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1、4 4 傅立叶傅立叶(Fourier)级数级数 在科学实验和工程技术中常碰到一些周期运在科学实验和工程技术中常碰到一些周期运动动,这种运动要用函数来表示这种运动要用函数来表示.这就是周期函数这就是周期函数.设设f(x)为周期为为周期为l的周期函数的周期函数,它必满足它必满足:f(x+l)=f(x).通通常我们希望常我们希望l能是最小正周期能是最小正周期,但有时达不到但有时达不到.一、三角级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 最简单的一种周期运动最简单的一种周期运动简谐运动简谐运动.可用正可用正弦函数来描述弦函数来描述:对于一般的较复杂的周期函数对于一般的较复杂的周期函数,人们
2、不禁会人们不禁会问问,它们能否用一系列的它们能否用一系列的(多个多个)正弦函数来表示正弦函数来表示,这也就是我们下面所要讲的问题这也就是我们下面所要讲的问题.首先首先,我们来介绍什么是三角函数我们来介绍什么是三角函数.把无穷多把无穷多个简谐振动进行迭加在一起便得到一个无穷级数。个简谐振动进行迭加在一起便得到一个无穷级数。1 1、三角级数、三角级数谐波分析谐波分析三角级数三角级数2 2、三角函数系的正交性、三角函数系的正交性三角函数系三角函数系 三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间区间 上的积分不等于零上的积分不等于零 即：即：二、函数展开成傅里叶级数
3、二、函数展开成傅里叶级数问题问题:1.若能展开若能展开,是什么是什么?2.展开的条件是什么展开的条件是什么?设设f(x)是周期为是周期为2 的周期函数的周期函数 1 1、傅里叶系数、傅里叶系数(2)【证明】【证明】傅里叶系数傅里叶系数傅里叶级数傅里叶级数问题问题:2 2、狄利克雷、狄利克雷(Dirichlet)充充分条件分条件(收敛定理收敛定理)注意注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多数的条件低的多.将将f(x)展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数.(3)(3)傅里叶展开式为：傅里叶展开式为：将将f(x)展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数.
4、(3)(3)傅里叶展开式为：傅里叶展开式为：周期延拓周期延拓 设设f(x)只在只在 上有定义上有定义 我们可以在我们可以在 )或或(外补充函数外补充函数f(x)的定义的定义 使它拓广成周期为使它拓广成周期为2 的周期函数的周期函数F(x)。（1）在）在()内内F(x)f(x)，所以在，所以在()内便得内便得 f(x)的傅里叶级数展开式；的傅里叶级数展开式；（2）在端点）在端点x=和和 处，由收敛定理可知：处，由收敛定理可知：解解:所给函数满足狄利克莱充分条件所给函数满足狄利克莱充分条件.拓广的周期函数的傅拓广的周期函数的傅氏级数展开式在氏级数展开式在收敛于收敛于 .例例2 2 将函数将函数 展
5、开为傅立叶级数展开为傅立叶级数.所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为试证明：试证明：证证练习练习结论可证结论可证.例例3三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦一个函数的傅里叶级数既含有正弦项项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶级也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.1 1、奇函数和偶函数的傅里叶级数、奇函数和偶函数的傅里叶级数证明证明奇函数奇函数同理可证同理可证(2)定义定义偶函数偶函数定理证毕定理证毕.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满
6、足狄利克雷充分条件.和和函函数数图图象象解解 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个在整个数轴上连续数轴上连续.2 2、奇延拓与偶延拓（、奇延拓与偶延拓（非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓）则有如下两种情况则有如下两种情况奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓解解(1)(1)求正弦级数求正弦级数.(2)(2)求余弦级数求余弦级数.练习练习展成正弦级数.解：此函数满足收敛定理的条件，可以展开成解：此函数满足收敛定理的条件，可以展开成 正弦级数正弦级数,其系数为其系数为 当当x为连续点时，有为连续点时，有 当当x=0时，该级数收敛于时，该级数收敛于当当x=h时，该级数收敛于时
7、，该级数收敛于当当x=时，该级数收敛于时，该级数收敛于四、以四、以2 2l为周期的傅里叶级数为周期的傅里叶级数 我们所讨论的周期函数都是以我们所讨论的周期函数都是以2 为周期的为周期的 但是实际问题中所遇到的周期函数但是实际问题中所遇到的周期函数 它的周期不它的周期不一定是一定是2 怎样把周期为怎样把周期为2l的周期函数的周期函数f(x)展开展开成三角级数呢？成三角级数呢？【问题】【问题】我们希望能把周期为我们希望能把周期为2l的周期函数的周期函数f(x)展展 开成三角级数开成三角级数 为此我们先把周期为为此我们先把周期为2l的的 周期函数周期函数f(x)变换为周期为变换为周期为2 的周期函数的周期函数【提示】【提示】定理定理则有则有则有则有解解(1)(1)求正弦级数求正弦级数.(2)(2)求余弦级数求余弦级数.解解:对对M(x)进行奇延拓进行奇延拓.则则例例8 8 将函数将函数 展开展开2l为周期的正弦级数为周期的正弦级数.对上式右边的第二项对上式右边的第二项 令令t l x 则则当当n 2 4 6 时时 bn 0 当当n 1 3 5 时时 解解解解