2023年圆教学设计.docx

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1、2023年圆教学设计 圆 目标认知 学习要点 1.了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 2.了解圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用 3.了解圆周角的概念，理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用 重点 1.垂径定理及其运用 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用 3.圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 难点 1.探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题 2.探索定理和

2、推论及其应用 3.运用数学分类思想证明圆周角的定理 一、知识要点梳理 知识点 一、圆的定义 1.定义1： 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一圈，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆(circle)，固定的端点O叫做圆心(center of a circle)，线段OA叫做半径(radius).以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O” 要点诠释： (1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； (2)圆是一条封闭曲线. 2.定义2： 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： (1)定点为圆

3、心，定长为半径； (2)圆指的是圆周，而不是圆平面； (3)强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球 面，一个闭合的曲面. 知识点 二、与圆有关的概念 1 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦(chord). 直径：经过圆心的弦叫做直径(diameter). 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是O的直径，CD是O中任意一条弦，求证：ABCD. 证明：连结OC、OD AB=AO+OB=CO+ODCD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 直径AB是O中最长

4、的弦. 2.弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc).以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆(semi-circle). 优弧：大于半圆的弧叫做优弧. 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： (1)半圆是弧，而弧不一定是半圆. (2)无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.同心圆与等圆 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 4.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： 等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视.知识

5、点 三、圆的对称性 1.圆是轴对称图形 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 2.圆是中心对称图形 圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能和自身重合，对称中心就是圆心，因此，圆又是中心对称图形. 要点诠释： (1)圆有无数条对称轴； (2)因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆 的对称轴是直径所在的直线”. 知识点 四、垂直于弦的直径 1.垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点

6、诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点 五、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角(central angle) 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.知

7、识点 六、圆周角 1.圆周角定义： 像图中AEB、ADB、ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 二、规律方法指导 圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题.另外，这一章的概念和定理较多

8、，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识.由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章. 经典例题透析 类型 一、圆及有关概念 1.判断题(对的打，错的打，并说明理由) (1)半圆是弧，但弧不一定是半圆； (2)弦是直径； (3)长度相等的两段弧是等弧； (4)直径是圆中最长的弦. 思路点拨：(1)因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；(2)直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；(3)只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；(4)直径是圆中最长的弦，正确. 答案：(1)(2)(3)(4). 举一反三

9、【变式1】下列说法错误的是( ) 4 A.半圆是弧 B.圆中最长的弦是直径 C.半径不是弦 D.两条半径组成一条直径 思路点拨：弧有三类，分别是优弧、半圆、劣弧，所以半圆是弧，A正确；直径是弦，并且是最长的弦，B正确；半径的一个端点为圆心，另一个端点在圆上，不符合弦的定义，所以不是弦，C正确；两条半径只有在同一直线上时，才能组成一条直径，否则不是，故D错误. 答案：D. 类型 二、垂径定理及应用 2.已知，点P是半径为5的O内一点，且OP=3，在过点P的所有的O的弦中，弦长为整数的弦的条数为( ) A.2 B.3 C. 4D.5 思路点拨：在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦

10、是经过这一点与直径垂直的弦.知道这些，就可以利用垂径定理来确定过点P的弦长的取值范围. 解：作图，过点P作直径AB，过点P作弦 则OC=5，CD=2PC 由勾股定理，得 CD=2PC=8，又AB=10 过点P的弦长的取值范围是 ，连接OC 弦长的整数解为8，9，10，根据圆的对称性，弦长为9的弦有两条，所以弦长为整数的弦共4条. 答案：C. 总结升华：本题中很多条件是“隐性”出现的，或者称之为“隐含条件”.我们在解题时，要善于挖掘隐含条件，识别隐含条件的不同表达方式，将其转化为容易理解的题目，化难为易，这也体现了转化思想在解题中的具体应用. 3.已知：O的半径为10cm，弦ABCD，AB=12

11、cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离. 思路点拨：O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离. 解：(1)如图，当O的圆心O位于AB、CD之间时，作OMAB于点M，并延长 MO，交CD于N点.分别连结AO、CO. 又ABCD ONCD，即ON为弦CD的弦心距. AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm =8+6 =14(cm) (2)如图所示，当O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆 心O的同侧)时 同理可证：MN=OM-ON=8-6=2(cm) O中，平行线AB

12、、CD间的距离是14cm或2cm.总结升华：解这类问题时，要依平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点O是 的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径 思路点拨：本题是垂径定理的应用. 解：如图，连接OC 设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m OECD CF=CD=600=300(m) 根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF 2 即R2=3002+(R-90)2 解得R=545 这段弯路的半径为545m 总结升华：构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这

