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1、无穷级数-幂级数第1页，本讲稿共22页一、近似计算两类问题两类问题:1.给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;2.给出精度给出精度,确定项数确定项数.关健关健:通过估计余项通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.第2页，本讲稿共22页常用方法常用方法:1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决;例例1 1解解2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之成使之成为等比级数或其它易求和的级数为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其和.第3页，本讲稿共22页余和余和:第4页，本讲稿共22页例例2
2、 2解解其误差不超过其误差不超过 .第5页，本讲稿共22页二、计算定积分解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数第6页，本讲稿共22页第四项第四项取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,得得例例3 3解解收敛的交错级数收敛的交错级数第7页，本讲稿共22页三、求数项级数的和1.1.利用级数和的定义求和利用级数和的定义求和:(1)直接法直接法;(2)拆项法拆项法;(3)递推法递推法.例例4 4解解第8页，本讲稿共22页第9页，本讲稿共22页2.2.阿贝尔法阿贝尔法(构造幂级数法构造幂级数法):):(逐项积分、逐项求导逐项积分、逐项求导)
3、例例4 4解解第10页，本讲稿共22页第11页，本讲稿共22页例例5 5解解第12页，本讲稿共22页四、欧拉公式复数项级数复数项级数:第13页，本讲稿共22页复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式三个基本展开式第14页，本讲稿共22页第15页，本讲稿共22页 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系种关系.欧拉公式欧拉公式第16页，本讲稿共22页五、小结、近似计算,求不可积类函数的定积分，、微分方程的幂级数的解法、微分方程的幂级数的解法(第十二节介绍第十二节介绍)求数项级数的和，欧拉公式的证明；求数项级数的和，欧拉公式的证明；第17页，本讲稿共22页思考题思考题利用幂级数展开式利用幂级数展开式,求极限求极限第18页，本讲稿共22页思考题解答思考题解答将上两式代入将上两式代入第19页，本讲稿共22页原式原式=第20页，本讲稿共22页练练 习习 题题第21页，本讲稿共22页练习题答案练习题答案第22页，本讲稿共22页