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1、【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题5 数列（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1（2020江苏高三竞赛）从集合中取出225个不同的数，组成递增的等差数列，满足要求的数列共有_个2（2021浙江金华第一中学高三竞赛）设，则的值为_3（2021全国高三竞赛）记，则_.4（2021全国高三竞赛）设数列的首项，且求5（2021全国高三竞赛）已知数列满足：，且当为偶数时，；当为奇数时，.若，则_.6（2021浙江高三竞赛）设，满足，且，则数列的通项_.7（2021浙江高三竞赛）已知整数数列，满足，且（，2，9），则这样的数列个数共有_个.8（2021浙江高二竞赛）设，则_.9（2021全国高三竞赛）已知
2、数列满足，则整数k的最小值是_10（2021全国高三竞赛）已知数列满足，则_11（2021全国高三竞赛）数列与满足：，若对任意正整数k，都有，则实数t的最小值为_12（2021全国高三竞赛）数列满足：.则_.13（2021全国高三竞赛）若数列满足：对任意，均有成立，且都是等比数列，其公比分别为，若，且对任意恒成立，则的取值范围为_14（2021全国高三竞赛）数列an满足：(其中an和an分别表示实数an的整数部分与小数部分)，则a2019=_ .15（2019贵州高三竞赛）已知集合A=1，2，3，2019，对于集合A的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为_ .16
3、（2020浙江温州高一竞赛）已知数列满足，数列的前项和为，则使不等式成立的最小正整数的值为_17（2021全国高三竞赛）两数列满足，且对任意正整数n，则为_.18（2021全国高三竞赛）设均为正实数，且则的最小值为_.19（2019河南高二竞赛）等差数列an中，记数列的前n项和为Sn，若对任意的nN+恒成立，则正整数m的最小值为_ .二、解答题20（2021全国高三竞赛）已知正项数列满足记数列的前n项和为，求的值21（2021全国高三竞赛）求证：对于正整数n，令，数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（表示不超过实数x的最大整数）22（2021全国高三竞赛）数列满足且证明：其中无理数23（2021
4、全国高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有24（2021全国高三竞赛）实数列满足：，求的值25（2021全国高三竞赛）定义在R上的函数，是否存在常数，使得对，有.26（2020浙江高三竞赛）已知数列满足，.（1）若对任意的正整数，有，求实数的取值范围；（2）若，且对任意大于1的正整数，有恒成立，求的最小值.27（2021全国高三竞赛）已知.求证：.28（2021全国高三竞赛）已知n个非负实数和为1求证：29（2021全国高三竞赛）若数列，求证：存在无穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数）30（2021全国高三竞赛）设为给定的
5、正整数，实数及满足如下条件：（1）；（2）；（3）；（4）证明：对一切，均有31（2021浙江金华第一中学高三竞赛）设，且称为好数，如果使上述所定义的满足且求全体好数在数轴上所对应的所有区间的长度之和32（2021全国高三竞赛）设多项式的系数为正整数定义数列：证明：对于任意的整数，均存在质数p，使得，且33（2021全国高三竞赛）已知数列满足（1）求证：（2）是否存在实数，使得，若存在求出的值；若不存在请说明理由34（2021全国高三竞赛）设m是任一给定的正整数，正整数列定义如下：，求所有的正整数a，使得是周期的35（2021全国高三竞赛）求常数C的最大值，使得对于任意实数均有36（2021全
6、国高三竞赛）给定整数.求具有下列性质的最大常数，若实数列满足：，则.37（2021全国高三竞赛）已知数列满足：，且对于任意正整数，均有.求证：（1）；（2）数列为单调数列.38（2021全国高三竞赛）空间中的个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数互不相同的组，且，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形，要使这种三角形的总数最大，各组的点数应是多少?39（2021全国高三竞赛）设数列是公差不为零的等差数列满足设数列的前项和为，且对于任意，在和之间插入个数，使成等差数列记，是否存在正整数，使成立?若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由40（2021全国高三竞赛）圆周上有个1600点
7、以逆时针方向依次标号1，2，1600它们将圆分成1600段圆弧今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：如果前一次第号点被染红，则后一次将此点以逆时针方向转过段圆弧后的那个点染红如此操作下去问圆周上最多可以得到多少个红点?41（2021全国高三竞赛）对于数列，若存在常数使得对任意正整数成立，则称是有界数列已知数列满足递推式，求证：（1）若，则不是有界数列（2）若，则是有界数列42（2021全国高三竞赛）已知正实数数列满足，求数列的通项公式.43（2021全国高三竞赛）求具有下述性质的最大整数m：对全体正整数的任意一个排列，总存在正整数，使得：构成公差为奇数的等差数列（可以认为
8、：两项也是等差的）44（2021全国高三竞赛）求最大的，使对于给定n，任意一个实数列，总存在一个子列满足：（a）中有1项或2项属于T；（b）45（2021全国高三竞赛）已知正整数数列满足：，求的取值范围46（2021全国高三竞赛）对于正整数，如果严格递增的非负整数数列，使得所有非负整数可以唯一地表示为，其中ijk可以相同，则称数列，为好的.（1）证明：对任意正整数n，存在唯一的好的数列.（2）已知存在最小的正奇数m，使得在好的数列中有，求的值.47（2021全国高三竞赛）设集合.若X是的子集，把X中的所有数的和称为X的“容量”.(规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集.（1）求证：的奇子集与偶子集个数相等.（2）求证：当时,的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.（3）当时，求的所有奇子集的容量之和.48（2020全国高三竞赛）称一个复数数列zn为“有趣的”，若|z1|=1，且对任意正整数n，均有.求最大的常数C，使得对一切有趣的数列zn及任意正整数m，均有.49（2021浙江高二竞赛）设为给定的正整数，为满足对每个都有的一列实数，求的最大值.50（2021全国高三竞赛）求所有无穷正整数列满足下列条件：（1）；（2）不存在正整数（可以相同i、j、k）使（3）有无穷多个正整数k，使