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1、Chapter 7(7)幂级数与幂级数与Taylor级数小结级数小结一一.内容小结内容小结(一一)幂级数幂级数 1.定义定义2.2.阿贝尔阿贝尔(Abel)定定理理:3.幂级数的收敛半径与收敛域幂级数的收敛半径与收敛域 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域为一个幂级数的收敛域为一个区间区间:规定规定4.收敛半径与收敛域的求法收敛半径与收敛域的求法(1)标准幂级数标准幂级数注意注意:若缺项若缺项,则用比值法则用比值法.(2)一般幂级数一般幂级数方法方法 1.(2)由标准幂级数收敛半径的求法可得：由标准幂级数收敛半径的求法可得：端点情况另讨论端点情况另讨论.方法方法
2、2.(用比值法讨论用比值法讨论)5.幂级数的性质幂级数的性质 加加减减法法乘乘法法(其中其中除除法法(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)连连续续性性可可导导性性(收敛半径不变收敛半径不变)可可积积性性(收敛半径不变收敛半径不变)(二二)Taylor级数级数 1.定义定义 函数函数 f(x)的幂级数展开式是唯一的的幂级数展开式是唯一的.2.展开的方法展开的方法 直接展开法直接展开法间接展开法间接展开法利用已知的函数的展开式，根据幂级数展开式的唯一利用已知的函数的展开式，根据幂级数展开式的唯一性，通过适当的变量替换、四则运算、复合及微分、性，
3、通过适当的变量替换、四则运算、复合及微分、积分等将一个函数展开成幂级数。积分等将一个函数展开成幂级数。常用的展开式有：常用的展开式有：(三三)Fourier级数级数 1.基本概念基本概念 定义定义1.定义定义2.定义定义3.为为 f(x)的的Fourier系数系数.具有具有Fourier系数的三角级数系数的三角级数:2.收敛定理收敛定理 3.奇偶函数的奇偶函数的Fourier级数级数 4.在任意区间在任意区间 l,l上的上的Fourier级数级数 设设f(x)是以是以2l为周期的周期函数为周期的周期函数,且满足收敛定理的条件且满足收敛定理的条件,则有则有则有则有5.在在0,或或0,l上的非周期
4、函数的上的非周期函数的Fourier级数级数 首先补充函数在首先补充函数在,0或或 l,0上的定义，使其在整个上的定义，使其在整个,或或 l,l上为奇或偶函数，再作周期延拓。可分上为奇或偶函数，再作周期延拓。可分别展为正弦级数或余弦级数。别展为正弦级数或余弦级数。二二.题型小结题型小结 1.求幂级数的收敛半径与收敛域求幂级数的收敛半径与收敛域 Example 1.Solution.收敛收敛.绝对收敛绝对收敛.Example 2.Solution.发散发散.发散发散.Example 3.Solution.方方法法一一方方法法二二由比值法得，由比值法得，Solution.缺少偶次幂的项缺少偶次幂的
5、项级数绝对收敛级数绝对收敛,级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛域为原级数的收敛域为2.2.求幂级数的和函数求幂级数的和函数方法方法:通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数数化为可求和的级数(等比级数等比级数).Example 5.Solution.Example 6.Solution.Example 7.Solution.Solution.收敛区间收敛区间(-1,1),Example 9.Solution.3.将函数展开成幂级数将函数展开成幂级数 Example 10.Solution.Example 1
6、1.Solution.Example 12.Solution.Example 13.Solution.4.将函数展开成将函数展开成Fourier级数级数 Example14.把把f(x)展为展为Fourier级数级数.Solution.See Figure 所给函数满足收敛定理条件所给函数满足收敛定理条件.或记为：或记为：Example15.Solution.将将f(x)作周期延拓作周期延拓,See Figure 显然满足收敛定理条件显然满足收敛定理条件.所以，所以，f(x)的的Fourier级数及和函数如下：级数及和函数如下：Example16.Solution.(1)将将f(x)作奇延拓作奇延拓,再作周期延拓再作周期延拓.See Figure(2)将将f(x)作偶延拓作偶延拓,再作周期延拓再作周期延拓.See Figure 可见可见f(x)的的Fourier级数收敛于级数收敛于f(x).The end