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1、2023届高三数学专项练习圆锥曲线中的斜率问题2023届高三数学专项练习圆锥曲线中的斜率问题一、考情分析一、考情分析斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.二、解题秘籍(一)利用斜率求解三点共线问题二、解题秘籍(一)利用斜率求解三点共线问题利用斜率判断或证明点A,B,C共线,通常是利用kAB=kAC.【例1】【例1】(2023届广东省部分学校高三上学期联考)(2023届广东省部分学校高三上学期联考)设直线x=m与双曲线C：x2-y23=m(m0)的两条渐近线分别交于A,B两点
2、,且三角形OAB的面积为3.(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴的对称点为M,F为C的右焦点,若M,F,N三点共线,证明：直线l经过x轴上的一个定点.【例2】【例2】(2022届北京市一六一中学高三上学期期中)(2022届北京市一六一中学高三上学期期中)已知椭圆W:x24+y23=1的左 右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线l1:x=4.(1)若椭圆W的左顶点A关于直线x+my-4=0的对称点在直线l1上,求m的值；(2)过F的直线l2与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合),直线CB与直线l1相交于点M,求证：A,D,M
3、三点共线.(二二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质1.设点P m,n是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若kPA+kPB=,则=0时直线AB斜率为定值bm2an2n0,若0,则直线AB过定点 m-2n,-n-2b2ma2,2.设点 P m,n是双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)一定点,点 A,B 是双曲线 C 上不同于 P 的两点,若kPA+kPB=,则 =0 时 直 线 AB 斜 率 为 定 值-bm2an2n0,若 0,则 直 线 AB 过 定 点m-2n,-n+2b2ma2
4、；3.设点P m,n是抛物线C：y2=2px p0一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若kPA+kPB=,则=0时直线AB斜率为定值-pnn0,若0,则直线AB过定点 m-2n,-n+2p；【例【例3 3】(20232023 届山西省山西大附属中学高三上学期诊断届山西省山西大附属中学高三上学期诊断)若点P在直线 y=t上,证明直线 PA,PB 关于 y=t对称,或证明直线y=t平分APB,可证明kPA+kPB=0.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1,F2,点M 0,2是椭圆C的一个顶点,F1MF2是等腰直角三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M分别作
5、直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明：直线AB过定点【例【例4 4】(20232023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a1)上,直线l交C于P，Q 两点,直线AP，AQ 的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tanPAQ=2 2,求PAQ的面积.【例【例5 5】(20222022届广东省深圳市高三上学期月考届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,其中P为E的准线上一点,O是坐标原点,
6、且OF OP=-94.(1)求抛物线E的方程；(2)过Q 1,0的动直线与E交于C,D两点,问：在x轴上是否存在定点M t,0t0,使得x轴平分CMD?若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.(三三)根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质1.若点 A,B 是椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0上关于原点对称的两点,点 P 是椭圆 C 上与 A,B 不重合的点,则kPAkPB=-b2a2；若点A,B是双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则kPAkPB=b2a2.2.若圆锥曲线上任
7、意一点P作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A,B,若kPAkPB为定值,则直线AB过定点.【例【例6 6】(20222022届黑龙江省大庆高三上学期期中届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点和右焦点分别为 A、B 和 F,直线 l:x=my+t 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N,记直线 AM、BM,BN的斜率分别为k1、k2、k3.(1)求证：k1k2为定值；(2)若k1=3k3,求FMN的周长.【例【例7 7】(20232023届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试)点P(4,3)在双曲线
