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1、2023届高三数学专项练习圆锥曲线中的定值问题2023届高三数学专项练习圆锥曲线中的定值问题一、考情分析一、考情分析求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.二、解题秘籍(一)定值问题解题思
2、路与策略二、解题秘籍(一)定值问题解题思路与策略1.定值问题肯定含有参数,若要证明一个式子是定值,则意味着参数是不影响结果的,也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉,因此解决定值问题的关键是设参数：(1)在解析几何中参数可能是点(注意如果设点是两个参数时,注意横坐标要满足圆锥曲线方程)(2)可能是角(这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式),(3)也可能是斜率(这个是最常用的,但是既然设斜率了,就要考虑斜率是否存在的情况)常用的参数就是以上三种,但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.因此定值问题的解题思路是：(1)设参数；(2)用参数来表示要求定值的式子；(3)消参数.
3、2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得【例1】【例1】(2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考)(2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考)已知椭圆C:x22+y2=1,F1为右焦点，直线l:y=t(x-1)与椭圆 C 相交于 A，B 两点，取 A 点关于 x 轴的对称点 S，设线段 AS 与线段
4、 BS 的中垂线交于点Q(1)当t=2时，求 QF1；(2)当t0时，求QF1|AB|是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由【例【例2 2】(20232023 届河南省濮阳市高三上学期测试届河南省濮阳市高三上学期测试)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点为 F，圆 O：x2+y2=a2，过F且垂直于x轴的直线被椭圆C和圆O所截得的弦长分别为4 33和2 2.(1)求C的方程；(2)过圆O上一点P(不在坐标轴上)作C的两条切线l1，l2，记l1，l2的斜率分别为k1，k2，直线OP的斜率为k3，证明：k1+k2k3为定值.(二二)与线段长度有关的定值问题与线段长
5、度有关的定值问题与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值【例【例3 3】(20232023届辽宁省朝阳市高三上学期届辽宁省朝阳市高三上学期9 9月月考月月考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为2，点P 3,-1在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)点A，B在双曲线C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M,N两点，点Q在直线AB上，若坐标原点O为线段MN的中点，PQAB，证明：存在定点R，使得 QR为定值.(三三)与面积有关的定值问题与面积有关的定值问题与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积
6、表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简.【例【例4 4】(20232023 届河南省部分学校高三上学期届河南省部分学校高三上学期 9 9 月联考月联考)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0的左焦点为F1-1,0，上、下顶点分别为A，B，AF1B=90(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆上有三点P，Q，M满足OM=OP+OQ，证明：四边形OPMQ的面积为定值(四四)与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.【例【例5 5】(20232023 届江苏省南通市高三上学
7、期第一次质量监测届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知 A,A 分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右顶点，B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上，满足PFAA,ABOP,FA=2-2.(1)求C的方程；(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点，设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值.(五五)与向量有关的定值问题与向量有关的定值问题与向量有关的定值问题常见类型一是求数量积有关的定值问题，二是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论.【例【例6 6】(20232023届湖南省部分校高三上学期届湖南省
8、部分校高三上学期9 9月月考月月考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为62，点A 6,4在C上.(1)求双曲线C的方程.(2)设过点B 1,0的直线l与双曲线C交于D,E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得PD PE 为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.【例【例7 7】(20222022届上海市金山区高三上学期一模届上海市金山区高三上学期一模)已知P 0,1为椭圆C：x24+y23=1内一定点,Q为直线l：y=3上一动点,直线PQ与椭圆C交于AB两点(点B位于PQ两点之间),O为坐标原点.(1)当直线PQ的倾斜角为4时,求直线OQ的斜率
