《1[1].3 函数的极限.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1[1].3 函数的极限.ppt（39页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.31.3函数的极限函数的极限1.3.1自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限1.3.2自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限 1.3.3单边极限单边极限1.3.4函数极限的性质函数极限的性质 1.3.5函数极限的四则运算法则函数极限的四则运算法则 1.3.6函数极限的一个存在准则和两个重函数极限的一个存在准则和两个重要极限要极限基本要求基本要求 右极限之间的关系右极限之间的关系;2 2、掌握掌握极限的性质及四则运算法则极限的性质及四则运算法则;3 3、掌握掌握极限存在的准则，并会利用它们求极极限存在的准则，并会利用它们求极1 1、理解理解函数极限的概念，
2、函数极限的概念，理解理解函数左极限函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、与右极限的概念以及函数极限存在与左、限限;4 4、掌握掌握利用两个重要极限求极限的方法利用两个重要极限求极限的方法.1.3.1自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限 x趋趋于于无无穷穷大大，实实际际上上包包括括三三种种情情形形：x取取正正值值无无限限增增大大；x取取负负值值而而绝绝对对值值无无限限增增大大;x既既1.x趋于正无穷大趋于正无穷大(记作记作 无限增大无限增大.可取正值可取正值,也可取负值也可取负值,而而假设函数假设函数 (a 为某个常数为某个常数)时有时有定定当当义义,讨论当讨论当时函
3、数时函数的极限与的极限与时数列时数列的极限是类似的的极限是类似的.P28或或正无穷大时函数正无穷大时函数f(x)的极限，记作的极限，记作趋向于某一个常数趋向于某一个常数A，那么我们就称那么我们就称A为当为当x趋向于趋向于 如果当如果当时时,对应的函数值对应的函数值f(x)无限地无限地例如例如,由函数由函数的的图形可见图形可见,即即 时时,当当常数常数或记作或记作无限地趋向于无限地趋向于类似于数列极限的类似于数列极限的定义定义,为了给出为了给出函数函数极限的极限的表示表示x无限增大无限增大,定义定义.这里用这里用用用趋向于趋向于常数常数A.任意小任意小)表示表示f(x)无限地无限地下面给出下面给
4、出的的定义定义:定义定义1 设函数设函数f(x)当当有定义，如果函数有定义，如果函数f(x)与某个确定的常数与某个确定的常数A A 满足满足关系：对关系：对 成立成立,那么常数那么常数A称为函数称为函数f(x)当当或者说函数或者说函数f(x)当当时收敛于时收敛于A，记作记作 或或(a 为某个常数为某个常数)时时(无论多么小无论多么小)，,当当时时时的极限时的极限,P29定义定义1 1的的几何意义几何意义：直线直线与与,则总存在一个正数则总存在一个正数X X,使得在区间使得在区间这两条直线之间这两条直线之间.对对的上、下方各作一的上、下方各作一,在直线在直线内内,函数函数f(x)的图形完全位于的
5、图形完全位于P292.另两种情形另两种情形:使当使当恒有恒有情形：情形：情形：情形：由于由于或或如下结论如下结论:,从而可得从而可得例例1证证及及 类类 似似 地地,用用定义可以证明定义可以证明P301.3.2自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限考察函数考察函数 当当时的变化趋势。如下图所示时的变化趋势。如下图所示：下面讨论当自变量下面讨论当自变量x趋于有限值趋于有限值对应的对应的无限接近于某一个常数无限接近于某一个常数A的情形的情形。时，时，P30何种方式趋于何种方式趋于2,相应的函数值相应的函数值 时我们称当时我们称当 时函数时函数f(x)以以3当当x在实数轴上不论以在