8、C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,离心率e=72.(1)求双曲线C的方程；(2)A,B是双曲线C上的两个动点(异于点P),k1,k2分别表示直线PA,PB的斜率,满足k1k2=32,求证：直线AB恒过一个定点,并求出该定点的坐标.(四四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题判断或证明与斜率有关的定值与范围问题1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到定值.2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.【例【例8 8】(2022202
9、2 届山东省学情高三上学期届山东省学情高三上学期 1212 月质量检测月质量检测)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点分别为F1(-1，0),F2(1，0).过F2与x轴垂直的直线与椭圆C交于点D,点D在x轴上方,且 DF1=3 22.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,是否存在一定点M使得kMA+kMB为定值,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.【例【例9 9】(20222022届广东省高三上学期届广东省高三上学期 1212月大联考月大联考)已知圆(x+1)2+y2=16的圆心为A,点P是圆A上的动点,点B是抛物线y2=4x的
10、焦点,点G在线段AP上,且满足 GP=GB.(1)求点G的轨迹E的方程；(2)不过原点的直线l与(1)中轨迹E交于M,N两点,若线段MN的中点Q在抛物线y2=4x上,求直线l的斜率k的取值范围.三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023届山西省长治市高三上学期届山西省长治市高三上学期 9 9月质量检测月质量检测)已知点 P 1,32在椭圆 C：x2a2+y2b2=1(ab0)上,且点P到椭圆右顶点M的距离为132(1)求椭圆C的方程；(2)若点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14试判断直线AB是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由2.(2023
11、2023届重庆市第八中学校高三上学期月考届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知椭圆C的中心为坐标原点,对称轴为x轴,y轴,且过A(-2,0),B 1,32两点.(1)求椭圆C的方程；(2)F为椭圆C的右焦点,直线l交椭圆C于P,Q(不与点A重合)两点,记直线AP,AQ,l的斜率分别为k1,k2,k,若k1+k2=-3k,证明：FPQ的周长为定值,并求出定值.3.(20232023届重庆市南开中学校高三上学期届重庆市南开中学校高三上学期9 9月月考月月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点
12、M的坐标为(2,1)时,直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.4.(20232023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知 A,A分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点,B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上,满足PFAA,ABOP,FA=2-2.(1)求C的方程；(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证：k1k2为定值.5.(20232023届重庆市第一中学校高三上学期届重庆市第一中学校高三
13、上学期9 9月月考月月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点3,12,其右焦点为F3,0.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点P,Q在椭圆C上,右顶点为A,且满足直线AP与AQ的斜率之积为120.求APQ面积的最大值.6.(20232023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考)已知双曲线C:x2-y2=1和点B 0,1.(1)斜率为k且过原点的直线与双曲线C交于E,F两点,求EBF最小时k的值.(2)过点B的动直线与双曲线C交于P,Q两点,若曲线C上存在定点A,使kAP+kAQ为定值,求点A的坐标及实数的值.7.(20232023届河北省邢台市
14、名校联盟高三上学期考试届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试)已知A1、A2为椭圆C：x2+y23=1的左右顶点,直线x=x0与C交于A、B两点,直线A1A和直线A2B交于点P.(1)求点P的轨迹方程.(2)直线l与点P的轨迹交于M、N两点,直线NA1的斜率与直线MA2斜率之比为-13,求证以MN为直径的圆一定过C的左顶点.8.(20232023届安徽省皖南八校高三上学期考试届安徽省皖南八校高三上学期考试)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点为F1,F2,且左焦点坐标为-2,0,P为椭圆上的一个动点,F1PF2的最大值为2.(1)求椭圆M的标准方程；(2)若过点-2,-4的直线