9、；(2)当AOB的面积为32时,求点Q的横坐标；(3)设AP=PB,AB=BQ,试问-是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.(六六)与代数式有关的定值问题与代数式有关的定值问题与代数式有关的定值问题一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值【例【例8 8】在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右准线为直线l，动直线y=kx+m(k0)交椭圆于A,B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于点P、Q，如图，当A、B 两点分别是椭圆 E 的右顶点及上顶点时，点 Q 的纵坐标为1e(其中 e 为椭圆的离心率
10、)，且 OQ=5OM(1)求椭圆E的标准方程；(2)如果OP是OM、OQ的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由(六六)与定值有关的结论与定值有关的结论1.若点 A,B 是椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0上关于原点对称的两点,点 P 是椭圆 C 上与 A,B 不重合的点,则kPAkPB=-b2a2；2.若点A,B是双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则kPAkPB=b2a2.3.设点P m,n是椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若kPA+kPB=
11、0,则直线AB斜率为定值bm2an2n0；4.设点P m,n是双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若kPA+kPB=0,直线AB斜率为定值-bm2an2n0；5.设点P m,n是抛物线C：y2=2px p0一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若kPA+kPB=0,直线AB斜率为定值-pnn0.6.设 A,B,C 是椭圆x2a2+y2b2=1 ab0上不同 3 点,B,C 关于 x 轴对称,直线 AC,BC 与 x 轴分别交于点M,N,则 OMON=a2.7.点A,B是椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0上动点,O为坐标原点,若OAO
12、B,则1OA2+1OB2=1a2+1b2(即点O到直线AB为定值)8.经过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(ab0)的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则|PA1|PA2|=b2.9.过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则|PF|MN|=e2.10.点P为椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过P引x轴、y轴的平行线,交y轴、x轴于M,N,交直线 y=-bax于Q,R,记 OMQ 与ONR 的面积为 S1,S2,则：S1+S2=ab2.【例【例9
13、 9】(20222022届上海市黄浦区高三一模届上海市黄浦区高三一模)设常数m0且m1,椭圆：x2m2+y2=1,点P是上的动点(1)若点P的坐标为 2,0,求的焦点坐标；(2)设m=3,若定点A的坐标为 2,0,求 PA的最大值与最小值；(3)设m=12,若上的另一动点Q满足OPOQ(O为坐标原点),求证：O到直线PQ的距离是定值三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023 届江苏省南通市海安市高三上学期质量监测届江苏省南通市海安市高三上学期质量监测)已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为32，短轴长为2.(1)求E的方程；(2)过点M-4,0且斜率不为0的直线l与E自左向
14、右依次交于点B，C，点N在线段BC上，且MBMC=NBNC，P为线段BC的中点，记直线OP，ON的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.2.(20232023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C与双曲线x212-y23=1有相同的渐近线，且过点A(2 2,-1).(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知D(2,0),E,F是双曲线C上不同于D的两点，且DE DF=0,DGEF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值.3.(20232023届江苏省南京市高三上学期届江苏省南京市高三上学期 9 9月学情调研月学情调研)已知抛物线C：y2=2px p
15、0的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点(1)求p的值；(2)是否存在定点T，使得TA TB 为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由4.(20232023 届重庆市届重庆市 20232023 届高三上学期质量检测届高三上学期质量检测)已知抛物线 C:x2=2py p0的焦点为 F，斜率不为 0 的直线l与抛物线C相切，切点为A，当l的斜率为2时，AF=10.(1)求p的值；(2)平行于l的直线交抛物线C于B，D两点，且BAD=90，点F到直线BD与到直线l的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.
16、5.(20232023届江苏省百校联考高三上学期考试届江苏省百校联考高三上学期考试)设F为椭圆C：x22+y2=1的右焦点，过点F且与x轴不重合的直线l交椭圆C于A，B两点.(1)当BF=2FA 时，求 FA；(2)在x轴上是否存在异于F的定点Q，使kQAkQB为定值(其中kQA，kQB分别为直线QA，QB的斜率)？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.6.(20222022 届湖南省长沙市宁乡市高三下学期届湖南省长沙市宁乡市高三下学期 5 5 月模拟月模拟)已知抛物线 G:y2=4x 的焦点与椭圆 E:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点F重合，椭圆E的长轴长为4.(1)求椭圆E的方
17、程；(2)过点F且斜率为k的直线l交椭圆E于A,B两点，交抛物线G于M,N两点，请问是否存在实常数t，使2AB+tMN为定值？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.7.(20232023届江苏省南京市高三上学期数学大练届江苏省南京市高三上学期数学大练)已知点B是圆C:x-12+y2=16上的任意一点，点F(-1，0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P.(1)求动点的轨迹E的方程;(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1，A2，Q为直线x=4上的动点，且Q不在x轴上，QA1与E的另一个交点为M，QA2与E的另一个交点为N，证明:FMN的周长为定值.8.(20232023届安徽省皖南八校高三上学
18、期考试届安徽省皖南八校高三上学期考试)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点为F1，F2，且左焦点坐标为-2,0，P为椭圆上的一个动点，F1PF2的最大值为2.(1)求椭圆M的标准方程；(2)若过点-2,-4的直线l与椭圆M交于A,B两点，点N 2,0，记直线NA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，证明：1k1+1k2=1.9.(20232023 届北京市房山区高三上学期考试届北京市房山区高三上学期考试)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴的两个端点分别为A-2,0,B 2,0离心率为32(1)求椭圆C的标准方程；(2)M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线A
19、M交直线x=4于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线BN垂直的直线记为l，直线BM交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：|BP|PQ|为定值10.(20232023届湖南师范大学附属中学高三上学期月考届湖南师范大学附属中学高三上学期月考)已知A(-2 2,0),B(2 2,0)，直线PA,PB的斜率之积为-34，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)直线l与曲线C交于M,N两点，O为坐标原点，若直线OM,ON的斜率之积为-34，证明:MON的面积为定值.11.(20232023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期质量监测届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期质量监测)已知点F1是椭圆C:
20、x24+y23=1的左焦点，Q是椭圆C上的任意一点，A12,1(1)求 QF1+QA的最大值；(2)过点F1的直线l与椭圆C相交于两点M,N，与y轴相交于点P若PM=MF1，PN=NF1，试问+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由12.(20232023 届江苏省盐城市响水中学高三上学期测试届江苏省盐城市响水中学高三上学期测试)已知椭圆 C：x24+y22=1，A 0,1，过点 A 的动直线 l与椭圆C交于P、Q两点.(1)求线段PQ的中点M的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ+OP OQ 为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.13.(20232023届云南省下关
21、第一中学高三上学期考试届云南省下关第一中学高三上学期考试)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(0,3)，离心率为22，直线 y=kx(k 0)与椭圆 E 交于 A，B 两点，过点 B 作 BC x，垂足为 C 点，直线 AC 与椭圆 E的另一个交点为D(1)求椭圆E的方程；(2)试问ABD是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由14.如图,点M是圆A:x2+(y+1)2=16上任意点,点B(0,1),线段MB的垂直平分线交半径AM于点P,当点M在圆A上运动时,(1)求点P的轨迹E的方程；(2)BQx轴,交轨迹E于Q点(Q点在y轴的右侧),直线l:x=my+n与E交于
