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1、2112函数极限函数极限（2）函数极限的定义00( )() ,0,hf xO xxA 设在内定义是一个确定值 若对00(),0,( ),hxxf xAA使得当时 总有则称 为0( ),f xx在点 处的极限 记作0lim( )xxf xA如引例中21241lim221xxx【2-2-2】（3）定义中应注意的问题定义强调的是0( ),f xx的变化趋势 而不要求 有定义 因此函数在某点的极限问题与函数在该点的定义是否存在及函数值的多少都没有关系。0000() ,xxxOxx 几何意义( )( )( )f xAf xOA00( )y f xxxxxyAyA因此曲线 =在直线和之间的部分都落在直线与
2、所夹的带状区域内YXO0 x0 xyAyA( )yf x【2-2-3】2、自变量趋于无穷大的函数极限（1）定义( )(,)( ,),0,f xaaA 设在有定义为确定值 若对000,( ),lim( )xXxXf xAf xA使得当时都有则称（2）其他形式lim( )xf xAlim( )xf xA并且有lim( )lim( )lim( )xxxf xAf xf xA【2-2-4】3、单侧极限（1）右极限：0lim( )xxf xA0(0)f x （2）左极限：0lim( )xxf xA0(0)f x （3）单侧极限与极限的关系000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf
3、xf xA【2-2-5】二、由函数图形认识函数极限 根据已知的一些基本初等函数的图形，依自变量的变化趋势，观察函数值的对应变化趋势及其变化结果，从而推测出函数在相应变化趋势下的极限，当然，严格地说，还应对推测的结果用数学定义进行证明。例例1 1yx由函数的图形考察极限000111111lim, lim,lim, lim, lim,limxxxxxxxxxxxx1lim0,xx1lim0,xx1lim0,xx01lim,xx 01lim,xx 01limxx oxyxy1 xy1 函数图形为依函数图形有【2-2-6】例例2xye由函数的图形考察极限lim, lim,limxxxxxxeeeXYO
4、1limxxe lim0 xxelimxxe不存在依函数图形有xye函数图形为【2-2-7】例例3arctanyx由函数的图形考察极限lim arctan , lim arctan ,limarctanxxxxxxYOX2y2y arctanyx函数图形为：依函数图形有lim arctan2xxlim arctan2xx limarctanxx不存在【2-2-8】例例4lnyx由 函 数的 图 形 考 察 极 限0lim ln , lim lnxxxx函数图形为依函数图形知有XYO1lnyxlim lnxx 0lim lnxx 【2-2-9】例例5sinyx由函数的图形考察极限000lim s
5、in , lim sin ,limsin , lim sin , lim sin ,limsinxxxxxxxxxxxxsinyx1y 1y YOX22函数图形为依函数图形有000lim sinlim sinlimsin0 xxxxxxlim sin , lim sin ,limsinxxxxxx均不存在【2-2-10】三、由函数值认识函数极限1、结论：000( ),lim( )()xxf xxDxDf xf x若为初等函数则有2、理解举例21621xyx例 :由函数的值的变化趋势考察极限2211lim,lim,2121xxxxxx 22111lim,lim2121xxxxxx 【2-2-11
6、】解：221111limlim12122xxxxxx 221111limlim12122xxxxxx 21lim21xxx 不存在21,213,12xxx 而当时 有2112lim213xxx【2-2-12】例例7211lim()1xxxxx考察极限解：21(1)(1)( )1(1)xxxf xxxxx x11 ,( )xxf xx当时 有21111(1)(1)1limlimlim21(1)xxxxxxxxxxx xx【2-2-13】例例8 设 ( )f x 21,xx00 xx10lim( )lim( )xxf xf x考察极限和解：解：11lim( )lim213xxf xx00lim(
7、)lim211xxf xx 而00lim( )lim0 xxf xx000lim( )lim( ),lim( )xxxf xf xf x由于所以不存在本节作业：P50 8、12【2-2-14】011.limlimlimlimlimlim0,1.3.limlimlim.4.xxxxxxxxxaa-x-x-x-xaaaa练习由函数y=2 的图形考察极限2 ，2 ，2 。2.由函数y=log1+x ,的图形考察极限log1+x ，log1+x ，log1+x ，其中由函数y=arcctgx,的图形考察极限arcctgx，arcctgx，arcctgx由函数y021limlimlimlimlimlimlim.xxxxxxxxxxxx22222=cosx的图形考察极限cosx，cosx，cosx。5.由函数y= x-x的值的变化趋势来考察极限x-x，x-x，x-x，x-x