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1、一、自变量趋向无穷大时函数的极限数列极限中有数列极限中有一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过演示实验的观察通过演示实验的观察:用数学语言刻划函数用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”:记作记作定义定义:记作记作定义定义几何解释几何解释:例例证证二、自变量趋向有限值时函数的极限定义定义如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数e e(不论它多
2、不论它多么小么小),),总存在正数总存在正数d d,使得对于适合不等式使得对于适合不等式d d-00 xx的一切的一切x,对应的函数值对应的函数值)(xf都都满足不等式满足不等式e e-Axf)(,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当时的极限时的极限,记作记作定理定理2、几何解释、几何解释:注意：注意：例例2证证例例3证证例如例如,单侧极限单侧极限:左极限左极限右极限右极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例证证例例左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.解解函数极限的统一定义函数极限的统一定义过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时
3、刻刻从此时刻以后从此时刻以后 定理定理2（极限的四则运算）（极限的四则运算）注注：1.运算法则对自变量的任何一种变化过程都适用运算法则对自变量的任何一种变化过程都适用。2.若若 x 代表自然数代表自然数,就指的是数列的极限。就指的是数列的极限。证（证（1 1）就函数极限的情形加以证明）就函数极限的情形加以证明 注注:定理定理1同样适用于同样适用于二、两个重要极限(1)(2)适用于适用于 型型例例解解例例解解 思考：思考：1.有界性有界性结论：函数在某点有极限，则在其附近邻域有界结论：函数在某点有极限，则在其附近邻域有界函数极限函数极限 刻画函数在有限点刻画函数在有限点 附近附近邻域的性质邻域的性质定理定理32.不等式性质不等式性质推论推论(保号性保号性)结论：函数极限满足某不等式，则在极限点附近邻域结论：函数极限满足某不等式，则在极限点附近邻域函数满足此不等式函数满足此不等式推论推论结论：在极限点附近邻域函数满足某不等式关系，则结论：在极限点附近邻域函数满足某不等式关系，则函数极限也满足此关系函数极限也满足此关系定理（保序性）定理（保序性）思考：思考：应用：利用数列极限证明函数极限不存在应用：利用数列极限证明函数极限不存在定理定理5 5（函数极限和数列极限的关系）（函数极限和数列极限的关系）思考：思考：5 无穷大量无穷大量定义定义注意注意: