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1、幂级数()现在学习的是第1页，共35页收敛域收敛域:级数级数 的收敛点的全体所成的的收敛点的全体所成的集合称为级数集合称为级数 的的收敛域收敛域 和函数和函数:在级数在级数 的收敛域上的收敛域上称为级数称为级数 的的和函数和函数 余和余和:现在学习的是第2页，共35页2 幂级数幂级数幂级数幂级数:形如形如(1)的级数称为的级数称为 x-a 的的幂级数幂级数,a 称为幂级数称为幂级数(1)的的基点基点,称为幂级数称为幂级数(1)的的系数系数 当当 a=0 时时,(1)变形为变形为(2)式式(2)就是以就是以 a=0 为基点的为基点的 x 的幂级数的幂级数 现在学习的是第3页，共35页若令若令 t
2、=x-a,则幂级数则幂级数(1)可表示为可表示为(3)式式(3)就是以就是以 a=0 为基点的为基点的 t 的幂级数的幂级数.所以所以,我们只需讨论以我们只需讨论以 a=0 为基点的幂级数为基点的幂级数(2)就够了就够了 问题问题:(1)幂级数幂级数(2)的收敛范围是怎样的的收敛范围是怎样的?(2)幂级数幂级数(2)的收敛范围如何确定的收敛范围如何确定?(3)幂级数表示的和函数幂级数表示的和函数 S(x)有何性质有何性质?现在学习的是第4页，共35页定理定理(阿贝尔定理阿贝尔定理)(1)如果对不等于零的值如果对不等于零的值 x1,幂级数幂级数 收敛收敛,则对区间则对区间 中的一切中的一切 x,
3、幂级数幂级数 绝对收敛绝对收敛 (2)如果幂级数如果幂级数 在点在点 x2 处发散处发散,则对满足则对满足的一切的一切 x,幂级数幂级数 都发散都发散 现在学习的是第5页，共35页证明证明(1)由由 收敛收敛 存在存在 M 0,使使任取任取 x ,则则 .由于由于因为因为收敛收敛 现在学习的是第6页，共35页据比较判别法知级数据比较判别法知级数 收敛收敛,(2)利用反证法利用反证法 若若 使级数使级数 收敛收敛,则由结论则由结论(1)可知级数可知级数 收敛收敛,矛盾矛盾 所以结论成立所以结论成立 从而知级数从而知级数 绝对收敛绝对收敛 现在学习的是第7页，共35页定理说明定理说明:对于幂级数对
4、于幂级数 ,只要它不是处处发散只要它不是处处发散(注意注意:幂级数在基点处总是收敛的幂级数在基点处总是收敛的),则它的收敛范围则它的收敛范围一定是以基点为中心的对称区间一定是以基点为中心的对称区间(含端点或不含含端点或不含端点端点,也可为无穷区间也可为无穷区间),并且在此区间的内部并且在此区间的内部,幂级数绝对收敛幂级数绝对收敛 因此因此,阿贝尔定理阿贝尔定理刻画了幂级数的收敛域的特征刻画了幂级数的收敛域的特征现在学习的是第8页，共35页定义定义同样同样,将幂级数将幂级数 收敛的点的全体收敛的点的全体称为此幂级数的称为此幂级数的收敛域收敛域 而当而当 时时,对于幂级数对于幂级数 ,如果存在一正
5、数如果存在一正数 r,使当使当 时时,级数级数 收敛收敛,级数级数 发散发散,则称此数则称此数 r 为幂级数为幂级数 的的收敛半径收敛半径,并称区间并称区间(-r,r)为此幂级数的为此幂级数的收敛收敛区间区间现在学习的是第9页，共35页幂级数收敛域的确定幂级数收敛域的确定:首先必须确定幂级数首先必须确定幂级数 的收敛半径的收敛半径 r 如果如果 ,则有则有(1)若若=0,此时对任意的此时对任意的 x R ,幂级数幂级数 都收敛都收敛 收敛域为收敛域为(-,+)收敛半径为收敛半径为 r=+现在学习的是第10页，共35页(2)若若=+,此时对任意的此时对任意的 x R ,x 0,有有 收敛半径为收