13、种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 举一反三 【变式1】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由 思路点拨：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m，是否需要采取紧急措施，要求出DE的长，因此要先求半径R 解：不需要采取紧急措施 设OA=R，在RtAOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18 R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324 解得R=34(m) 连接OM，设DE=x，在RtMO

14、E中，ME=16 342=162+(34-x) 2x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64(不合题意，舍) DE=4m大于3m 不需采取紧急措施 类型 三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 5.如图，在O中， ，求A的度数. 思路点拨：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 解： 举一反三 【变式1】如图所示， 中弦AB=CD，求证：AD=BC. . 思路点拨：AD和BC是同圆中两条相等的弦，要说明的AB、CD也是同圆中的两条相等的弦，可以考虑弧、弦、圆心角的关系，因为图中没有给出圆心角，所以可以先考虑弧. 证法1：AB=CD，为优弧或同为劣弧)也相等

15、) (在同圆中，相等的弦所对的弧(同 AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等) 证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC， AB=CD，的圆心角相等) (在同圆中，相等的弦所对 AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等) 总结升华：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中若有一组量相等，它们对应的其余各组量也相等，因此在圆中说明或证明弦、弧、圆心角的相等关系时可考虑利用弧、弦、圆心角的关系，只不过叙述时要注意一条弦和两条弧对应，不要认为相等的弦所对的弧一定相等 类型 四、圆周角定理及应用 6.如图，AB是O的直径，C、D、E都是O上的点，则1+2=_. 思路点拨：如图，连接O

16、E，则 答案：90. 举一反三 【变式1】如图，A、B、C、D是O上的四点，且BCD=100，求1（ 所对 8 的圆心角）和BAD的大小 思路点拨：要求圆心角BOD的大小，且知道圆周角BCD=100，但两者不是同弧所对的角，不能直接利用同弧所对圆心角等于圆周角的2倍来实现求解观察BCD它所对的弧是，而 所对的圆心角是2，所以可以解得2又发现2和1的和是一个周角，所以可得1，而BAD= 解：BCD和2分别是 1. 所对的圆周角和圆心角 2=2BCD=200 又2+1=360，1=160 BAD和1分别是 所对的圆周角和圆心角 总结升华：圆心角和圆周角是借助它们所对的弧联系起来的，所以在圆中进行有

17、关角的计算时，通常找到已知角所对弧，看看怎么样通过弧和未知角建立起联系事实上由这个题我们可以总结出圆内接四边形对角互补 7如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ 思路点拨：BD=CD，因为AB=AC，所以这个ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是BAC的平分线即可 解：BD=CD 理由是：如图，连接AD AB是O的直径 ADB=90即ADBC 又AC=AB BD=CD. 举一反三 【变式1】如图所示，AB为O的直径，动点P在O的下半圆，定点Q在O的上半圆，设POA=x，PQB=y，当P点在下半圆移动时

18、，试求y与x之间的函数关系式. 9 解： 解法1：如图所示， AB为O的直径，AOP=x POB=180-x=(180-x) 又 解法2：如图所示，连结AQ， 则 又AB是O的直径， AQB=90 【变式2】已知，如图，O上三点A、B、C，ACB=60，AB=m，试求O的直径长. 解：如图所示，作O的直径AC，连结CB 则ACB=C=60 又AC是O的直径， ABC=90 即O的直径为 . 10 学习成果测评 基础达标 一、选择题 1.下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；垂直于弦的直径平分弦；相等的圆心 角所对的弧相等其中真命题的是（ ） A. B. C. D. 2.下列命题中，正

19、确的个数是（ ） 直径是弦，但弦不一定是直径； 半圆是弧，但弧不一定是半圆； 半径相等的两个圆是等圆 ； 一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如果两个圆心角相等，那么（ ） A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D.以上说法都不对 4.O中，AOB=84，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ） A.42 B.138 C.69 D.42或138 5.如图，已知A、B、C是O上的三点，若ACB=44则AOB的度数为（ ） A44 B46 C68 D88 6.如图，如果AB为O的直径，弦CD

20、AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ） A.CE=DE B.C.BAC=BAD D.ACAD 7.如图，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ） A.4 B.6 C.7 D.8 8.如图，A、B、C三点在O上，AOC=100，则ABC等于（ ） A.140 B.110 C.120 D.130 9.如图，O的直径CD垂直于弦EF，垂足为G，若EOD=40,则DCF等于（ ） A.80 B.50 C.40 D.20 10.如图，O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（ ） A3OM5 B4OM5 C3OM5 D4OM5 二、填