6、实数轴上不论以f(x)与与3无限接近无限接近,这这记作记作或或为极限为极限,0-1-2-3123-4-1-2123xy下面给出函数极限的下面给出函数极限的无限接近于常数无限接近于常数A.(不论多么小不论多么小),表示表示一般地一般地,用用表示表示(即即与与的接近程度的接近程度定义：定义：时，时，定义定义,若若对对,0,0 d d$e e 使当使当则称函数则称函数 当当 时以时以A为极限为极限,记作记作 或或设函数设函数定义定义2的某一去心邻域有的某一去心邻域有在点在点恒有恒有P31作一直线作一直线与与得一带形区域得一带形区域,则总可以则总可以内函数的图形内函数的图形完全位于这两条直线之间。完全
7、位于这两条直线之间。函数函数时以时以A为极限的为极限的几何解释几何解释:当当与与使得在区间使得在区间找到相应的的一个正数找到相应的的一个正数,对任意给定的对任意给定的的上、下方各的上、下方各,在直线在直线理解定义理解定义2应注意两点：应注意两点：,从而得从而得定义证明：定义证明：例例2 用用证证 对于对于 ,当当时，有时，有,只要只要于是要于是要取取，当，当，有，有P31证证.且且x不取负值不取负值00只要只要e e 0,使得使得,取取，则，则设设即即在在的去心邻域的去心邻域内有界。内有界。3.局部保号性局部保号性定理定理4 若若证证 设设，由极限的定义，由极限的定义,必必，当，当 时时,有有
8、 或或对对的的情况，取情况，取则则,使得对于使得对于内的一切内的一切，有，有,因因,故故P33推论推论 设设且且AB，由定理由定理4 4的证明的证明,可得下列更强的结果可得下列更强的结果:定理定理44若若则则使得使得，有，有类似地可以证明类似地可以证明:（或（或若若），），那么必存在那么必存在,使得在使得在和和内内,有有.推论推论 设设若若则则或（或（）。）。证明从略（反证法证明从略（反证法）.定理定理5 若在若在的某个去心邻域的某个去心邻域内内P344.函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系任何数列任何数列，当，当时时,都有都有 函数极限不存在。函数极限不存在。另一方面另一方面,可
9、由函可由函数数 定理定理5 5的作用：的作用：一方面可以通过数列一方面可以通过数列定理定理5 5的充分必要条件是对于的充分必要条件是对于时的时的子数列子数列.数列数列称为称为当当的极限来确定函数的极限来确定函数极限的某些性质或用来说明极限的某些性质或用来说明的极限的极限来求数列来求数列的极限。的极限。P34证证必要性必要性充分性充分性假设假设（反证法）（反证法）则对则对，使得使得，现取一列现取一列必必存在存在满足满足与题设矛盾与题设矛盾,故故但但由此得到一个收敛于由此得到一个收敛于的数列的数列对应的函数值数列对应的函数值数列却不可能以却不可能以A A为极限为极限,二者不相等二者不相等,例如例如
10、证证1.3.5函数极限的四则运算法则函数极限的四则运算法则 关关于于函函数数的的极极限限,也也有有类类似似于于数数列列极极限限的的四四则则运算法则运算法则.为了简单起见，下面仅给出当为了简单起见，下面仅给出当时时函函数数极极限限的的运运算算法法则则，对对于于自自变变量量的的变变化化过过程为其它情形时函数的极限也有类似法则。程为其它情形时函数的极限也有类似法则。P35（1）(2)(3)，其中，其中定理定理7 若若与与都存在，则都存在，则P35证证(2)设设。由定理。由定理6(利用利用必要性必要性),对任何数对任何数列列，当，当时，有时，有于是由数列极限的运算性质于是由数列极限的运算性质 得得再利用定理再利用定理6(充分性充分性)可得可得 存在，且存在，且等于等于AB,即即(2)成立成立.注注 定理定理7中（中（1）、（）、（2）两结论可以推广到有限）两结论可以推广到有限多个函数相加减、相乘的情形。多个函数相加减、相乘的情形。类似地可以证明类似地可以证明(1)、(3).推论推论1 若若 为常数为常数,则则存在存在,为正整数为正整数,则则推论推论2 若若存在存在,例例5 设设其中其中为常数为常数,求求解解 由定理由定理7及推论有及推论有 即即P35例例6 求求解解一般地一般地,对于有理函数对于有理函数有有P35例例7 求求解解P36