6、敛半径为 r=0 幂级数幂级数 对所有对所有 x 0 都发散都发散 收敛域为收敛域为 0 (3)若若 0 0,则和函数则和函数 S(x)在其定义域在其定义域(即即幂级数的收敛域幂级数的收敛域)上连续上连续 现在学习的是第22页，共35页也就是也就是也就是也就是说明说明:上式说明上式说明:幂级数幂级数 对于收敛域中的对于收敛域中的点点 x0,可以逐项取极限可以逐项取极限 定义域中的任意一点定义域中的任意一点,即若即若 x0 是是则有则有现在学习的是第23页，共35页定理定理(幂级数的可微性幂级数的可微性)说明说明:(1)上式说明上式说明:幂级数在其收敛区间内可导且幂级数在其收敛区间内可导且可以逐
7、项求导可以逐项求导 半径为半径为 r 0,则和函数则和函数 S(x)在在(-r,r)内可微内可微,且且 设幂级数设幂级数 的收敛的收敛(2)不加证明的指出不加证明的指出:级数级数 与级数与级数具有相同的收敛半径具有相同的收敛半径 即即,逐项求导逐项求导不改变幂级数的收敛半径不改变幂级数的收敛半径 现在学习的是第24页，共35页(3)尽管尽管 与与 具有相同的收敛具有相同的收敛半径但收敛域未必相同半径但收敛域未必相同 例如例如幂级数幂级数 与与对于幂级数对于幂级数 ,收敛半径为收敛半径为收敛区间收敛区间(-1,1),可知其收敛域为可知其收敛域为-1,1 现在学习的是第25页，共35页对于幂级数对
8、于幂级数 ,收敛半径为收敛半径为收敛区间收敛区间(-1,1),可知其收敛域为可知其收敛域为-1,1)(4)注意注意:在在 x=r 0(r 为收敛半径为收敛半径)即为反例即为反例),处收敛处收敛,但但 S(x)在在 x=r 处不一定可导处不一定可导(上面的例子上面的例子即幂级数在其收敛域的端点处不一定即幂级数在其收敛域的端点处不一定具有可微性具有可微性.但有下性质但有下性质现在学习的是第26页，共35页性质性质若若 在在 x=r 处处收敛收敛,则则 S(x)在在 x=r 处可导处可导,且且(可逐项求导可逐项求导)证明证明现在学习的是第27页，共35页定理定理(幂级数的可积性幂级数的可积性)半径为
9、半径为 r 0,则和函数则和函数 S(x)在其定义域上可积而在其定义域上可积而 设幂级数设幂级数 的收敛的收敛且对其定义域中的任一点且对其定义域中的任一点 x 有有说明说明:(1)上式说明上式说明:幂级数在其定义域上可积而且幂级数在其定义域上可积而且可以逐项积分可以逐项积分(2)与与 具有相同的收敛半径具有相同的收敛半径,但收敛域未必相同但收敛域未必相同 现在学习的是第28页，共35页关于幂级数的运算有以下性质关于幂级数的运算有以下性质性质性质 1和函数分别为和函数分别为 S1(x)与与 S2(x),则则 在在设设 与与 的收敛域为的收敛域为 I1 和和 I2,上收敛上收敛,且且现在学习的是第
10、29页，共35页性质性质 2设设 与与 的收敛半径为的收敛半径为 R1 和和 R2,和函数分别为和函数分别为 S1(x)和和 S2(x),若记若记 R=min R1,R2,则则 与与 的柯西乘积在的柯西乘积在(-R,R)内收敛内收敛,且和函数等于且和函数等于 S1(x)S2(x),即即现在学习的是第30页，共35页例例求幂级数求幂级数 的和函数的和函数 解解先求幂级数的收敛域先求幂级数的收敛域 收敛区间收敛区间 又当又当 x=1 时时,幂级数收敛幂级数收敛 当当 x=-1 时时,幂级数发散幂级数发散,收敛域为收敛域为:设设现在学习的是第31页，共35页对任意的对任意的 x(-1,1)两边从两边从 0 到到 x 积分有积分有即即现在学习的是第32页，共35页由于由于 在在 x=1 处收敛处收敛 所以有所以有 在在 x=1 处处连续连续,两边取极限有两边取极限有现在学习的是第33页，共35页例例求幂级数求幂级数 的和函数的和函数 解解 收敛区间收敛区间 因为当因为当 时时,级数级数 发散发散的收敛域为的收敛域为(-1,1)设设当当 x (-1,1)时时 现在学习的是第34页，共35页所以有所以有现在学习的是第35页，共35页