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1、【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题11 概率（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1（2018安徽高三竞赛）从1，2，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=_.2（2018广东高三竞赛）袋中装有m个红球和n个白球，mn4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组（m，n）的个数为_.3（2018广东高三竞赛）已知点A（1，1），B（），C（）经过点A、B的直线和经过点A、C的直线与直线所围成的平面区域为G.已知平面矩形区域中任意一点进入区域G的可能性为，则a=_.4（2019全国高三竞赛）已知甲、乙两人进行一种博弈游戏，甲获胜的概率为
2、，乙获胜的概率为.若其中一人比另一人多赢两局，则游戏结束那么，需要进行的游戏局数的数学期望为_.5（2019全国高三竞赛）两人约定：在某天一同去地，早上7点到8点之间在地会合，但先到达地者最多在原地等待5min分钟，如果没有见到对方则自己先行.设两人到达地的时间是随机的、独立的、等可能的.那么，两人能够在当天一同去地的概率是_.6（2019全国高三竞赛）在面积为1的正方形中任取一点，则、的面积均大于的概率是_7（2019全国高三竞赛）圆周上有10个等分点.则以这10个等分点中的4个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的个数比为_.8（2019全国高三竞赛）记现抛掷硬币从A、B中无放回地取出数字组成九
3、位数，规则是：若硬币出现正面时，就从集合A中取出一个最小的数；若硬币出现反面时，就从集合B中取出一个最小的数当一个集合的数字被取完而另一个集合还有数字时，另一集合剩下的数字就按从小到大的顺序添在后面按此规则，取出的数字恰好为123456789的概率为_9（2021全国高三竞赛）在1，2，3，10这10个正整数中任取4个，记为这四个数中两数相邻的组数，则的数学期望_10（2018全国高三竞赛）甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可以将球传给另外三人中的任何一人一次传球后，每个人仍各有一个球的概率为_11（2018全国高三竞赛）袋内有8只白球和2只红球，每次从中随机取出一只球，然
4、后放回1只白球则第四次恰取完所有红球的概率为_12（2019全国高三竞赛）从中任取5个数（可以相同）则取到合数的个数的数学期望是_13（2018全国高三竞赛）甲有一个箱子，里面有红球和白球共4个；乙有一个箱子，里面有2个红球、1个白球、1个黄球.现在，甲从他的箱子中任取2个球，乙从他的箱子中任取1个球，如果取出的3个球颜色全不同，则甲获胜.为了保证甲获胜的概率最大，则甲的箱子中的红球个数为_.14（2019全国高三竞赛）两人作一种游戏:连续旋转一枚硬币若干次,当正(或反)面向上的次数累计达到5次时游戏结束.游戏结束时,如果正面向上的次数累计达到5次,则胜;否则胜.那么,旋转不足9次就决出胜负的
5、概率为_.15（2019全国高三竞赛）设是的一个排列，记数列的前项和为则排列满足“都不是3的倍数”的概率为_.16（2019全国高三竞赛）一副扑克牌除去大、小王共52张.洗好后，四个人顺次每人抓13张.则两个红（即红桃、方块）在同一个人手中的概率为_.17（2018湖北高三竞赛）一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为_.18（2019上海高三竞赛）某侦察班有12名战士，其中报务员有3名.现要将这12名战士随机分成3组，分别有3名战士、4名战士、5名战士，那么每一组都有1名报务员的概率是_.19（2019贵州高三竞赛）已知m11，13，15，17，19，n
6、2000，2001，2019，则mn的个位数是1的概率为_ .20（2021全国高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为_.21（2021全国高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率为_22（2018福建高三竞赛）从如图所示的，由9个单位小方格组成的，方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为_23（2018全国高三竞赛）从集合中随机地、不放回地取出三个数，然后再从剩下的2011个数中同样随机地、不放回地取出三个
7、数.则将为长、宽、高的砖能放进以为长、宽、高的盒子中的概率为_24（2018全国高三竞赛）小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，直到第-次出现6点为止则小明和小红投掷的次数相差不超过1的概率为_25（2018全国高三竞赛）设n为正整数.从集合中任取一个正整数n恰为方程的解的概率为_（表示不超过实数x的最大整数）.26（2018全国高三竞赛）抛一颗色子三次，所得点数分别为、.则函数在上为增函数的概率为_.27（2019全国高三竞赛）将编号为1，2，9的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有相邻珍珠编号之差的绝对值之和为则取得最小值的放法的概率为_.28（2018全国高
