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1、一、自变量一、自变量一、自变量一、自变量 x x 趋于无穷大时函数的极限趋于无穷大时函数的极限趋于无穷大时函数的极限趋于无穷大时函数的极限二、自变量二、自变量二、自变量二、自变量 x x 趋于有限值时函数的极限趋于有限值时函数的极限趋于有限值时函数的极限趋于有限值时函数的极限三、三、三、三、函数极限的性质函数极限的性质函数极限的性质函数极限的性质四、四、四、四、函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系1.3 函数的极限函数的极限 设对充分大的设对充分大的 x 函数值函数值 f(x)处处有定义处处有定义,如果随着如果随着x的的无限增大无限增
2、大,相应的函数值相应的函数值f(x)无限无限接近接近于某一常数于某一常数 A.那么那么A称为函数称为函数f(x)当当x趋向趋向于无穷大时的极限于无穷大时的极限.以下分别用记号以下分别用记号表示表示 x,无限增大的过程无限增大的过程x 趋向于负无穷趋向于负无穷x 趋向于无穷趋向于无穷x趋向于正无穷趋向于正无穷一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限x+x x x,|x|记作记作 1 定义定义2 设函数设函数 f(x)当当|x|大于某一正数时有定大于某一正数时有定义义,如果存在常数如果存在常数 A,对于对于任意
3、给定任意给定的正数的正数 ,总总存在存在正数正数X,使得当使得当|x|X 时时,或或 f(x)A(x).|f(x)A|0,X0,当当|x|X 时时,恒有恒有|f(x)A|.XX3.的几何意义的几何意义 当当xX 时时,函数函数y=f(x)的图形完全落的图形完全落在以直线在以直线 y=A 为中心线为中心线,宽为宽为 2 的带形区域内的带形区域内.xy0A A+A例例7 证明证明证证称为函数称为函数y=f(x)的图形的的图形的水平水平渐近线渐近线.则直线则直线 y=C定义定义 如果如果 对对 0,X 时时,有有 故故|f(x)0|=定义定义定义定义2*2*定义定义定义定义2*2*0,X0,当当 x
4、X 时时,恒有恒有|f(x)A|0,X0,当当 x X 时时,恒有恒有|f(x)A|0,则当则当x X 时时,有有|f(x)0|=|2x 0|1=2x x 0,则当则当xX 时时,有有|f(x)0|=|ax 0|=ax 故故 y=ax(0a1)0 xy10a1(0a log a 取取 X=log a max 1,解解 因为因为和和虽然都存在虽然都存在,但它们不相等但它们不相等.故故不存在不存在.例例3*讨论极限讨论极限 定理定理定理定理1 1是否存在是否存在?x0y 记作记作 1 定义定义1 设函数设函数f(x)在点在点x0某去心邻域某去心邻域内有定义内有定义,如果存在常数如果存在常数 A,对
5、于任意给定的正数对于任意给定的正数 ,总存在总存在正数正数 ,使得当使得当0|x x0|时时,恒成立恒成立.则常数则常数A称为函数称为函数f(x)当当x 趋于趋于x0时的时的极限极限.二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限或或 f(x)A (xx0).|f(x)A|0,0,使当使当0|x x0|时时,恒有恒有|f(x)A|.“”定义定义00,作出带形区域作出带形区域 0,0,当当0|x x0|时时,有有|f(x)A|.A f(x)A+.0|x x0|0,任取任取 0,则则|f(x)C|=|C C|当当0|
6、x x0|时时,有有0,取取 =,则则|f(x)A|=|x x0|当当0|x x0|时时,有有0,取取 =,则则|f(x)A|=当当0|x 1|时时,有有=|x+1 2|=|x 1|0,|f(x)A|=|(2 x 1)1|则则当当0|x 1|时时,有有 .=2|x 1|例例3 证明证明因此因此2 =注注 (2)定义中定义中 体现体现x 接近接近x0 程度程度,它与它与 有关有关.一般地一般地:越小越小,也越小也越小.(1)定义中定义中 00 时时,0,.当当0|x x0|时时,有有 取取 =所以所以=.x 0 可用可用0|x x0|x0 保保证证x0,定理定理定理定理2 2 f(x00)=f(
7、x0+0)=A.x,x 0.x,x0,某个时刻某个时刻,从此时刻后从此时刻后,恒有恒有|f(x)A|0)(或或A0(或或f(x)0(或或A0),则总存在则总存在一个正数一个正数 ,使使当当0|x x0|0(或或f(x).推论推论3 如果如果 ,且且f(x)0(或或 f(x)0),则则A 0(或或A 0).四、函数极限与数列极限的关系四、函数极限与数列极限的关系定理定理7 设设 ,xn为函数为函数 f(x)的定义域的定义域内任一收敛于内任一收敛于x0的数列的数列,且满足且满足 xn x0(n N+),那么那么相应的相应的函数值数列函数值数列f(xn)必收敛必收敛,且且证证二者不相等二者不相等,故
8、故例例5*证明证明 不存在不存在.n Z*,且且 xn 0,=0,且且 xn 0,=1,不存在不存在.1.函数极限的函数极限的“X”和和“”定义定义;2.函数极限的性质函数极限的性质局部保号性局部保号性;五、小结五、小结唯一性唯一性;局部有界性局部有界性;函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系;3.函数的左右极限判定极限的存在性函数的左右极限判定极限的存在性.左、右极限存在左、右极限存在,但不相等但不相等,证证故故 不存在不存在.例例6*讨论讨论的存在性的存在性.=1,=1.证证证证函数在点函数在点处没有定义处没有定义.0,|f(x)A|=|2x 1|.例例7*证明证明所以所以y=2x+1y120 x0.5=2当当0|x|时时,有有解解例例8*讨论函数讨论函数在点在点x=0处的连续性处的连续性.f(0)=0,=0,=1,因因 f(0 0)f(0+0),所以函数所以函数f(x)x=0处不连续处不连续.x=0是函数是函数f(x)的的跳跃间断点跳跃间断点.x,x 0.1,x0,y=x解解:1=0,=1,例例9*设设 f(x)=研究当研究当 x0 时时f(x)的极限的极限.左、右极限存在左、右极限存在,但不相等但不相等,故当故当 x0 时时f(x)的极限的极限不存在不存在.y=1