22、C,D(l不过Q点)两点,且直线CQ与直线DQ关于直线BQ对称,则直线l具备以下哪个性质？证明你的结论？直线l恒过定点；m为定值；n为定值15.(20222022届云南省红河州高三检测届云南省红河州高三检测)在平面直角坐标系Oxy中,点M是以原点O为圆心,半径为a的圆上的一个动点.以原点O为圆心,半径为b ab0的圆与线段OM交于点N,作MDx轴于点D,作NQMD于点Q.(1)令MOD=,若a=4,b=1,=3,求点Q的坐标；(2)若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；(3)设(2)中的曲线C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正负半轴分别交于点B1,B2,若点EF分别满足AE=-3OE,4AF=
23、3OB2,设直线B1E和B2F的交点为K,设直线l：x=a2c及点H c,0,(其中c=a2-b2),证明：点K到点H的距离与点K到直线l的距离之比为定值ca.圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题一、一、考情分析考情分析求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有
24、许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.二、二、解题秘籍解题秘籍(一一)定值问题解题思路与策略定值问题解题思路与策略1.定值问题肯定含有参数,若要证明一个式子是定值,则意味着参数是不影响结果的,也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉,因此解决定值问题的关键是设参数：(1)在解析几何中参数可能是点(注意如果设点是两个参数时,注意横坐标要满足圆锥曲线方程)(2)可能是角(这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式),(3)也可能是斜率(这个是最常用的,但是既然设斜率了,就要考虑斜率是否存在的情况)常用的参数就是以上三种,但是注意我们设参数时要遵循一个原则
25、：参数越少越好.因此定值问题的解题思路是：(1)设参数；(2)用参数来表示要求定值的式子；(3)消参数.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得【例【例1 1】(20232023届湖湘名校教育联合体高三上学期届湖湘名校教育联合体高三上学期9 9月大联考月大联考)已知椭圆C:x22+y2=1,F1为右焦点，直线l:y=
26、t(x-1)与椭圆 C 相交于 A，B 两点，取 A 点关于 x 轴的对称点 S，设线段 AS 与线段 BS 的中垂线交于点Q(1)当t=2时，求 QF1；(2)当t0时，求QF1|AB|是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，线段AB的中点M坐标为 xM,yM，联立得x2+2y2-2=0,y=2(x-1),消去y可得：9x2-16x+6=0，所以x1+x2=169,x1x2=69,所以xM=89，代入直线AB方程，求得yM=-29，因为Q为ABS三条中垂线的交点，所以MQAB，有kMQkAB=-1，直线MQ方程为y+29=-12
27、 x-89.令y=0,xQ=49，所以Q49,0.由椭圆C:x22+y2=1可得右焦点F11,0，故 QF1=59(2)设A x1,y1,B x2,y2，中点M坐标为 xM,yMx212+y21=1,x222+y22=1,相减得y2-y1x2-x1=-12x1+x2y1+y2=-xM2yM，kABkOM=-12.又Q为ABS的外心，故MQAB,kMQkAB=-1，所以kMQ=2kOM=2yMxM，直线MQ方程为y-yM=2yMxMx-xM，令y=0,xQ=xM2=x1+x24，所以Qx1+x24,0而F11,0,所以 QF1=1-14x1+x2，AF1=x1-12+y21=x1-12+1-x2
28、12=x212-2x1+2=2-12x1，同理 BF1=2-12x2，|AB|=AF1+BF1=2 2-12x1+x2，QF1|AB|=1-14x1+x22 2-12x1+x2=24，所以当t变化时，QF1|AB|为定值24【例【例2 2】(20232023 届河南省濮阳市高三上学期测试届河南省濮阳市高三上学期测试)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点为 F，圆 O：x2+y2=a2，过F且垂直于x轴的直线被椭圆C和圆O所截得的弦长分别为4 33和2 2.(1)求C的方程；(2)过圆O上一点P(不在坐标轴上)作C的两条切线l1，l2，记l1，l2的斜率分别为k1，k2，直线OP
29、的斜率为k3，证明：k1+k2k3为定值.【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c c0，过F且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长分别为4 33，则2b2a=4 33；过F且垂直于x轴的直线被圆O所截得的弦长分别为2 2，则2 a2-c2=2 2，又a2-b2=c2，解得a=3b=2，所以C的方程为x23+y22=1.(2)设P x0,y0 x0y00，则x20+y20=3.设过点P与椭圆C相切的直线方程为y-y0=k x-x0，联立2x2+3y2=6y-y0=k x-x0 得 3k2+2x2+6k y0-kx0 x+3y0-kx02-2=0，则=6k y0-kx02-4 3k2+23y0-kx0