8、三竞赛）小张、小李、小华、小明四人玩轮流投掷一枚标准色子的游戏.若有一人投到的数最小，且无人与他并列，则判他获胜；若投出最小数的人多于一个，则将没投出最小数的人先淘汰，再让剩下的人重新做一轮游戏，这样不断地进行下去，直到某个人胜出为止.已知第一个投掷色子的小张投到了数3.则他获胜的概率是_.29（2018全国高三竞赛）从集合中任意选取两个不同的数、，使得（为某正整数）的概率为则的最小值为_30（2018全国高三竞赛）两队进行乒乓球团体对抗赛,每队各三名队员,每名队员出场一次. 两队的三名队员分别是 ,且对的胜率为.则队得分期望的最大可能值是_.31（2018全国高三竞赛）将这16个正整数随机地
9、填入棋盘的16个格子中（每格填写一数），则使每行、每列填数之和皆为偶数的概率为_32（2019全国高三竞赛）某人练习打靶，开始时，他距靶，此时，进行第一次射击.若此次射击不中，则后退进行第二次射击，一直进行下去.每次射击前都后退，直到命中为止，已知他第一次的命中率为，且命中率与距离的平方成反比.则他能够命中的概率等于_.33（2019全国高三竞赛）如图，给定由个点组成的正三角形点阵在其中任意取三个点，以这三点为顶点构成的正三角形的概率为_34（2019全国高三竞赛）有7名运动员分别获得某项比赛的一、二、三等奖，已知一等奖的人数不少于1人，二等奖的人数不少于2人，三等奖的人数不少于3人.则恰有2
10、人获一等奖的概率为_.35（2019全国高三竞赛）某校进行投篮比赛，共有64人参加.已知每名参赛者每次投篮的命中率为.规定：只有连续命中两次才能被录取，一旦录取就停止投篮，否则一直投满4次.设表示录取人数.则_.36（2019全国高三竞赛）数字钟分别用两个数字显示小时、分、秒（如10:03:18）.在同一天的05:00:0023:00:00（按小时计算）之间，钟面上的六个数字都不相同的概率是_.37（2021浙江金华第一中学高三竞赛）甲，乙两人进行一场七局四胜制的游戏，任何一人累计获胜四局即为胜方，同时游戏结束，另一人为负方若在每局中，双方各有的概率获胜，则游戏结束时胜方比负方多获胜的局数的数
11、学期望为_38（2019四川高三竞赛）设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球(取出某色球的概率均相同)，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为，则的数学期望为_ .39（2019广西高三竞赛）从1，2，20中任取3个不同的数，这3个数构成等差数列的概率为_ .二、解答题(共0分)40（2018黑龙江高三竞赛）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征如扶贫政策义务宣传志愿者，从年龄在20，45的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示.（1）求图中x的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法
12、抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望.41（2018湖南高三竞赛）棋盘上标有第0，1，2，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败集中营）是，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为.（1）求的值；（2）证明：；（3）求的值.42（2018全国高三竞赛）已知数列满足，并且对任意的的概率均为（1）设的值为随机变量X，试求X的概率分布；（2）求X的绝对值的数学期望E|X|
13、43（2018全国高三竞赛）掷骰子（为均匀的正方体，六个面分别标有1、2、3、4、5、6）游戏规则如下：第一次掷9枚骰子，将其中显示为1的骰子拿出放到一边；第二次掷剩下的骰子，再将显示为1的骰子拿出；，直到未掷出显示为1的骰子或骰子全部拿出，游戏结束.已知恰好掷9次结束游戏的概率为（、为不同的质数，）.求.44（2018全国高三竞赛）从集合的子集中先后取出两个不同的子集、，求以下事件发生的概率：（1），且；（2）Card45（2019全国高三竞赛）甲乙两人参加竞选，结果是甲得票，乙得票. 试求：唱票中甲累计的票数始终超过乙累计的票数的概率.46（2019全国高三竞赛）如图，正六边形的中心为，对
14、、这七个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量.任取其中两个向量，以它们的数量积的绝对值作为随机变量.试求的概率分布列及其数学期望.47（2019全国高三竞赛）某镇有、三处茶楼，新来的镇长每天只去三处之一喝茶已知第一天他去三处的概率同为，且若某天去了处，则下一天分别以、的概率去、三处；若某天去了处，则下一天分别以、的概率去、三处；若某天去了处，则下一天分别以、的概率去、三处求第天镇长去、三处的概率48（2019全国高三竞赛）一个袋子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外，其余都相同.现从中任取两个球.（1）若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证:必为奇数；（2）若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率，求满足的所有数组.49（2019全国高三竞赛）已知100条线段的长度集合，试求从这些线段中任取三条线段能够构成三角形的概率50（2019全国高三竞赛）甲、乙两人做游戏.甲随机选定一个正整数对，乙做如下操作：将分成段，对每个整数，取或，得到.若，则甲胜；若，则乙胜.求甲胜的概率.