15、l与椭圆M交于A,B两点,点N 2,0,记直线NA的斜率为k1,直线NB的斜率为k2,证明：1k1+1k2=1.9.(20222022届河北省石家庄高三上学期届河北省石家庄高三上学期1111月月考月月考)已知椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的离心率为22,椭圆上的一点P满足PF2x轴,且 PF2=1(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点A为椭圆的左顶点,若点B,C为椭圆上异于点A的动点,设直线AB,AC的斜率分别为kABkAC,且kABkAC=1,过原点O作直线BC的垂线,垂足为点D,问：是否存在定点E,使得线段DE的长为定值？若存在,求出定点E的坐标及线
16、段DE的长；若不存在,请说明理由10.(20222022 届八省八校届八省八校(T T8 8 联考联考)高三上学期联考高三上学期联考)设椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0),圆 C:(x-2m)2+(y-4m)2=1(m0),点F1,F2,分别为 E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段OC的垂直平分线为l已知E的离心率为12,点F1,F2关于直线l的对称点都在圆C上(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为23？若存在,求实数m的值；若不存在,说明理由11.(20222022届上海市嘉定区高三一模届上海市嘉定区高三
17、一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,且椭圆过点 0,5、2,53,过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点(点P在x轴的上方).(1)求椭圆的标准方程；(2)若PF+2QF=0,求点P的坐标；(3)设直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2,是否存在常数,使得k1+k2=0?若存在,请求出的值；若不存在,请说明理由.12.(20222022届海南省海口市高三上学期考试届海南省海口市高三上学期考试)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的虚轴长为4,直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线(1)求双曲线C的标准方程；(
18、2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),记直线MA斜率为k1,直线NB斜率为k2,求证：k1k2为定值13.(20232023届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研)已知椭圆C:x25+y24=1的上下顶点分别为A，B,过点P 0，3且斜率为k(k 0,b 0)的右焦点为F 2,0,离心率为12,ABC为椭圆C的任意内接三角形,点D为ABC的外心.(1)求C的方程；(2)记直线ABBCCAOD的斜率分别为k1k2k3k4,且斜率均存在.求证：4k1k2k3k4=3.圆锥曲线中的斜率问题圆锥曲线
19、中的斜率问题一、一、考情分析考情分析斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.二、二、解题秘籍解题秘籍(一一)利用斜率求解三点共线问题利用斜率求解三点共线问题利用斜率判断或证明点A,B,C共线,通常是利用kAB=kAC.【例【例1 1】(20232023届广东省部分学校高三上学期联考届广东省部分学校高三上学期联考)设直线x=m与双曲线C：x2-y23=m(m0)的两条渐近线分别交于A,B两点,且三角形OAB的面积为3.(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,l
20、与C交于两个不同的点M,N,M关于x轴的对称点为M,F为C的右焦点,若M,F,N三点共线,证明：直线l经过x轴上的一个定点.【解析】(1)双曲线C：x2-y23=m(m0)的渐近线方程为y=3x,不妨设A m,3m,B m,-3m因为三角形OAB的面积为3,所以12ABm=3m2,所以3m2=3,又m0,所以m=1.(2)双曲线C的方程为C：x2-y23=1,所以右焦点F的坐标为 2,0,若直线l与x轴交于点 p,0,故可设直线l的方程为y=k x-pk0,设M x1,y1,N x2,y2,则Mx1,-y1,联立y=k x-px2-y23=1,得 3-k2x2+2pk2x-k2p2+3=0,3
21、-k20且=2pk22+4 3-k2k2p2+30,化简得k23且 p2-1k2+30,所以x1+x2=-2pk23-k2,x1x2=-k2p2+33-k2,因为直线MN的斜率存在,所以直线MN的斜率也存在,因为M,F,N三点共线,所以kMF=kFN,即-y1x1-2=y2x2-2,即-y1x2-2=y2x1-2,所以-k x1-px2-2=k x2-px1-2,因为k0,所以 x1-px2-2+x2-px1-2=0,所以2x1x2-(p+2)x1+x2+4p=0,所以2-k2p2+33-k2-(p+2)-2pk23-k2+4p=0,化简得p=12,所以MN经过x轴上的定点12,0.【例【例2
22、 2】(20222022届北京市一六一中学高三上学期期中届北京市一六一中学高三上学期期中)已知椭圆W:x24+y23=1的左 右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线l1:x=4.(1)若椭圆W的左顶点A关于直线x+my-4=0的对称点在直线l1上,求m的值；(2)过F的直线l2与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合),直线CB与直线l1相交于点M,求证：A,D,M三点共线.【解析】(1)由题意知,直线l3：x+my-4=0的斜率存在,且斜率为k3=-1m,设点A关于直线l3对称的点为A1,则A1(4，n),AA1l3所以线段AA1的中点 1，n2在直线l3上,又kAA1=n6,k3kA
