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1、 第三节 控制系统的传递函数 第三节 控制系统的传递函数 一传递函数的概念 二传递函数的性质 三典型环节及其传递函数 引言 控制系统的微分方程是在时域描述系统动态性能的数学模型在给定外作用及初始条件下求解微分方程可以得到系统的输出响应但系统中某个参数变化或者结构形式改变便需要重新列写并求解微分方程 传递函数对线性常微分方程进行拉氏变换得到的系统在复数域的数学模型为传递函数 传递函数不仅可以表征系统的动态特性而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响传递函数是经典控制理论中最根本也是最重要的概念 一传递函数的概念 图2-14所示的RC电路中电容的端电压uct根据克希霍夫定律可列写如下微分方
2、程 现在对上述微分方程两端进行拉氏变换并考虑电容上的初始电压uc0得 在式265 中如果把初始电压uc0也视为一个输入作用那么根据线性系统的叠加原理可以分别研究在输入电压ur t和初始电压uc 0作用时电路的输出响应假设uc00那么有 用式267来表征电路本身特性称做传递函数记为 二传递函数的性质 从线性定常系统传递函数的定义式269可知传递函数具有以下性质 1传递函数是复变量s的有理真分式函数分子的阶数m低于或等于分母的阶数n mn 且所有系数均为实数 式中k为常数-z1-zm为传递函数分子多项式方程的m个根称为传递函数的零点-p1-pn为分母多项式方程的n个根称为传递函数的极点 一般zip
3、i可为实数也可为复数且假设为复数必共轭成对出现将零极点标在复平面上那么得传递函数的零极点分布图如图2-17所示图中零点用 表示极点用x 表示 三典型环节及其传递函数 控制系统从动态性能或数学模型来看可分成为以下几种根本环节也就是典型环节 一比例环节 Proportional 二惯性环节 传递函数为如下形式的环节为惯性环节 三积分环节 它的传递函数为 五振荡环节含有两个贮能元件 振荡环节的传递函数为 六延滞环节 延滞环节是线性环节 t 称为延滞时间又称死时具有延滞环节的系统叫做延滞系统 如图2-23所示当输入为阶跃信号输出要隔一定时间t 后才出现阶跃信号在01t 内输出为零 电气系 张满生 电气
4、系 张满生 260 261 消去中间变量it得到输入urt 与输出uct之间的线性定常微分 方程 262 图2-14 RC电路 263 式中 Ucs 输出电压 uct 的拉氏变换 Urs 输入电压 urt 的拉氏变换 当输入为阶跃电压urt u01t时对Ucs求拉氏反变换即得 uct的变化规律 由上式求出Ucs的表达式 264 26 5 式中第一项称为零状态响应 由urt决定的分量 第二项称为零输入响应 由初始电压uc 0决定的 分量 图2-15表示各分量的变化曲线 电容电压uc t即为两者的合成 图2-15 RC网络的阶跃响应曲线 266 当输入电压urt一定时电路输出响应的拉氏变换Ucs完
5、全由 1RCs1所确定式266亦可写为 267 当初始电压为零时电路输出响应的象函数与输入电压的象 函数之比是一个只与电路结构及参数有关的函数 式中TRC显然传递函 数Gs确立了电路输入电压 与输出电压之间的关系 图2-16 传递函数 传递函数可用图2-16表示该图说明了电路中电压的传递 关系即输入电压Urs经过Gs的传递得到输出电压 Uc sGsUr s 对传递函数作如下定义 线性或线性化定常系统在零初始 条件下输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递 函数 假设线性定常系统由下述n阶微分方程描述 268 式中ct是系统输出量rt是系统输入量a0a1 anb0b1bm是与系统结构参数有
6、关的常系数 令CsLctRsLrt在初始条件为零时对式 268进行拉氏变换可得到s的代数方程 由传递函数的定义由式268描述的线性定常系统的传递函数 式中 Ms bmsmbm-1sm-1b1sb0为传递函数的分子多项式 Ds ansnan-1sn-1a1sa0为传递函数的分母多项式 分子numerator 分母 denominator 269 传递函数是在初始条件为零或称零初始条件时定义的 控制系统的零初始条件有两方面的含义一系统输入量及其各 阶导数在t0时的值均为零二系统输出量及其各阶导数在t0 时的值也为零 2传递函数只取决于系统和元件的结构和参数与外作用 及初始条件无关 270 3传递函
7、数的零极点分布图也表征了系统的动态性能将式269中分子多项式及分母多项式因式分解后写为如下形式 图2-17 Gs 零极点分布图 4 假设取式269中s 0那么 常称为传递系数或静态放大系数从微分方程式268看 s0相当于所有导数项为零方程蜕变为静态方程 或 b0 a0恰为输出输入时静态比值 5传递函数无法全面反映信号传递通路中的中间变量多输 入多输出系统各变量间的关系要用传递函数阵表示 比例环节的传递函数为 Gs K 271 输出量与输入量成正比比例环节又称为无惯性环节或放大环节 图2-18 比例环节 图2-18a所示为一电位器输入量和输出量关系如图2-18b 所示 272 当环节的输入量为单
8、位阶跃 函数时环节的输出量将按指 数曲线上升具有惯性如图 2-19a所示 式中 K环节的比例系数 T环节的时间常数 图2-19 惯性环节 273 当积分环节的输入为单位 阶跃函数时那么输出为tT它 随着时间直线增长T称为积 分时间常数T很大时惯性环 节的作用就近似一个积分环节 图2-20b为积分调节器积 分时间常数为RC 图2-20 积分环节 四微分环节 理想微分环节传递函数为 Gs T s 274 输入是单位阶跃函数1t时理想微分环节的输出为ctTdt 是个脉冲函数 在实际系统中微分环节常带有惯性它的传递函数为 理想微分环节的实例示于图2-21aba为测速发电机 图中b为微分运算放大器 275 它由理想微分环节和惯性环节组成如图2-21cd所示在 低频时近似为理想微分环节否那么就有式275的传递函数 图2-21 微分环节 276 式中wn -无阻尼自然振荡频率wn1T z 阻尼比0z1 图2-22所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线 图2-22 振荡环节的单位阶跃响应曲线 图2-23 延滞环节