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1、平行简谐振动的合成平行简谐振动的合成 振动频谱振动频谱 设一个质点同时参与两个同方向、同频率的设一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动：简谐振动：代数方法：代数方法：一、同方向同频率简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成 旋转矢量法旋转矢量法 矢量矢量 的合矢量的合矢量 的的端点在端点在X 轴上的投影轴上的投影M的运的运动也是简谐振动，其频率与动也是简谐振动，其频率与原来两个振动相同。原来两个振动相同。即：即：合振动仍然是一个简谐振动，且频率不变。合振动仍然是一个简谐振动，且频率不变。可得，合振动：可得，合振动：从图中三角形的边角关系，很容易得到：从图中三角形的边角关系，很容易得到
2、：合振动的强弱合振动的强弱,取决于两分振动的相位差：取决于两分振动的相位差：=2-1=2k ,k=0,1,2,A=A1+A2,加强加强=(2k+1),k=0,1,2,A=|A1-A2|,减弱减弱=例：例：两同方向、同频率谐振动两同方向、同频率谐振动求：合成谐振动方程求：合成谐振动方程解：解：合成后合成后 不变，不变，合振动方程：合振动方程：设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其表达式为其表达式为：在在 OCP中：中：在在 OCM中：中：二、同方向的二、同方向的N个同频率简谐振动的合成个同频率简谐振动的合成所以，合振动的表达式所以，合振动的表达式上两式
3、相除得上两式相除得即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。当当讨论讨论2：这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。振动的振幅为零。以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用。规律时有重要的应用。当当 且且讨论讨论1：利用三角函数关系式：利用三角函数关系式：合成振动表达式合成振动表达式：这里我们讨论两个振幅、初相位相同，在同方向这里我们讨论两个振幅、初相位相同，在同方向上以不同频率振动的合成，上以不同频率振动的合成，且且
4、1 与与 2相差很小相差很小。三、同方向不同频率简谐振动的合成三、同方向不同频率简谐振动的合成合振动不合振动不是谐振动是谐振动随随t变化缓慢变化缓慢随随t变化较快变化较快由于由于 1 与与 2相差很小相差很小,故故 1-2比比 1+2小得多小得多;即即比比 的周期长得多的周期长得多！所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动振动拍拍:振幅振幅变化的频率变化的频率叫拍频。叫拍频。显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率的两倍。垂直简谐振动的合成垂直简谐振动的合成 设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的设一个质点同时参与了两个振动
5、方向相互垂直的同频率简谐振动。同频率简谐振动。、式消式消 t ，得合振动的轨道方程：得合振动的轨道方程：分振动分振动 上式是个椭圆方程，具体形状由上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。相位差决定。一、相互垂直同频率简谐振动的合成一、相互垂直同频率简谐振动的合成讨论讨论讨论讨论:为直线方程为直线方程1.同相位同相位2.反相位反相位3.是在是在X轴半轴长为轴半轴长为 ，Y轴轴半轴长为半轴长为 的椭圆方程，且的椭圆方程，且顺时针旋转。顺时针旋转。播播播播放放放放动动动动画画画画播放动画播放动画播放动画播放动画综上所述：综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，
6、合振动在一直线上或者在椭圆振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。质点的运动方向与质点的运动方向与 有关。当有关。当 时，时，质点沿顺时针方向运动；当质点沿顺时针方向运动；当 时，时，质点沿逆时针方向运动。质点沿逆时针方向运动。合振动一般是复杂的运动，轨道不是封闭曲线，合振动一般是复杂的运动，轨道不是封闭曲线，且合振动的轨道也不稳定。且合振动的轨道也不稳定。两分振动的频率成整数比，其两分振动的频率成整数比，其合振合振动的运动轨迹为动的运动轨迹为一稳定的闭
7、合曲线，称为李萨如图形。一稳定的闭合曲线，称为李萨如图形。二、相互垂直不同频率简谐振动的合成二、相互垂直不同频率简谐振动的合成播播放放动动画画 用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：在示用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。上式的推导：上式的推导：X=A1cos(t+1)Y=A2cos(t+2)变换：Y=A2cos(t+2
8、)=A2cos(t+1+2-1)令=t+1=2-1 则有：X=A1cos Y=A2cos(）得：Y=A2cos cos -sin sin 改写为：两边平方，利用 cos=X/A1阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振 实际振动过程存在着阻力，这种由弹性恢复力和实际振动过程存在着阻力，这种由弹性恢复力和阻力共同作用的振动叫阻力共同作用的振动叫阻尼振动阻尼振动。当物体低速运动时，阻力当物体低速运动时，阻力 谐振子的阻尼振动谐振子的阻尼振动一、阻尼振动一、阻尼振动一、阻尼振动一、阻尼振动(damped vibration)(damped vibration)欠阻尼振动欠阻尼振动1.过阻尼振动过
9、阻尼振动过阻尼振动过阻尼振动2.临界阻尼振动临界阻尼振动临界阻尼振动临界阻尼振动3.过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼三种阻尼振动比较三种阻尼振动比较三种阻尼振动比较三种阻尼振动比较欠阻尼欠阻尼临界阻尼达到平衡位置的临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过时间最短，但仍不能超过平衡位置。平衡位置。在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的强迫力的强迫力-策动力策动力。这种在周期性处力作用下进。这种在周期性处力作用下进行的振动叫受迫振动。行的振动叫受迫振动。2.受迫振动方程受迫振动方程(以弹簧一维振动为例以弹簧一维振动为例)弹簧受弹性力弹簧受弹性力阻尼力
10、阻尼力策动力策动力二、受迫振动二、受迫振动二、受迫振动二、受迫振动 共振共振共振共振1.受迫振动（受迫振动（forced vibration）受迫振动方程受迫振动方程-二阶常系数非齐次微分方程二阶常系数非齐次微分方程通解通解经过足够长的时间，受迫振动的稳定态为：经过足够长的时间，受迫振动的稳定态为：策动力频率等于固有频率时振幅最大策动力频率等于固有频率时振幅最大-共振。共振。3.共振共振(resonance)共振现象的应用共振现象的应用我国古代就有大量的应用我国古代就有大量的应用:天坛的回音壁天坛的回音壁黄鹤黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演楼上磨擦铜盆时水的共振表演小号发出的声波足以使酒杯破碎小号发出的声波足以使酒杯破碎