23、A1=-1,有-1mn6=-11+mn2-4=0,解得m=1n=6 或m=-1n=-6,所以m=1；(2)已知A(-2，0)，B(2，0)，F(1，0),当直线l2的斜率不存在时,l2：x=1,此时C 1，-32，D 1，32,有kCB=0+322-1=32,所以直线lCB：y=32(x-2),当x=4时,y=3,所以M(4，3),所以kDM=3-324-1=12，kAD=32-01+2=12,所以kDM=kAD,即A、D、M三点共线；当直线l2的斜率存在时,设直线l2：y=k(x-1)(k0),则x24+y23=1y=k(x-1),得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,=(-8k
24、2)2-4(4k2+3)(4k2-12)=144k2+1440,设C x1，y1，D x2，y2,则x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3,直线BC的方程为y=y1x1-2(x-2),令x=4,得M 4，2y1x1-2,所以直线AD、AM的斜率分别为kAD=y2x2+2，kAM=y13(x1-2),kAD-kAM=y2x2+2-y13(x1-2)=3y2(x1-2)-y1(x2+2)3(x2+2)(x1-2),上式的分子3y2(x1-2)-y1(x2+2)=3k(x2-1)(x1-2)-k(x1-1)(x2+2)=2kx1x2-5k(x1+x2)+8k=2k4k2-12
25、4k2+3-5k8k24k2+3+8k=0,所以kAD-kAM=0,即A、D、M三点共线.综上,A、D、M三点共线.(二二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质1.设点P m,n是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若kPA+kPB=,则=0时直线AB斜率为定值bm2an2n0,若0,则直线AB过定点 m-2n,-n-2b2ma2,2.设点 P m,n是双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)一定点,点 A,B 是双曲线 C 上不同于 P 的两点,若kPA+kPB=,则 =0 时 直 线 A
26、B 斜 率 为 定 值-bm2an2n0,若 0,则 直 线 AB 过 定 点m-2n,-n+2b2ma2；3.设点P m,n是抛物线C：y2=2px p0一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若kPA+kPB=,则=0时直线AB斜率为定值-pnn0,若0,则直线AB过定点 m-2n,-n+2p；【例【例3 3】(20232023 届山西省山西大附属中学高三上学期诊断届山西省山西大附属中学高三上学期诊断)若点P在直线 y=t上,证明直线 PA,PB 关于 y=t对称,或证明直线y=t平分APB,可证明kPA+kPB=0.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左、右焦点分别为F1,F
27、2,点M 0,2是椭圆C的一个顶点,F1MF2是等腰直角三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明：直线AB过定点【解析】(1)由题意点M 0,2是椭圆C的一个顶点,知b=2,因为F1MF2是等腰直角三角形,所以a=2b,即a=2 2,所以椭圆C的标准方程为：x28+y24=1(2)若直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+m,由题意知m2由y=kx+mx28+y24=1,得 1+2k2x2+4kmx+2m2-8=0,由题意知=8(8k2+4-m2)0,设A x1,y1,B x2,y2,所
28、以x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2,因为k1+k2=8,所以k1+k2=y1-2x1+y2-2x2=kx1+m-2x1+kx2+m-2x2=2k+(m-2)x1+x2x1x2=2k+m-2-4km2m2-8=8,所以k-kmm+2=4,整理得m=12k-2,故直线AB的方程为y=kx+12k-2,即y=k x+12-2,所以直线AB过定点-12,-2若直线AB的斜率不存在,设其方程为x=x0,A x0,y0,B x0,-y0由题意得y0-2x0+-y0-2x0=8,解得x0=-12,此时直线AB的方程为x=-12,显然过点-12,-2综上,直线AB过定点-12,-
29、2【例【例4 4】(20232023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a1)上,直线l交C于P，Q 两点,直线AP，AQ 的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tanPAQ=2 2,求PAQ的面积.【解析】(1)将点A(2,1)代入x2a2-y2a2-1=1中,得4a2-1a2-1=1,即a4-4a2+4=0,解得a2=2,故双曲线方程为x22-y2=1；由题意知直线l的斜率存在,设l:y=kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则联立直线与双曲线x22-y2=1得：(2k
