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1、【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题7 解析几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1（2021全国高三竞赛）已知的四个顶点均在双曲线上，点在边上，且，则的面积等于_.2（2021全国高三竞赛）抛物线，设它的某三条切线交于A、B、C三点，设的外接圆与x轴相切，切点为，则_3（2021全国高三竞赛）设双曲线的中心为O，右焦点为F，点B满足若在的右支上存在一点A，使得且，则离心率的取值范围为_4（2021全国高三竞赛）过椭圆上一点M作圆的两条切线，点AB为切点过AB的直线l与x轴y轴分别交于点PQ两点，则面积的最小值为_.5（2021全国高三竞赛）设为抛物线的内接三角形，分别过作抛物线的切线，设三条
2、切线相交所成的三角形为.求与的面积比.6（2021全国高三竞赛）双曲线，左右顶点分别为，P为双曲线右支上一点，且，则_.7（2021全国高三竞赛）已知双曲线的左右焦点为、，过的直线与双曲线右支交于A、B两点，则、的内切圆面积之和的取值范围是_8（2021全国高三竞赛）已知双曲线的左右焦点分别为、，过作圆的切线分别交双曲线的左右两支于点B、C，若，则双曲线的离心率为_9（2021浙江高三竞赛）若正方形的一条边在直线上，另两个顶点在抛物线上，则该正方形的面积为_.10（2021浙江高三竞赛）已知点，存在抛物线上相异的两点，使得四边形为矩形，则点的轨迹方程是_.11（2021全国高三竞赛）已知椭圆的
3、方程为，经过的左焦点，且斜率为（存在且不为0）的直线与交于A、B两点，设点，延长、与分别交于点C、D直线的斜率为，将写成既约分数，其中a，b是互质的正整数，则_12（2021全国高三竞赛）已知集合满足，若P为集合B的边界线C上任意一点，为曲线C的焦点，I为的内心，直线和的斜率分别为，且则t的最小值为_13（2021全国高三竞赛）已知、是椭圆的焦点，P是M上一点，的周长是6，且的值是3，过的直线交M于不同两点A，B，则的取值范围是_14（2021全国高三竞赛）已知P、Q分别是圆与圆上的点，O是坐标原点，则的最小值为_15（2021全国高三竞赛）半径为2的球O放在水平桌面上，该水平桌面所在平面内的
4、一点的竖直正上方有一个点光源A若与球O相切，且，那么，球O经过点光源A照射之后，在该水平桌面上的投影的离心率为_16（2021全国高三竞赛）在平面直角坐标系中，若椭圆与双曲线相切，则_17（2021全国高三竞赛）设双曲线的离心率为e，过原点的直线与之交于A、B两点，若双曲线上存在一点C，使得直线的斜率与直线的斜率之乘积恰为e，则e的值为_.18（2021全国高三竞赛）任作椭圆的一条切线与椭圆两条对称轴分别交于点，若长度的最小值为，则椭圆的离心率为_.19（2021全国高三竞赛）已知S、P（非原点）为抛物线上不同的两点，点P处的切线与y轴交于点R，若，则的最小值为_20（2019山东高三竞赛）A
5、BC中，.在ABC外部，到点B、C的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是_ .21（2019重庆高三竞赛）已知ABC为椭圆的内接三角形，且AB过点P(1，0)，则ABC的面积的最大值为_ .22（2019全国高三竞赛）在平面直角坐标系中，若以(r+1,0)为圆心r为半径的圆上存在一点(a,b)满足b24a，则r的最小值为_ .23（2019四川高三竞赛）双曲线的右焦点为F，离心率为e，过点F且倾斜角为的直线与该双曲线交于点A、B，若AB的中点为M，且|FM|等于半焦距，则_ .二、解答题(共0分)24（2021全国高三竞赛）已知椭圆，其右焦点为F，过F作直线l交椭圆于A、B两点（l
6、与x轴不重合），设线段中点为D，连结（O为坐标原点），直线交椭圆于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，且，求椭圆的离心率25（2021全国高三竞赛）已知如图椭圆的左右顶点为、，上下顶点为、，记四边形的内切圆为（1）求圆的标准方程；（2）已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于M、N两点，试求三角形面积的最小值26（2021全国高三竞赛）已知椭圆的右焦点为F.C上两点AB满足，且.求证：以为直径的圆恒过异于点F的一个定点.27（2021全国高三竞赛）已知是抛物线上三个不同的动点，有两边所在的直线与抛物线相切.证明：的重心在定直线上.28（2021全国高三竞赛）设椭圆，抛物线（1）若
7、经过的两个焦点，求的离心率；（2）设，又M、N为与不在y轴上的两个交点，若的垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程29（2020浙江高三竞赛）已知直线与椭圆：交于、两点，直线不经过原点.（1）求面积的最大值；（2）设为线段的中点，延长交椭圆于点，若四边形为平行四边形，求四边形的面积.30（2021全国高三竞赛）如图，已知抛物线焦点为F，三边所在直线与抛物线分别相切，求证：外接圆过定点31（2021全国高三竞赛）已知AB是抛物线上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，直线分别过点A，B且与抛物线C相切，P为的交点.设CD为直线与直线的交点，求面积的最小值.32（2021全国高三竞赛）已
