛半径比值审敛法求收敛半径.1( )lim( )nnnuxux2112x当时级数
10、收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 2 .R 2x 即故直接由故直接由2122212lim212nnnnnnxnx212x2112x当2x 即6.3 幂级数幂级数例例4.12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域的收敛域.解解: 令令 ,1 xt级数变为级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当当 t = 2 时时, 级数为级数为,11nn此级数发散此级数发散;6.3 幂级数幂级数当当 t = 2 时时, 级数为级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛此级数条件收敛;因此级数的收敛域为因此级数的收敛域为,
11、22t故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为,212x即即.31x6.3 幂级数幂级数幂级数及其和函数的基本性质幂级数及其和函数的基本性质定理定理3. 设幂级数nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为,21RR令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 则有 :nnnnnnxbxa006.3 幂级数幂级数定理定理4 若幂级数若幂级数nnnxa0的收敛半径的收敛半径,0R)(xS数nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函
12、则其和函在收敛域上在收敛域上连续连续, 且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与逐项求积分逐项求积分, 运算前后收敛半径相同运算前后收敛半径相同: 注注: 逐项积分时逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变运算前后端点处的敛散性不变.6.3 幂级数幂级数解解: 由例由例2可知级数的收敛半径可知级数的收敛半径 R+.例例5.0!nnnx求幂级数0!)(nnnxxS)(x则则11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得故得.!0 xnnenx的和函数的和函数 .因此得因此得设设6.3 幂级数幂级数例例6
13、. 1nnxn求幂级数的和函数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发时级数发,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散散,6.3 幂级数幂级数例例7. 求级数求级数01nnnx的和函数的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及及收敛收敛 , 有时则当,0 x0111nnnxxxnnxxx00d16.3 幂级数幂级数) 1 ,0
14、()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函数的连续性得因此由和函数的连续性得:)(xS而而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及及6.3 幂级数幂级数三、泰勒三、泰勒 ( Taylor ) 级数及其应用级数及其应用 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中其中)(xRn( 在在 x 与与 x0 之间之间)称为称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf则在则在若函数若函数0)(xxf在的某邻域内具有的某邻域内具有 n + 1
15、阶导数阶导数, 此式称为此式称为 f (x) 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有该邻域内有 :6.3 幂级数幂级数)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为为f (x) 的的泰勒级数泰勒级数 . 则称则称当当x0 = 0 时时, 泰勒级数又称为泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .1) 对此级数对此级数, 它的收敛域是什么它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上在收敛域上 , 和函数是否为和函数是否为 f (x) ?待解决的问题待解决的问题 :若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在6.3 幂级数
16、幂级数定理定理5 .各阶导数各阶导数, )(0 x则则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要条件条件是是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn设函数设函数 f (x) 在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有定理定理6. 若若 f (x) 能展成能展成 x 的幂级数的幂级数, 则这种展开式是则这种展开式是唯一唯一的的 , 且与它的麦克劳林级数相同且与它的麦克劳林级数相同.6.3 幂级数幂级数函数展开成幂级数函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数
17、的步函数)(xf第一步第一步 求函数及其各阶导数在求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值处的值 ;第二步第二步 写出麦克劳林级数写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径并求出其收敛半径 R ; 第三步第三步 判别在收敛区间判别在收敛区间(R, R) 内内)(limxRnn是否为是否为0骤如下骤如下 :展开方法展开方法直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式利用已知其级数展开式的函数展开的函数展开6.3 幂级数幂级数例例8. 将函数将函数xexf)(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn
18、1其收敛半径为其收敛半径为 对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满足其余项满足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(xx2!21x3!31xnxn!1故得级数故得级数 6.3 幂级数幂级数例例9. 将将xxfsin)(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: )()(xfn)0()(nf得级数得级数:x)sin(2 nx其收敛半径为其收敛半径为 ,R对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满其余项满足足 )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12
19、kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnxxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxx6.3 幂级数幂级数nnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos类似可推出类似可推出:),(x),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx6.3 幂级数幂级数例例10. 将函数将函数mxxf)1 ()(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数, 其中其中m为任意常数为任意常数 . 解解: 易求出易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1(
20、)0()(nmmmmfn于是得于是得 级数级数 mx12!2) 1(xmm由于由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(级数在开区间级数在开区间 (1, 1) 内收敛内收敛. 因此对任意常数因此对任意常数 m, 6.3 幂级数幂级数2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x称为称为二项展开式二项展开式 .说明：说明：(1) 在在 x1 处的收敛性与处的收敛性与 m 有关有关 .(2) 当当 m 为正整数时为正整数时, 级数为级数为 x 的的 m 次多项式次多项式, 上式上式 就是代数学中的就是代数学中的二项式定理二项式定理.
21、6.3 幂级数幂级数对应对应11, 122m 的二项展开式分别为的二项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x) 11(1112xxxxxn6.3 幂级数幂级数2. 间接展开法间接展开法211x x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例11. 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 因为因为nnxxx) 1(12)11(x把把 x 换成换成2x211xnnxxx242)
22、 1(1)11(x, 得得将所给函数展开成将所给函数展开成 幂级数幂级数. 6.3 幂级数幂级数例例12. 将函数将函数)1ln()(xxf展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn从从 0 到到 x 积分积分, 得得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定义且连续定义且连续, 区间为区间为.11x11x11x上式右端的幂级数在上式右端的幂级数在 x 1 收敛收敛 ,有在而1)1ln(xx所以展开式对所以展开式对 x 1 也是成立的也是成立的,于是收敛于是收敛6.3 幂级数幂级数例例13. 将将xsin展成展成4x解解:
23、)(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx的幂级数的幂级数. 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x6.3 幂级数幂级数例例14. 将将3412 xx展成展成 x1 的幂级数的幂级数. 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x16
24、.3 幂级数幂级数内容小结内容小结1. 求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,)0(0nnnnaxa也可通过换元化为标准型再求 .6.3 幂级数幂级数2. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法(1) 直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法间接展开法 利用幂级数的性质及已知展利用幂级数的性质及已知展开开3. 常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11)
25、1(nnxn式的函数式的函数 .6.3 幂级数幂级数! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时x11,) 1(132nnxxxx),(x) 1, 1(x) 1, 1(x6.3 幂级数幂级数思考与练习思考与练习 1. 已知已知nnnxa00 xx 在处条件收敛处条件收敛 , 问该级数收敛问该级数收敛半径是多少半径是多少 ?答答: 根据根据Abel 定理可知定理可知, 级数在级数在0 xx 收敛收敛 ,0 xx 时发散时发散 . 故收敛半径为故收敛半径为.0 xR 6.3 幂级数幂级数2. 函数函数0)(xxf在处处 “有泰勒级数有泰勒级数” 与与 “能展成泰能展成泰勒级勒级数数” 有何不同有何不同 ?提示提示: 后者必需证明后者必需证明, 0)(limxRnn前者无此要求前者无此要求.3. 如何求如何求xy2sin的幂级数的幂级数 ?提示提示:xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xnx2)2(6.3 幂级数幂级数作业 P180:1(1)(2)(3)