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1、控制系统数学模型控制系统数学模型是对实际物理系统的一种是对实际物理系统的一种数学抽象。数学抽象。要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型系统的数学模型。数学模型数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式数学表达式。物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流。数学表达式：代数方程、微分方程数学表达式：代数方程、微分方程。动态数学模型动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性。系统变量对时间的变化率，反映系统
2、的动态特性。用用微分方程微分方程描述描述第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型中国矿业大学信电学院1自动控制原理自动控制原理建模方法建模方法：分析法、实验法：分析法、实验法分分析析法法是是对对系系统统各各部部分分的的运运动动机机理理进进行行分分析析，根根据据系系统统运运动动规规律律（定定律律、经经验验公公式式）和和结结构构参参数数，写出系统输入输出之间数学关系式（运动方程式）。写出系统输入输出之间数学关系式（运动方程式）。利用物理定律利用物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流、电压定律、如牛顿定律、基尔霍夫电流、电压定律、能量守恒定律和热力学定律等。能量守恒定律和热力学定律等。线性定常线
3、性定常控制系统数学模型的类型控制系统数学模型的类型时域模型时域模型微分方程微分方程频域模型频域模型频率特性频率特性方框图方框图=原理图原理图数学模型数学模型复域模型复域模型传递函数传递函数第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型中国矿业大学信电学院2自动控制原理自动控制原理实验法实验法（黑箱法、辨识法）：人为施加某种测试信号，记（黑箱法、辨识法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。当的数学模型去逼近。黑匣子黑匣子输入（充分激励）输入（充分激励）输出（测量结果）输出（测量结
4、果）系统辨识系统辨识（数学建模）是一门独立学科 模型验证模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型中国矿业大学信电学院3自动控制原理自动控制原理本章内容概要本章内容概要v第一节 数学基础数学基础-拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用v第二节 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 v第三节 传递函数传递函数v第四节 控制系统建模示例控制系统建模示例v第五节 控制系统的方框图及其等效变换控制系统的方框图及其等效变换
5、v第六节 信号流图信号流图中国矿业大学信电学院4自动控制原理自动控制原理第一节第一节 数学基础数学基础-拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用一、拉氏变换定义 设函数设函数f(t)f(t)满足满足 t0t0 t0时，时，f(t)分段连续分段连续 则则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作的拉氏变换存在，其表达式记作 控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限拉氏变换的积分下限为拉氏变换的积分下限为（零的左极限零的左极限）中国矿业大学信电学院5自动控制原理自动控制原理3 3、指数函数指数函数：4、幂函数幂函数：1 1、脉冲函数脉冲函数：2 2、阶跃函数阶跃函数：
6、二、常用函数的拉式变换二、常用函数的拉式变换中国矿业大学信电学院6自动控制原理自动控制原理三、拉氏变换的基本定理三、拉氏变换的基本定理1.1.线性定理：线性定理：2.2.延迟定理：延迟定理：3.3.微分定理：微分定理：中国矿业大学信电学院7自动控制原理自动控制原理零初始条件：函数零初始条件：函数 f(t)及其及其各阶导数各阶导数的初始值都等于零的初始值都等于零在零初始条件下，在零初始条件下，5.5.初值定理：若函数初值定理：若函数 f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换及其一阶导数都是可拉氏变换的，则的，则函数函数 f f(t)(t)的初值为的初值为4.4.积分定理：积分定理：三、拉氏变换的基本定
