《2024高考数学专项练习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024高考数学专项练习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题含答案.pdf（79页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、一、椭圆定点问题1 已知圆E：x+12+y2=16，点F 1,0，G是圆E上任意一点，线段GF的垂直平分线和半径GE相交于H(1)求动点H的轨迹的方程；(2)经过点F和T 7,0的圆与直线l：x=4交于P，Q，已知点A 2,0，且AP、AQ分别与交于M、N.试探究直线MN是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.2 已知点A(2,0)，B-65,-45在椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)上.(1)求椭圆M的方程；(2)直线l与椭圆M交于C,D两个不同的点(异于A,B)，过C作x轴的垂线分别交直线AB,
2、AD于点P,Q，当P是CQ中点时，证明直线l过定点.2024高考数学专项练习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题含答案23如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A，B左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，点M(2,1)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，k1=2k2过点B作直线PQ的垂线，垂足为H问：在平面内是否存在定点T，使得 TH为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由4已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1，F2，A，B分别是C的右、上顶点，且AB
3、=7，D是C上一点，BF2D周长的最大值为8.(1)求C的方程；(2)C的弦DE过F1，直线AE，AD分别交直线x=-4于M，N两点，P是线段MN的中点，证明：以PD为直径的圆过定点.35已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3(1)求APQ的内心坐标；(2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于M,N，交PQ于点R，且满足MR ND=MD RN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由二、二、双曲线定点问题1已知点P 4,3为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线
4、E的标准方程；(2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于A,B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y=kx+t过定点，并求该定点的坐标.42双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程；(2)已知M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2，且MN的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0的右焦点，右顶点分别为F，A，B 0,b，AF=1，
5、点M在线段AB上，且满足 BM=3 MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得 EPFQ=EQ FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.54已知双曲线C与双曲线x212-y23=1 有相同的渐近线，且过点A(2 2,-1).(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点D(2,0)，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且DE DF=0，DGEF于点G，证明:存在定点H，使 GH为定值.5已知双曲线C:x2-y2b2=1 b0的左、右焦点分别为F1，F2，A是C的左顶点，C
6、的离心率为2设过F2的直线l交C的右支于P、Q两点，其中P在第一象限(1)求C的标准方程；(2)若直线AP、AQ分别交直线x=12于M、N两点，证明：MF2 NF2 为定值；(3)是否存在常数，使得PF2A=PAF2恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由6三、三、抛物线定点问题1已知动圆M恒过定点F 0,18，圆心M到直线y=-14的距离为d,d=MF+18(1)求M点的轨迹C的方程；(2)过直线y=x-1上的动点Q作C的两条切线l1,l2，切点分别为A,B，证明：直线AB恒过定点2已知抛物线C1:x2=2py(p0)和圆C2:(x+1)2+y2=2，倾斜角为45的直线l1过C1焦点，且l1
7、与C2相切.(1)求抛物线C1的方程；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在点A处的切线l2交y轴于点B，设MN=MA+MB，证明点N在定直线上，并求该定直线的方程.73已知直线l1:x-y+1=0过椭圆C:x24+y2b2=1(b0)的左焦点，且与抛物线M:y2=2px(p0)相切.(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F(0,1)
8、，且与直线y=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)P为直线l：y=y0y00，直线x+y+1=0与抛物线C只有1个公共点.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线y=k x-p2与曲线C交于A，B两点，直线OA，OB与直线x=1分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.四、四、椭圆定值问题1已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的离心率e=12，短轴长为2 3(1)求椭圆C的方程；(2)已知经过定点P 1,1的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线y=-34x相交于点Q，如果AQ=AP，QB=PB，那么+是否为定值