8、知椭圆，点P、Q在椭圆C上，满足在椭圆C上存在一点R到直线、的距离均为，证明：33（2021全国高三竞赛）在平面直角坐标系中，已知抛物线，焦点为F，A为抛物线C上异于顶点的动点，D为x轴正半轴上的动点设直线、分别交抛物线C于M、N（不同于点A），设已知，且，求直线的方程34（2021全国高三竞赛）已知圆与抛物线交于A、B、C、D四个不同的点，且为圆的直径，线段和的中点分别为M、N，求证：线段在y轴上的投影长度为定值（2021全国高三竞赛）已知为椭圆上的点，对椭圆上的任意两点P、Q，用如下办法定义它们的“和”：过点S作一条平行于（若点P与Q重合，则直线表示椭圆在P处的切线）的直线l与椭圆交于不同
9、于S的另一点，记作（若l与椭圆相切，则规定S为）.并规定.35若点，求、以及的坐标. 36在椭圆上是否存在不同于S的点P，满足？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 37（2021全国高三竞赛）如图所示，为抛物线外一点，过P引抛物线的两条切线，切点分别为A、B在线段上取两点D、E，使得若过D、E两点的直线分别切抛物线于M、N两点（异于A）求四边形面积的最大值38（2021全国高三竞赛）在平面直角坐标系中，椭圆T的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，过点的直线l与T交于两点A、B满足求面积的最大值以及取到最大值时T的方程39（2021全国高三竞赛）已知椭圆的右焦点为，上
10、顶点为M，圆，问：椭圆E上是否存在两点P、Q使得圆F内切于三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由40（2021全国高三竞赛）设F是椭圆左焦点，过F作两条相互垂直的直线，与椭圆的四个交点顺次记为A、B、C、D，设F在四边形的四条边上的射影分别为P、Q、R、S，求证：P、Q、R、S四点共圆. 41（2021全国高三竞赛）设为正实数在平面直角坐标系中，已知直线，过点的直线分别与直线交于点，其中点在第三象限，点在第二象限，点设直线交于点，直线交于点若直线的斜率均存在，分别为，判断是否为定值?若为定值求出该定值；若不为定值，说明理由42（2021全国高三竞赛）已知椭圆分别是其左，右焦点，为
11、椭圆上任意一点（非长轴端点），是轴上一点，使得平分过点作的垂线，垂足分别为试求的最大值43（2021全国高三竞赛）点P为椭圆外一点，过P作椭圆两条切线、，切点分别为A、B，连结，点M、N分别为、中点，连结并延长交椭圆于点C，连结交椭圆于另一点D，连结并延长交于Q，证明：Q为的中点44（2021全国高三竞赛）过抛物线(p为不等于2的质数)的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于MN两点，线段的垂直平分线交于P点，交x轴于Q点.（1）求中点R的轨迹L的方程；（2）证明：L上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L上任意整点到原点的距离均不是整数.45（2019贵州高三竞赛）已知定长为4的线
12、段AB的两端点，分别在两条相交直线x2y=0上移动.（1）设线段AB的中点为G，求点G的轨迹C的方程；（2）若由点P向曲线C作出的两条切线互相垂直，求证：动点P在定圆上.46（2019广西高三竞赛）如图所示，设k0且k1，直线l：y=kx+1与l1：y=k1x+1关于直线y=x+1对称，直线l与l1分别交椭圆于点A、M和A、N.（1）求的值；（2）求证：对任意的实数k，直线MN恒过定点.47（2019福建高三竞赛）已知F为椭圆的右焦点，点P为直线x=4上的动点，过点P作椭圆C的切线PAPB，AB为切点.（1）求证：AFB三点共线；（2）求PAB面积的最小值48（2019吉林高三竞赛）已知椭圆的
13、左右焦点分别为F1F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点.已知的最大值为3，最小值为2.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于MN两点(MN不是左右顶点)，且以MN为直径的圆过点A.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.49（2019新疆高三竞赛）设F是椭圆的左焦点，过点F且斜率为正的直线与E相交于A、B两点，过点A、B分别作直线AM和BN满足AMl，BNl，且直线AM、BN分别与x轴相交于M和N.试求|MN|的最小值.50（2019江西高三竞赛）设椭圆C的两焦点为，两准线为，过椭圆上的一点P，作平行于的直线，分别交于，直线与交于点Q.证明：P、F1、Q、F2四点共圆