7、理三、拉氏变换的基本定理中国矿业大学信电学院8自动控制原理自动控制原理注意：注意：在运用终值定理前必须先判定终值定理中在运用终值定理前必须先判定终值定理中的条件是否都满足，比如的条件是否都满足，比如在虚轴上有极点在虚轴上有极点在右半平面上有极点在右半平面上有极点6.6.终值定理：若函数终值定理：若函数 f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换及其一阶导数都是可拉氏变换的，则的，则函数函数 f f(t)(t)的终值为的终值为以上函数不能使用终值定理以上函数不能使用终值定理前提：前提：s sF F(s)(s)在包含虚轴的右半平面内解析（无极点）在包含虚轴的右半平面内解析（无极点）三、拉氏变换的基本定理三
8、、拉氏变换的基本定理中国矿业大学信电学院9自动控制原理自动控制原理F F(s s)化成下列因式分解形式：化成下列因式分解形式：四、拉氏反变换四、拉氏反变换F(s)F(s)中具有不同的极点时，可（留数法）展开为中具有不同的极点时，可（留数法）展开为 中国矿业大学信电学院10自动控制原理自动控制原理例例2.1 2.1 求求 的反拉氏变换的反拉氏变换 四、拉氏反变换四、拉氏反变换将将F F(s s)的分母因式分解为的分母因式分解为中国矿业大学信电学院11自动控制原理自动控制原理例例2.2 2.2 求求 的原函数的原函数将将F F(s s)的分母因式分解为的分母因式分解为 四、拉氏反变换四、拉氏反变换
9、中国矿业大学信电学院12自动控制原理自动控制原理 四、拉氏反变换四、拉氏反变换中国矿业大学信电学院13自动控制原理自动控制原理F(s)F(s)含有多重极点时，可展开为含有多重极点时，可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同。其余各极点的留数确定方法与上同。四、拉氏反变换四、拉氏反变换中国矿业大学信电学院14自动控制原理自动控制原理例例 求求 的原函数的原函数 四、拉氏反变换四、拉氏反变换中国矿业大学信电学院15自动控制原理自动控制原理 四、拉氏反变换四、拉氏反变换中国矿业大学信电学院16自动控制原理自动控制原理线性微分方程的求解方法：线性微分方程的求解方法：解析法、解析法、拉普拉斯变换法拉普拉
10、斯变换法、计算机辅助求解、计算机辅助求解拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成变量变成变量s的代数方程。的代数方程。（2）由变量）由变量s的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。（3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微 分方程的解。分方程的解。五、用拉氏变换求解微分方程五、用拉氏变换求解微分方程中国矿业大学信电学院17自动控制原理自动控制原理 例例2.5 2.5
11、设线性微分方程为设线性微分方程为式中，式中，为单位阶跃函数，初始条件为为单位阶跃函数，初始条件为 ，试求该微分方程的解。试求该微分方程的解。解：解：（1 1）对微分方程中的各项进行拉式变换得）对微分方程中的各项进行拉式变换得（2 2）将初始条件代入上式，得）将初始条件代入上式，得 五、用拉氏变换求解微分方程五、用拉氏变换求解微分方程中国矿业大学信电学院18自动控制原理自动控制原理（3）对式（）对式（1）进行分解：）进行分解：式中式中对对Y（S）进行拉式反变换（查表）进行拉式反变换（查表）五、用拉氏变换求解微分方程五、用拉氏变换求解微分方程中国矿业大学信电学院19自动控制原理自动控制原理设线性定
12、常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描述：阶线性常微分方程描述：式中式中c(t)c(t)是系统输出量，是系统输出量，r(t)r(t)是系统输入量。是系统输入量。一一.建立控制系统微分方程的一般方法建立控制系统微分方程的一般方法第二节第二节 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立，都是由系都是由系统统的的结结构参数决定的系数。构参数决定的系数。如果微分方程的系数都不随如果微分方程的系数都不随时间时间的的变变化而化而变变化，称化，称为为定常系定常系统统；如果微分方程的系数都不随空如果微分方程的系数都不随空间间位置位置的的变变化而化而变变化，称化，称为为集中参数系集中参数系统