9、？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由92在椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：x2+y2=a2+b2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过P 1,22，Q-62,12.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若kOM，kON存在，证明：kOMkON为定值.3已知O为坐标原点，定点F1-1,0，F21,0，圆O:x2+y2=2，M是圆内或圆上一动点，圆O与以线段F2M为直径的圆O1内切.(1)求动点M的轨迹方程；(2)设M的轨迹为曲线E，若直线l与曲线E相切，过点F2作直线l的垂线，垂足为N，证明：O
10、N为定值.104设椭圆E：x2a2+y2b2=1 ab0过点M2,1，且左焦点为F1-2,0(1)求椭圆E的方程；(2)ABC内接于椭圆E，过点P 4,1和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与BC交于点Q，满足 AP QD=AQ PD，证明：PBC面积为定值，并求出该定值5椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为12.(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点.求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列.11五、五、双曲线定值问题1在平面直角坐标系xOy中，圆F1：x+22+y2=4，F22,0，P是圆F1上的一个动
11、点，线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M记点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：ABF2H为定值2已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论123已知P是圆C:(x+2)2+y2=12上一动点，定点M(2,0)，线段PM的垂直平分线n与直线PC交
12、于点T，记点T的轨迹为C(1)求C的方程；(2)若直线l与曲线C恰有一个共点，且l与直线l1:y=33x，l2:y=-33x分别交于A、B两点，OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由4已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的渐近线方程为y=34x，焦距为10，A1，A2为其左右顶点(1)求C的方程；(2)设点P是直线l：x=2上的任意一点，直线PA1、PA2分别交双曲线C于点M、N，A2QMN，垂足为Q，求证：存在定点R，使得 QR是定值135已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左，右焦点，点P 2,2 6在C上，且双曲线C的渐
13、近线与圆x2+y2-6y+8=0相切(1)求双曲线C的方程；(2)若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A,B两点，Q为x轴上一点，满足 QA=QB，试问AF1+BF1-4QF2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由六、六、抛物线定值问题1已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为6的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MNl，垂足为N，直线NF交x轴于点D，MD=4 3.(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P,Q两点，且PGQ=2，点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是否为定值？若是
14、，求出此定值；若不是，请说明理由.142已知抛物线C1:y2=2px p0上一点Q 1,a到焦点的距离为3.(1)求a，p的值；(2)设P为直线x=-1上除-1,-3，-1,3两点外的任意一点，过P作圆C2:x-22+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.3已知点F是抛物线C：y2=2px p0的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D，E，DE=2 3.(1)求抛物线C的方程；(2)过-1,0作直线l与抛物线C交于A，B，求kNA+kNB的值.154贝塞尔曲线是计算
15、机图形学和相关领域中重要的参数曲线法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论如图所示，抛物线:x2=2py，其中p0为一给定的实数.(1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程；(2)若直线l:y=kx-2pk+2p与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；(3)如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：|AD|DE|=|EF|FC|=|DB|BF|5已知点A为直线l:x+1=0上的动点，过点A作射线AP(点P
16、位于直线l的右侧)使得APl,F 1,0，设线段AF的中点为B，设直线PB与x轴的交点为T,PF=TF.(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)设过点Q 0,2的两条射线分别与曲线C交于点M,N，设直线QM,QN的斜率分别为k1,k2，若1k1+1k2=2，请判断直线MN的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.16七、七、椭圆定直线问题1椭圆E的方程为x24+y28=1，左、右顶点分别为A-2,0，B 2,0，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长；(2)若直线l过点-1,0，且交