30、2-2=0，整理得 x20-3k2-2x0y0k+y20-2=0.由题意知k1，k2为方程的两根，由根与系数的关系及可得k1+k2=2x0y0 x20-3=2x0y0-y20=-2x0y0.又因为k3=kOP=y0 x0，所以 k1+k2k3=-2x0y0y0 x0=-2，所以 k1+k2k3为定值-2(二二)与线段长度有关的定值问题与线段长度有关的定值问题与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值【例【例3 3】(20232023届辽宁省朝阳市高三上学期届辽宁省朝阳市高三上学期9 9月月考月月考)已知双曲线C:x2a2-y
31、2b2=1 a0,b0的离心率为2，点P 3,-1在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)点A，B在双曲线C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M,N两点，点Q在直线AB上，若坐标原点O为线段MN的中点，PQAB，证明：存在定点R，使得 QR为定值.【解析】(1)由题意，双曲线C:x2a2-y2b2=1的离心率为2，且P 3,-1在双曲线C上，可得9a2-1b2=1e=ca=2c2=a2+b2，解得a2=8,b2=8，所以双曲线的方程为x28-y28=1.(2)由题意知，直线的AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m，联立方程组y=kx+mx2-y2=8，整理得(1-k2)x2-2km
32、x-m2-8=0，则=(-2km)2-4(1-k2)(-m2-8)=4(m2-8k2+8)0且1-k20，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=2km1-k2,x1x2=-m2-81-k2，直线PA的方程为y+1=y1+1x1-3(x-3)，令x=0，可得y=-1-3y1+3x1-3，即M 0,-1-3y1+3x1-3,同理可得N 0,-1-3y2+3x2-3，因为O为MN的中点，所以-1-3y1+3x1-3+-1-3y2+3x2-3=0，即-1-3(kx1+m)+3x1-3-1+3(kx2+m)+3x2-3)=0，可得(6k+2)x1x2-(3+9k-3m)(x1+x2)-18
33、m=0，即(m+8)(m+3k+1)=0，所以m=-8或m+3k+1=0，若m+3k+1=0，则直线方程为y=kx-3k-1，即y+1=k(x-3)，此时直线AB过点P 3,-1，不合题意；若m=-8时，则直线方程为y=kx-8，恒过定点D(0,-8)，所以 PD=32+(-1-8)2=58 为定值，又由PQD为直角三角形，且PD为斜边，所以当R为PD的中点32,-92时，RQ=PD=582.(三三)与面积有关的定值问题与面积有关的定值问题与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简.【例【例4 4】(20232023 届河南省部分学校高三上学期届河南
34、省部分学校高三上学期 9 9 月联考月联考)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0的左焦点为F1-1,0，上、下顶点分别为A，B，AF1B=90(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆上有三点P，Q，M满足OM=OP+OQ，证明：四边形OPMQ的面积为定值【解析】(1)依题意c=1，又AF1B=90，所以b=c=1，所以a=b2+c2=2，所以椭圆方程为x22+y2=1.(2)证明：设M x,y，P x1,y1，Q x2,y2，因为OM=OP+OQ，所以四边形OPMQ为平行四边形，且x=x1+x2y=y1+y2，所以x1+x222+y1+y22=1，即x122+y12+x222+y22+x1x
35、2+2y1y2=1，又x122+y12=1，x222+y22=1，所以x1x2+2y1y2=-1，若直线PQ的斜率不存在，M与左顶点或右顶点重合，则 xP=xQ=22，所以 yP=yQ=32，所以SOPMQ=122 xP2 yP=62，若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+t，代入椭圆方程整理得 1+2k2x2+4ktx+2t2-2=0，所以=8 2k2+1-t20，x1+x2=-4kt1+2k2，x1x2=2t2-21+2k2，所以y1y2=kx1+tkx2+t=k2x1x2+kt x1+x2+t2=k22t2-21+2k2+kt-4kt1+2k2+t2所以 2k2+12t2-2
36、1+2k2+2kt-4kt1+2k2+2t2=-1，整理得4t2=1+2k2，又 PQ=k2+1 x1-x2=k2+1 8 1+2k2-t21+2k2，又原点O到PQ的距离d=tk2+1，所以SPOQ=12PQd=2 1+2k2-t2 t1+2k2，将4t2=1+2k2代入得SPOQ=2 3t2 t4t2=64，所以SOPMQ=2SPOQ=62，综上可得，四边形OPMQ的面积为定值62.(四四)与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.【例【例5 5】(20232023