21、空题 1.如图，AB为O直径，E是 中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_. 2.如图，O中，若AOB的度数为56，ACB=_. 3.如图，AB是O的直径，CD是弦，BDC=25，则BOC=_. 4.如图，等边ABC的三个顶点在O上，BD是直径，则BDC=_， 12 ACD=_.若CD=10cm， 则O的半径长为_. 5.如图所示，在O中，AB是O的直径，ACB的角平分线CD交O于D，则ABD=_度 6.（山西）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门

22、.仅从射门角度考虑，应选择_种射门方式. 三、解答题 1.如图，AB为O的直径，CD为弦，过C、D分别作CNCD、DMCD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由. 2.如图，在O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MCAB，NDAB，M、N在O上. (1)求证：= ； 成立吗？ (2)若C、D分别为OA、OB中点，则 13 3.如图，已知AB=AC，APC=60 (1)求证：ABC是等边三角形. (2)若BC=4cm，求O的面积. 能力提升 一、选择题 1.如图，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，是( ) A.ABCD B.AOB=4ACD C. D.P

23、O=PD 2.如图，O中，如果=2，那么( ) A.AB=AC B.AB=2AC C.AB2AC D.AB2AC 则下列结论中不正确的14 3.如图， 1、 2、 3、4的大小关系是( ) A.4123 B.41=32 C.4132 D.413=2 4.如图，AD是O的直径，AC是弦，OBAD，若OB=5，且CAD=30，则BC等于( ) A.3 B.3+ C.5- D.5 二、填空题 1.P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_. 2.如图，OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_(只需写一个正确的结论). 3.如图，AB和D

24、E是O的直径，弦ACDE，若弦BE=3，则弦CE=_. 4.半径为2a的O中，弦AB的长为 ，则弦AB所对的圆周角的度数是_. 5.如图，AB是O的直径，C、D、E都是圆上的点，则1+2=_. 15 三、解答题 1.如图，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD长. 2.如图，AOB=90，C、D是AE=BF=CD. 三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证： 3.如图，C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，BMO=120. (1)求证：AB为C直径. (2)求C的半径及圆心C的坐标. 综合探究 1.如图，直

25、角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为_. 16 2.AB是O的直径，AC、AD是O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=DAC的度数. ，求答案与解析 基础达标 一、选择题 1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.D 7.D 8.D 9.D 10.A 二、填空题 1.8 2.28 3.50 4.60，30，10cm 5.45 6.第二 三、解答题 1.AN=BM 理由：过点O作OECD于点E， 则CE=DE，且CNOEDM. ON=OM，OA-ON=OB-OM， AN=BM. 2.(1)连结OM、ON，在RtOCM和RtODN中O

26、M=ON， OA=OB，AC=DB，OC=OD，RtOCMRtODN， AOM=BON， (2) 提示：同上，在RtOCM中，同理 ， . ， 3.(1)证明：ABC=APC=60， 又 ，ACB=ABC=60，ABC为等边三角形. (2)解：连结OC，过点O作ODBC，垂足为D， 在RtODC中，DC=2，OCD=30， 设OD=x，则OC=2x，4x2-x2=4，OC= O的面积 能力提升 一、选择题 1.D 2.C 3.B 4.D 二、填空题 1.8cm，10cm 2.AB=CD 3. 34.120或60 5.90 三、解答题 1.过O作OFCD于F，如右图所示 AE=2，EB=6，OE

27、=2， OF=1，EF= ，连结OD， ，CD= 2. 在RtODF中，42=12+DF2，DF= 2.连结AC、BD，C、D是 三等分点， AC=CD=DB，且AOC=90=30， OA=OC，OAC=OCA=75， 又AEC=OAE+AOE=45+30=75， AE=AC， 同理可证BF=BD，AE=BF=CD. 3.(1)C经过坐标原点O，且A、B为C与坐标轴的交点，有AOB=90 AB为直径； (2)BMO=120， 的比为1：2，它们所对的圆周角之比为BAO:BMO=1：2 BAO=60，在RtABO中，AB=2AO=8，C的半径为4； 作 AE=OE，BF=OF 在RtABO中，A

28、O=4，OB= ，垂足分别为点E、F 18 圆心C的坐标为 . 综合探究 1.（2，0）提示：如图，作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心. 2.(1)AC、AD在AB的同旁，如右图所示，作 ，垂足分别为点E、F AB=16，AC=8，AD=8 ， 在RtAOE中， CAB=60， 同理可得DAB=30， DAC=30.(2)AC、AD在AB的异旁，同理可得：DAC=60+30=90. 19 圆教学设计 圆 教学设计 圆教学设计 圆 教学设计 圆教学设计 圆的面积教学设计圆的面积教学设计 圆的面积教学设计与评析 教学设计认识圆 认识圆教学设计 圆教学设计推荐 认识圆教学设计