17、椭圆E于另一点Q(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由2已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR)(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线l:y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N设直线AN与直线BM相交于点G试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由173已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 a0,b0过点M2 63,63，且离心率为22(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l:y=x+m与椭圆C交y轴右侧于不同的两点
18、A，B，试问：MAB的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由4已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0过点Q 1,32，且离心率为12(1)求椭圆C的方程；(2)过点P 1,2的直线l交C于A、B两点时，在线段AB上取点M，满足 AP MB=AM PB，证明：点M总在某定直线上185椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为A-2,0，B 2,0，点 1,6在椭圆E上(1)求椭圆E的方程(2)过点-1,0的直线l与椭圆E交于P，Q两点(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由
19、八、八、双曲线定直线问题1如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线E:x24-y2b2=1 b0的左、右焦点分别为F1、F2，从F2发出的光线经过图2中的A、B两点反射后，分别经过点C和D，且tanCAB=-34，ABBD.(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P 4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由192已知曲线C上的动点P满足|PF1|-|PF2|=2，且F1-2,
20、0,F22,0.(1)求C的方程；(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P.在以下两个条件中选择一个条件，证明另外一个条件成立.直线AB经过定点M 4,0；点P在定直线x=14上.3已知点(2,3)在双曲线C:x2a2-y2a2+2=1上(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：AOB的面积S是定值；(2)已知点P12,1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点MN，在线段MN上取异于点MN的点H，满足PMPN=MHHN，证明：点H恒在一条定直线上204已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0经过点D 4,3
21、，直线l1、l2分别是双曲线C的渐近线，过D分别作l1和l2的平行线l1和l2，直线l1交x轴于点M，直线l2交y轴于点N，且 OM ON=2 3(O是坐标原点)(1)求双曲线C的方程；(2)设A1、A2分别是双曲线C的左、右顶点，过右焦点F的直线交双曲线C于P、Q两个不同点，直线A1P与A2Q相交于点G，证明：点G在定直线上.5已知双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为2，过点E 1,0的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点(异于顶点)(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积(O为坐标原点)；(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且 AB=4，试判断直线
22、AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由21九、九、抛物线定直线问题1过抛物线x2=2py(p0)内部一点P m,n作任意两条直线AB,CD，如图所示，连接AC,BD延长交于点Q，当P为焦点并且ABCD时，四边形ACBD面积的最小值为32(1)求抛物线的方程；(2)若点P 1,1，证明Q在定直线上运动，并求出定直线方程.2已知抛物线E:y2=2px p0，过点-1,0的两条直线l1、l2分别交E于A、B两点和C、D两点当l1的斜率为12时，AB=2 10(1)求E的标准方程；(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G在定直线上223已知抛物线C1：x2=2
23、py(p0)和圆C2：x+12+y2=2，倾斜角为45的直线l1过C1的焦点且与C2相切(1)求p的值：(2)点M在C1的准线上，动点A在C1上，C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设MN=MA+MB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程4已知拋物线x2=4y，P为拋物线外一点，过P点作抛物线的切线交抛物线于A，B两点，交x轴于M，N两点.(1)若P-1,-2，设OAB的面积为S1，PMN的面积为S2，求S1S2的值；(2)若P x0,y0，求证：PMN的垂心H在定直线上.235已知F为抛物线C:x2=2py(p0)的焦点，直线l:y=2x+1与C交于A，B两点且|AF|+|BF|=20.
24、(1)求C的方程.(2)若直线m:y=2x+t(t1)与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上.1圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、一、椭圆定点问题1已知圆E：x+12+y2=16，点F 1,0，G是圆E上任意一点，线段GF的垂直平分线和半径GE相交于H(1)求动点H的轨迹的方程；(2)经过点F和T 7,0的圆与直线l：x=4交于P，Q，已知点A 2,0，且AP、AQ分别与交于M、N.试探究直线MN是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x24+y23=1(2)经过定点，定点坐标为 1,0【分析】(1)