13、统。由由线线性定常集中参数元件构成的性定常集中参数元件构成的动态动态系系统统称称为为线性定常系统线性定常系统 中国矿业大学信电学院20自动控制原理自动控制原理线性定常系统微分方程的建立步骤第二步：按照信号传递的顺序，根据各变量所遵循的运动规第二步：按照信号传递的顺序，根据各变量所遵循的运动规律列写各环节的动态方程。需考虑相邻元件间的负载效应，律列写各环节的动态方程。需考虑相邻元件间的负载效应，必要时考虑做线性化处理。必要时考虑做线性化处理。第一步：确定系统（或元件）的输入量、输出量。第一步：确定系统（或元件）的输入量、输出量。利用适当的物理定律利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔如牛顿定律、基尔
14、霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。一、建立控制系统微分方程的一般方法一、建立控制系统微分方程的一般方法第三步：消去中间变量，导出只含有输入量和输出量的系第三步：消去中间变量，导出只含有输入量和输出量的系统微分方程。统微分方程。第四步：规范、整理微分方程。输出量第四步：规范、整理微分方程。输出量放在方程右侧，输入量放在方程左侧，放在方程右侧，输入量放在方程左侧，各阶导数项的阶次按降幂排列。各阶导数项的阶次按降幂排列。中国矿业大学信电学院21自动控制原理自动控制原理 例2.6 如图所示，写出如图所示，写出RLC电路的微分方程电路的微分方程。二阶线性微分方程二阶
15、线性微分方程解：明确输入量解：明确输入量 ，输出量输出量各环节数学表达式各环节数学表达式消去中间变量，整理得到消去中间变量，整理得到一、建立控制系统微分方程的一般方法一、建立控制系统微分方程的一般方法中国矿业大学信电学院22自动控制原理自动控制原理例例2.7 2.7 已知已知RCRC滤波网络如图所示，试写出网络输滤波网络如图所示，试写出网络输入输出间的微分方程。入输出间的微分方程。一、建立控制系统微分方程的一般方法一、建立控制系统微分方程的一般方法解解 该网络由两个形式相同的RC电路串联而成。在列写微分方程时，必须考虑后级电路是否对前级电路产生影响。只有当后一环节的输入阻抗很大，对前面环节的影
16、响可以忽略时，才可以单独地分别列写每个环节的方程。中国矿业大学信电学院23自动控制原理自动控制原理在考虑负载效应的情况下，微分方程的列写步骤如下：在考虑负载效应的情况下，微分方程的列写步骤如下：一、建立控制系统微分方程的一般方法一、建立控制系统微分方程的一般方法（1 1）根据基尔霍夫定律，写出下面原始方程组）根据基尔霍夫定律，写出下面原始方程组（2 2）消去中）消去中间变间变量量，得，得 中国矿业大学信电学院24自动控制原理自动控制原理 列写如图所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua为输入量，电动机转速为输出量，列写微分方程。图中R、L分别是电枢电路的电阻和电感，ML为折算到电动
17、机上的等效负载转矩，视为干扰输入。例例2.9 2.9 电枢控制直流伺服电动机电枢控制直流伺服电动机 电电枢枢控控制制直直流流电电动动机机原原理理图图一、建立控制系统微分方程的一般方法一、建立控制系统微分方程的一般方法中国矿业大学信电学院25自动控制原理自动控制原理解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua在电枢回路中产生电枢电流ia，再由电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转距M，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下两个部分的平衡方程组成。v电枢回路电压平衡方程v电动机轴上的转距平衡方程 一、建立控制系统微分方程的一般方法一、建立控制系
18、统微分方程的一般方法中国矿业大学信电学院26自动控制原理自动控制原理ed 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压枢电压u ua相反，即相反，即 ed=ke ke电势常数电势常数(Vs/rad)电枢回路电压平衡方程：电枢回路电压平衡方程：一、建立控制系统微分方程的一般方法一、建立控制系统微分方程的一般方法中国矿业大学信电学院27自动控制原理自动控制原理-电枢电流产生的电磁转距电枢电流产生的电磁转距-电动机转距系数电动机转距系数电动机轴上的转距平衡方程：电动机轴上的转