37、届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知 A,A 分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右顶点，B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上，满足PFAA,ABOP,FA=2-2.(1)求C的方程；(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点，设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值.【解析】(1)因为PFAA，故可设P-c,y0，因为ABOP，故kABkOP，即-ba=-y0c，解得y0=bca.又P-c,bca在椭圆C上，故c2a2+b2c2a2b2=1，解得a2=2c2=2a2-2b2，故a=2b=2c
38、.又 FA=2-2，故 FA=a-c=2-1c=2-2，故c=2，a=2,b=2.故C的方程为x24+y22=1.(2)因为椭圆方程为x24+y22=1，故F-2,0,A 2,0，当l斜率为0时A,M或A,N重合，不满足题意，故可设l：x=ty-2.联立x24+y22=1x=ty-2 可得 t2+2y2-2 2ty-2=0，设M x1,y1,N x2,y2，则y1+y2=2 2tt2+2,y1y2=-2t2+2.故k1k2=y1x1-2y2x2-2=y1y2ty1-2-2ty2-2-2=y1y2t2y1y2-2+2t y1+y2+2+22=1t2-2+2ty1+y2y1y2+2+22y1y2=
39、1t2+2 2+2t2-2+22t2+22=1-2 3+2 2=2-32故定值为2-32(五五)与向量有关的定值问题与向量有关的定值问题与向量有关的定值问题常见类型一是求数量积有关的定值问题，二是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论.【例【例6 6】(20232023届湖南省部分校高三上学期届湖南省部分校高三上学期9 9月月考月月考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为62，点A 6,4在C上.(1)求双曲线C的方程.(2)设过点B 1,0的直线l与双曲线C交于D,E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得PD PE 为常数？若存在，求
40、出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为双曲线C的离心率为62，所以622=1+b2a2，化简得a2=2b2.将点A 6,4的坐标代入x22b2-y2b2=1，可得18b2-16b2=1，解得b2=2，所以C的方程为x24-y22=1.(2)设D x1,y1,E x2,y2，直线l的方程为y=k(x-1)，联立方程组y=k x-1,x24-y22=1,消去y得(1-2k2)x2+4k2x-2k2-4=0，由题可知1-2k20且0，即k2b0)的右准线为直线l，动直线y=kx+m(k0)交椭圆于A,B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于点P、Q，如图
41、，当A、B 两点分别是椭圆 E 的右顶点及上顶点时，点 Q 的纵坐标为1e(其中 e 为椭圆的离心率)，且 OQ=5OM(1)求椭圆E的标准方程；(2)如果OP是OM、OQ的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由【解析】(1)椭圆E:x2a2+y2b2=1的右准线为直线l，动直线y=kx+m交椭圆于A,B两点，当A,B零点分别是椭圆E的有顶点和上顶点时，则A(a,0),B(0,b),Ma2,b2，因为线段AB的中点为M，射线OM分别角椭圆及直线l与P,Q两点，所以Qa2c,1e，由O,M,Q三点共线，可得ba=1ea2c，解得b=1，因为OQ=5OM，所以a2ca2
42、=5，可得2a=5c，又由a2=b2+c2b=12a=5c，解得a2=5,c2=4，所以椭圆E的标准方程为x25+y2=1.(2)解：把y=kx+m代入椭圆E:x25+y2=1，可得(5k2+1)x2+10mkx+5m2-5=0，可得x1+x2=10km5k2+1,x1x2=5m2-55k2+1，则y1+y=k(x1+x1)+2m=2m5k2+1，所以xM=5km5k2+1,yM=m5k2+1，即M5km5k2+1,m5k2+1,所以直线OM的方程为y=-15kx，由y=-15kxx25+y2=1 ，可得x2P=25k25k2+1，因为OP是OM,OQ的等比中项，所以OP2=OMOQ，可得x2
43、P=xMxQ=25mk2(5k2+1)，又由25k25k2+1=25mk2(5k2+1)，解得m=-2k，所以mk=-2，此时满足0，所以mk为常数-2.(六六)与定值有关的结论与定值有关的结论1.若点 A,B 是椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0上关于原点对称的两点,点 P 是椭圆 C 上与 A,B 不重合的点,则kPAkPB=-b2a2；2.若点A,B是双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则kPAkPB=b2a2.3.设点P m,n是椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若k