25、利用椭圆的定义即可求出动点H的轨迹的方程；(2)设M x1,y1，N x2,y2，直线MN的方程为：x=my+n，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x1，y1，x2，y2之间的关系，再利用两点式写出直线MA的方程，求出点P 4,2y1x1-2，Q 4,2y2x2-2，再写出以PQ为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0，得到关系式，进而求得n为定值，从而得到直线MN过定点.【详解】(1)如图所示，HE+HF=HE+HG=4，且 EF=2b0)上.(1)求椭圆M的方程；(2)直线l与椭圆M交于C,D两个不同的点(异于A,B)，过C作x轴的垂线分别交直线AB,AD于点P,Q，当P是CQ中点时，
26、证明直线l过定点.【答案】(1)x24+y2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD方程，结合韦达定理和P是CQ中点的条件，找到直线CD中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a=2，又椭圆经过B-65,-45，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b2=1，故椭圆的方程为：x24+y2=1(2)由题意知，当lx轴时，不符合题意，故l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m，3联立y=kx+mx24+y2=1 消去y得 4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0，则=64k2m2-16 m2-14k2+1=16 4k2-m2+10，即4
27、k2+1m2设 C x1,y1，D x2,y2，x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1AB的方程为y=14(x-2)，令x=x1得P x1,x1-24，AD的方程为y=y2x2-2(x-2)，令x=x1得Q x1,x1-2x2-2y2，由P是CQ中点，得x1-22=y1+x1-2x2-2y2，即y1x1-2+y2x2-2=12，即 kx1+mx2-2+kx2+mx1-2=12x1x2-2 x1+x2+4，即(1-4k)x1x2+(4k-2m-2)x1+x2+4+8m=0，即4m2+(16k+8)m+16k2+16k=0，所以(m+2k)(m+2k+2)=0，得m=-2k
28、-2或m=-2k，当m=-2k-2，此时由0，得kb0)的左、右顶点分别为A，B左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，点M(2,1)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，k1=2k2过点B作直线PQ的垂线，垂足为H问：在平面内是否存在定点T，使得 TH为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由【答案】(1)C:x24+y22=1；(2)存在定点T23,0使 TH为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a,b,c，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ:y=k(x-2)，AP:
29、y=2k(x+2)，联立椭圆方程求P,Q坐标，判断直线PQ过定点，结合BHPQ于H确定H轨迹，进而可得定点使得 TH为定值.4【详解】(1)由题意ca=222a2+1b2=1a2=b2+c2，可得a2=4b2=c2=2，则椭圆方程为C:x24+y22=1；(2)若直线BQ斜率为k，则直线AP斜率为2k，而A(-2,0),B(2,0)，所以BQ:y=k(x-2)，AP:y=2k(x+2)，联立BQ与椭圆C，则x2+2k2(x-2)2=4，整理得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-4=0，所以2xQ=8k2-41+2k2，则xQ=4k2-21+2k2，故yQ=-4k1+2k2，联立AP与椭圆C，
30、则x2+8k2(x+2)2=4，整理得(1+8k2)x2+32k2x+32k2-4=0，所以-2xP=32k2-41+8k2，则xP=2-16k21+8k2，故yP=8k1+8k2，综上，xQ-xP=4k2-21+2k2-2-16k21+8k2=64k4-4(1+8k2)(1+2k2)，yQ-yP=-4k1+2k2-8k1+8k2=-12k+48k31+8k21+2k2，当64k4-40，即k12时，kPQ=12k(1+4k2)4(1-16k4)=3k1-4k2，此时PQ:y+4k1+2k2=3k1-4k2x+2-4k21+2k2=3k1-4k2x+6k-12k3(1+2k2)(1-4k2)，
31、所以PQ:y=3k1-4k2x+2k1-4k2=k1-4k2(3x+2)，即直线PQ过定点-23,0；当64k4-4=0，即k=12时，若k=12，则xQ=-23且yQ=-43，xP=-23且yP=43，故直线PQ过定点-23,0；若k=-12，则xQ=-23且yQ=43，xP=-23且yP=-43，故直线PQ过定点-23,0；综上，直线PQ过定点M-23,0，又BHPQ于H，易知H轨迹是以BM为直径的圆上，故BM的中点23,0到H的距离为定值，所以，所求定点T为23,0.【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ，AP联立椭圆，结合韦达定理求点P,Q坐标，再写出直线PQ方程判断其过定点是关键.4
32、已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1，F2，A，B分别是C的右、上顶点，且AB=7，D是C上一点，BF2D周长的最大值为8.5(1)求C的方程；(2)C的弦DE过F1，直线AE，AD分别交直线x=-4于M，N两点，P是线段MN的中点，证明：以PD为直径的圆过定点.【答案】(1)x24+y23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x1,y1,E x2,y2，直线DE:x=my-1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a2+b2=7，B