19、距平衡方程：Jm转动惯量（电动机和负载折合转动惯量（电动机和负载折合 到电动机轴上的）到电动机轴上的）一、建立控制系统微分方程的一般方法一、建立控制系统微分方程的一般方法中国矿业大学信电学院28自动控制原理自动控制原理一、建立控制系统微分方程的一般方法一、建立控制系统微分方程的一般方法ed=ke 中国矿业大学信电学院29自动控制原理自动控制原理由由求出求出ia a，代入代入得：得：为方便起见，上式可以记为：一、建立控制系统微分方程的一般方法一、建立控制系统微分方程的一般方法中国矿业大学信电学院30自动控制原理自动控制原理在工程应用中，由于电枢电路电感在工程应用中，由于电枢电路电感L L较小，通
20、常忽略不计。较小，通常忽略不计。令干扰力矩 一、建立控制系统微分方程的一般方法一、建立控制系统微分方程的一般方法 如果电阻如果电阻Ra和电机的转动惯量和电机的转动惯量Jm都可以忽略都可以忽略不计，不计，可进一步简化为可进一步简化为这样的电机可作为测速发电机来使用这样的电机可作为测速发电机来使用中国矿业大学信电学院31自动控制原理自动控制原理叠加原理表明叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的总输出等两个外作用同时加于系统所产生的总输出等于各个外单独作用时分别产生的输出之和于各个外单独作用时分别产生的输出之和。且外作用的数值且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。增大若干倍时
21、，其输出亦相应增大同样的倍数。二、线性系统的基本特性二、线性系统的基本特性用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有两重含义:可叠加性和齐次性 中国矿业大学信电学院32自动控制原理自动控制原理三、非线性数学模型的线性化三、非线性数学模型的线性化1 1问题的提出问题的提出 严格地讲，一个实际的物理系统都会含有不同程度的非线性因素，如严格地讲，一个实际的物理系统都会含有不同程度的非线性因素，如元件的死区、传动的间隙、输出饱和等，然而许多非线性元件或系统在一定元件的死区、传动的间隙、输出饱和等，然而许多非线性元件或系统在一定条件下可以近似
22、地视为线性系统。条件下可以近似地视为线性系统。2 2增量方程与非线性方程的线性化增量方程与非线性方程的线性化 系系统统中所包含的有关中所包含的有关变变量的非量的非线线性函数，只要在平衡工作点附近性函数，只要在平衡工作点附近连续连续，且各，且各阶导阶导数存在数存在，在平衡点附近做小范，在平衡点附近做小范围围运运动时动时，可以将此非，可以将此非线线性函数以其性函数以其自自变变量偏差量偏差的形式展开的形式展开为为泰勒泰勒级级数。数。对对于于线线性系性系统统而言。而言。输输入入输输出出变变量相量相对对于平衡工作点的于平衡工作点的变变化增量仍化增量仍满满足描述系足描述系统统的微分方程关系。的微分方程关系
23、。如果此偏差很小，则可忽略级数中此偏差的高次项，而只保留一次项，用所得到线性化方程代替原来的非线性方程，这种线性化方法叫做小偏差线性化 中国矿业大学信电学院33自动控制原理自动控制原理三、非线性数学模型的线性化三、非线性数学模型的线性化尽管相应工作点通常不在坐标原点，但是我们用各变量的增量表示该变量，可尽管相应工作点通常不在坐标原点，但是我们用各变量的增量表示该变量，可以认为将坐标原点移到了额定工作点。这样在以增量表示的新坐标系中，系统以认为将坐标原点移到了额定工作点。这样在以增量表示的新坐标系中，系统运动的初始状态就等于零了，这是我们省略运动的初始状态就等于零了，这是我们省略设有一单变量非线性函数在平衡工作点附近将按泰勒级数展开，即 中国矿业大学信电学院34自动控制原理自动控制原理三、非线性数学模型的线性化三、非线性数学模型的线性化例例2.102.10设设三相三相桥桥式晶式晶闸闸管整流管整流电电路的路的输输入量入量为为控制角控制角，输出量为整流电压它它们们之之间间的关系是非的关系是非线线性的性的假如正常假如正常额额定工作点定工作点为为A A,此此时时设设控制角以工作点控制角以工作点A A为基准在小范围内变化为基准在小范围内变化控制角和整流电压之间的关系可以线性化为：控制角和整流电压之间的关系可以线性化为：中国矿业大学信电学院35自动控制原理自动控制原理