44、PA+kPB=0,则直线AB斜率为定值bm2an2n0；4.设点P m,n是双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若kPA+kPB=0,直线AB斜率为定值-bm2an2n0；5.设点P m,n是抛物线C：y2=2px p0一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若kPA+kPB=0,直线AB斜率为定值-pnn0.6.设 A,B,C 是椭圆x2a2+y2b2=1 ab0上不同 3 点,B,C 关于 x 轴对称,直线 AC,BC 与 x 轴分别交于点M,N,则 OMON=a2.7.点A,B是椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0上动点,O为坐标
45、原点,若OAOB,则1OA2+1OB2=1a2+1b2(即点O到直线AB为定值)8.经过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(ab0)的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则|PA1|PA2|=b2.9.过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则|PF|MN|=e2.10.点P为椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过P引x轴、y轴的平行线,交y轴、x轴于M,N,交直线 y=-bax于Q,R,记 OMQ 与ONR 的面积为 S1,S2,则：S1+S2=ab
46、2.【例【例9 9】(20222022届上海市黄浦区高三一模届上海市黄浦区高三一模)设常数m0且m1,椭圆：x2m2+y2=1,点P是上的动点(1)若点P的坐标为 2,0,求的焦点坐标；(2)设m=3,若定点A的坐标为 2,0,求 PA的最大值与最小值；(3)设m=12,若上的另一动点Q满足OPOQ(O为坐标原点),求证：O到直线PQ的距离是定值【解析】(1)椭圆：x2m2+y2=1,点P的坐标为 2,0,m=2,c=3,的焦点坐标为-3,0,3,0；(2)设P x,y,又A 2,0,由题知x29+y2=1,即y2=1-x29,PA2=x-22+y2=x-22+1-x29=8x29-4x+5=
47、89x-942+12,又-3x3,当x=-3时,PA2取得最大值为25；当x=94时,PA2取得最小值为12；PA的最大值为5,最小值为22.(3)当m=12时,椭圆：4x2+y2=1,设P x1,y1,Q x2,y2,当直线PQ斜率存在时设其方程为y=kx+t,则由y=kx+t4x2+y2=1,得 4+k2x2+2ktx+t2-1=0,x1+x2=-2kt4+k2,x1x2=t2-14+k2,=2kt2-4 4+k2t2-10,由OPOQ可知OP OQ=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+kx1+tkx2+t=0,即 1+k2x1x2+kt x1+x2+t2=0,1+k2t2-14+k2
48、+kt-2kt4+k2+t2=0,可得1+k2=5t2,满足0,O到直线PQ的距离为d=t1+k2=55为定值；当直线PQ斜率不存在时,OPOQ,可得直线方程为x=55,O到直线PQ的距离为55.综上,O到直线PQ的距离是定值三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023 届江苏省南通市海安市高三上学期质量监测届江苏省南通市海安市高三上学期质量监测)已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为32，短轴长为2.(1)求E的方程；(2)过点M-4,0且斜率不为0的直线l与E自左向右依次交于点B，C，点N在线段BC上，且MBMC=NBNC，P为线段BC的中点，记直线OP，ON的斜率分别为
49、k1，k2，求证：k1k2为定值.【解析】(1)由椭圆E：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为32，短轴长为2，可知ca=32,2b=2，则1-b2a2=34,a2=4，故E的方程为x24+y2=1；(2)证明：由题意可知直线l的斜率一定存在，故设直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1,y1),C(x2,y2),N(x3,y3),P(x0,y0)，联立x24+y2=1y=k(x+4)，可得(4k2+1)x2+32k2x+64k2-4=0，=16(1-12k2)0,0k20，即4k2-m2-10，则有x1+x2=-8km4k2-1x1x2=4m2+44k2-1，又y1y2=kx1+mkx
50、2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2，因为DE DF=x1-2x2-2+y1y2=0，所以 k2+1x1x2+km-2 x1+x2+m2+4=0，所以 k2+14m2+44k2-1+km-2-8km4k2-1+m2+4=0，化简，得3m2+16km+20k2=0，即 3m+10km+2k=0，所以m1=-2k,m2=-103k，且均满足4k2-m2-10的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点(1)求p的值；(2)是否存在定点T，使得TA TB 为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由【解析】(1)因为Fp2