33、F2D周长 DB+DF2+a=DB+2a-DF1+a BF1+3a=4a，当且仅当B,F1,D三点共线时等号成立，故4a=8，所以a2=4,b2=3，所以C的方程x24+y23=1；(2)设D x1,y1,E x2,y2，直线DE:x=my-1，代入x24+y23=1，整理得 3m2+4y2-6my-9=0，=36m2+36 3m2+40，y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，易知AD:y=y1x1-2x-2，令x=-4，得N-4,-6y1x1-2，同得M-4,-6y2x2-2，从而中点P-4,-3y1x1-2+y2x2-2，以PD为直径的圆为 x+4x-x1+y+3y1x1-
34、2+y2x2-2y-y1=0，由对称性可知，定点必在x轴上，令y=0得，x+4x-x1-3y1y1x1-2+y2x2-2=0，y1x1-2+y2x2-2=y1my1-3+y2my2-3=2my1y2-3 y1+y2m2y1y2-3m y1+y2+9=-18m3m2+4-18m3m2+4-9m23m2+4-18m23m2+4+9=-36m36=-m，所以 x+4x-x1+3my1=0，即x2+4-x1x-4x1+3my1=0，因为x1=my1-1，所以x2+5-my1x-my1+4=0，即 x+1x-my1+4=0，解得x=-1，所以圆过定点-1,0.6【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与
35、圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为 x1,y1,x2,y2；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A，过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3(1)求APQ的内心坐标；(2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于M,N，交PQ于点R，且满足MR ND=MD RN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)7-3 54,0(2)
36、存在定点D(4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a2=b2+c2，列出等式即可求出椭圆C的方程，判断APQ的内心在x轴，设直线PT平分APQ，交x轴于点T，此时T为APQ的内心，进行求解即可；(2)设直线l方程为y=k(x-t)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M、R、N、D均在直线l上，得到MR ND=MD RN，此时2t-(1+t)(x1+x2)+2x1x2=0，结合韦达定理求出t=4，可得存在定点D(4,0)满足题意【详解】(1)a2=b2+c2,2b2a=a+c=3a=2,b=3,c=1椭圆C的标准方程为x24+y
37、23=1，不妨取P 1,32,Q 1,-32,A(-2,0)，则AP=3 52,PF=32；因为APQ中，AP=AQ，所以APQ的内心在x轴，设直线PT平分APQ，交x轴于T，则T为APQ的内心，且ATTF=APPF=5=AT3-AT，所以AT=3 55+1，则T7-3 54,0；(2)椭圆和弦PQ均关于x轴上下对称若存在定点D，则点D必在x轴上设D(t,0)当直线l斜率存在时，设方程为y=k(x-t),M x1,y1,N x2,y2，直线方程与椭圆方程联立y=k(x-t)x24+y23=1，消去y得 4k2+3x2-8k2tx+4 k2t2-3=0，则=48 k2+3-k2t20,x1+x2
38、=8k2t4k2+3,x1x2=4 k2t2-34k2+37点R的横坐标为1，M、R、N、D均在直线l上，MR ND=MD RN 1+k21-x1t-x2=1+k2t-x1x2-12t-(1+t)x1+x2+2x1x2=02t-(1+t)8k2t4k2+3+24 k2t2-34k2+3=0，整理得t=4，因为点D在椭圆外，则直线l的斜率必存在存在定点D(4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、
39、二、双曲线定点问题1已知点P 4,3为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E的标准方程；(2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于A,B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y=kx+t过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x24-y23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b=3，再将点P 4,3代入双曲线方程求出a2=4，可得双曲线E的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x1+x2、x1x2，再根据斜率和为1列式，推出t=2k+3，从而可得直线y=k
40、x+t过定点(-2,3).【详解】(1)设F1(-c,0)(c0)到渐近线y=bax，即bx-ay=0的距离为3，则3=|-bc|b2+a2，结合a2+b2=c2得b=3，又P(4,3)在双曲线x2a2-y23=1上，所以16a2-93=1，得a2=4，所以双曲线E的标准方程为x24-y23=1.(2)联立y=kx+tx24-y23=1，消去y并整理得 3-4k2x2-8ktx-4t2-12=0，则3-4k20，=64k2t2+4(3-4k2)(4t2+12)0，即t2+34k2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，8则x1+x2=8kt3-4k2，x1x2=-4t2+123-4k2，则kP
41、A+kPB=y1-3x1-4+y2-3x2-4=kx1+t-3x1-4+kx2+t-3x2-4=kx1+t-3x2-4+kx2+t-3x1-4x1-4x2-4=2kx1x2+t-4k-3x1+x2-8t+24x1x2-4(x1+x2)+16=1，所以2kx1x2+t-4k-3x1+x2-8t+24=x1x2-4(x1+x2)+16，所以 2k-1x1x2+t-4k+1x1+x2-8t+8=0，所以-2k-14t2+123-4k2+t-4k+18kt3-4k2-8t+8=0，整理得t2-6k+2kt-6t-8k2+9=0，所以(t-3)2+2k(t-3)-8k2=0，所以 t-3-2kt-3+4
42、k=0，因为直线y=kx+t不过P(4,3)，即34k+t，t-3+4k0，所以t-3-2k=0，即t=2k+3，所以直线y=kx+t=kx+2k+3，即y-3=k(x+2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t=2k+3是解题关键.2双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程；(2)已知M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2，且MN的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请
43、说明理由.【答案】(1)x2-y23=1(2)存在，E:(x-8)2+y2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合ABD是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，BAD=90，焦半径c=2，当x=c时，c2a2-y2b2=1，得y2=b2c2a2-1=b4a2，即y=b2a，9所以 BF=b2a，由 AF=BF，得a+c=b2a，得a2+2a=22-a2，解得：a=1(其中a=-20,b0的右焦点，右顶点分别为F，A，B 0,b，AF=1，点M在线段AB上，且满足 BM=3 MA，直线OM的斜率为1
44、，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得 EPFQ=EQ FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x2-y23=1(2)存在，E12,0【分析】(1)由 AF=1，BM=3 MA，直线OM的斜率为1，求得a,b,c之间的关系式，解得a,b的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得 EF为PEQ的角平分线，可得直线EP,EQ的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E的坐标【详解】(1)设c2=a2+b2c
45、0，所以F c,0，A a,0，B 0,b，因为点M在线段AB上，且满足 BM=3 MA，所以点M33+1a,13+1b，因为直线OM的斜率为1，所以13+1b33+1a=1，所以ba=3，因为 AF=1，所以c-a=1，解得a=1，b=3，c=2.所以双曲线C的方程为x2-y23=1.(2)假设在x轴上存在与F不同的定点E，使得 EP FQ=EQ FP恒成立，当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有 EP FQ=EQ FP；当直线l的斜率存在且不为0时，设E t,0，直线l的方程为x=ky+2，直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，则-33k0，所以y1+y2=-12k3k2-1，
46、y1y2=93k2-1，11因为 EP FQ=EQ FP，即EPEQ=FPFQ，所以EF平分PEQ，kEP+kEQ=0，有y1x1-t+y2x2-t=0，即y1ky1+2-t+y2ky2+2-t=0，得2ky1y2+2-ty1+y2=0，所以2k93k2-1+2-t-12k3k2-1=0，由k0，解得t=12.综上所述，存在与F不同的定点E，使得 EP FQ=EQ FP恒成立，且E12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不
47、要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题4已知双曲线C与双曲线x212-y23=1 有相同的渐近线，且过点A(2 2,-1).(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点D(2,0)，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且DE DF=0，DGEF于点G，证明:存在定点H，使 GH为定值.【答案】(1)x24-y2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C的方程，再将点A的坐标代入求解作答.(2)当直线EF斜率存在时，设出其方程并与双曲线C的方程联立，由给定的数量积关系结合
48、韦达定理求得直线EF过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C的方程为x212-y23=(0)，而点A(2 2,-1)在双曲线C上，于是=(2 2)212-(-1)23=13，双曲线C的方程为x212-y23=13，即x24-y2=1，所以双曲线C的标准方程为x24-y2=1.(2)当直线EF斜率存在时，设直线EF的方程为：y=kx+m，设E x1,y1,F x2,y2，由y=kx+mx2-4y2=4 消去y并整理得 4k2-1x2+8kmx+4 m2+1=0，有4k2-10，且=(8km)2-16(m2+1)(4k2-1)0，即4k2-10且4k2-m
49、2-10的左、右焦点分别为F1，F2，A是C的左顶点，C的离心率为2设过F2的直线l交C的右支于P、Q两点，其中P在第一象限(1)求C的标准方程；(2)若直线AP、AQ分别交直线x=12于M、N两点，证明：MF2 NF2 为定值；(3)是否存在常数，使得PF2A=PAF2恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由【答案】(1)x2-y23=1；(2)证明见解析；(3)存在=2，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，以及a，结合b2=c2-a2，即可求得曲线C方程；(2)设出直线PQ的方程，联立双曲线方程，得到关于点P,Q坐标的韦达定理；再分别求得AP,AQ的方程，以及点M,N的坐标，利用数量积的
50、坐标运算，即可证明；(3)求得直线PQ不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线PA,PF2斜率之间的关系，结合点P的坐标满足曲线C方程，求解即可.【详解】(1)由题可得a=1,ca=2，故可得c=2，则b2=c2-a2=4-1=3，故C的标准方程为x2-y23=1.13(2)由(1)中所求可得点A，F2的坐标分别为-1,0,(2,0)，又双曲线渐近线为y=3x，显然直线PQ的斜率不为零，故设其方程为x=my+2，m33，联立双曲线方程x2-y23=1可得：3m2-1y2+12my+9=0，设点P,Q的坐标分别为 x1,y1,(x2,y2)，则y1+y2=-12m3m2-1,y1