30、2-1)x2+4kmx+2m2+2=0,需满足2k2-10,=8(m2+1-2k2)0,故x1+x2=-4km2k2-1,x1x2=2m2+22k2-1,kAP+kAQ=y1-1x1-2+y2-1x2-2=kx1+m-1x1-2+kx2+m-1x2-2=0,化简得：2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,故2k(2m2+2)2k2-1+(m-1-2k)-4km2k2-1-4(m-1)=0,即2k2+(m+1)k+m-1=0,即(k+1)(m+2k-1)=0,由题意可知直线l不过A点,即m+2k-10,故l的斜率k=-1.(2)设直线AP的倾斜角为,由tanPAQ=2 2
31、,2tanPAQ21-tan2PAQ2=2 2,得tanPAQ2=22,(负值舍去),由直线AP，AQ 的斜率之和为0,可知2+PAQ=,即tan-22=22,则tan2-=cossin=22,得kAP=tan=2,即y1-1x1-2=2,联立y1-1x1-2=2,及x212-y21=1得x1=10-4 23,y1=4 2-53,将x1=10-4 23,y1=4 2-53代入l:y=-x+m中,得m=53,故x1+x2=203,x1x2=689,而|AP|=2+1|x1-2|=3|x1-2|,|AQ|=3|x2-2|,由tanPAQ=2 2,得sinPAQ=2 23,故SPAQ=12|AP|A
32、Q|sinPAQ=2|x1x2-2(x1+x2)+4|=2689-2203+4=16 29.【例【例5 5】(20222022届广东省深圳市高三上学期月考届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,其中P为E的准线上一点,O是坐标原点,且OF OP=-94.(1)求抛物线E的方程；(2)过Q 1,0的动直线与E交于C,D两点,问：在x轴上是否存在定点M t,0t0,使得x轴平分CMD?若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为Fp2,0设P-p2,yP,则OF=p2,0,OP=-p2,yP因为OF OP=-
33、94,所以-p24=-94,得p=3.所以抛物线E的方程为y2=6x;(2)假设在x轴上存在定点M t,0t0,使得x轴平分CMD.设动直线的方程为x=my+1,点C x1,y1,D x2,y2,联立x=my+1y2=6x,可得y2-6my-6=0.=36m2+240恒成立,y1+y2=6m,y1y2=-6设直线MC,MD的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=y1x1-t+y2x2-t=y1x2-t+y2x1-tx1-tx2-t=y1my2+1-t+y2my1+1-tx1-tx2-t=2my1y2+1-ty1+y2x1-tx2-t由定点M t,0t0,使得x轴平分CMD,则k1+k2=0,所以
34、2my1y2+1-ty1+y2=0.把根与系数的关系代入可得m+mt=0,得t=-1.故存在t=-1满足题意.综上所述,在x轴上存在定点M-1,0,使得x轴平分CMD.(三三)根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质1.若点 A,B 是椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0上关于原点对称的两点,点 P 是椭圆 C 上与 A,B 不重合的点,则kPAkPB=-b2a2；若点A,B是双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则kPAkPB=b2a2.2.若圆锥曲线上任意一点P作两条直线与该圆锥曲线
35、分别交于点A,B,若kPAkPB为定值,则直线AB过定点.【例【例6 6】(20222022届黑龙江省大庆高三上学期期中届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点和右焦点分别为 A、B 和 F,直线 l:x=my+t 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N,记直线 AM、BM,BN的斜率分别为k1、k2、k3.(1)求证：k1k2为定值；(2)若k1=3k3,求FMN的周长.【解析】(1)证明：设M x0,y0,易知A-2,0、B 2,0,其中x204+y203=1,则x20=4-43y20,k1k2=y0 x0+2y0 x0-2=y20
36、x20-4=y204-43y20-4=-34为定值.(2)解：k1=3k3,即-34k2=3k3k2k3=-14,设M x1,y1、N x2,y2,而B 2,0,联立x=my+t3x2+4y2=123 my+t2+4y2=12 3m2+4y2+6mty+3t2-12=0,则=36m2t2-4 3m2+43t2-12=48 3m2+4-t20,且y1+y2=-6mt3m2+4y1y2=3t2-123m2+4,k2k3=y1x1-2y2x2-2=-14,my1+t-2my2+t-2+4y1y2=0.所以,m2+4y1y2+m t-2y1+y2+t-22=0 m2+43t2-123m2+4+m t-
37、2-6mt3m2+4+t-22=0,t2,m2+43 t+23m2+4-6m2t3m2+4+t-2=0,所以,3m2t+6m2+12t+24-6m2t+3m2t-6m2+4t-8=0,16t+16=0t=-1,故直线MN恒过椭圆C的左焦点-1,0,所以,FMN的周长为4a=8.【例【例7 7】(20232023届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试)点P(4,3)在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,离心率e=72.(1)求双曲线C的方程；(2)A,B是双曲线C上的两个动点(异于点P),k1,k2分别表示直线PA,PB的斜率,满足k1k2
38、=32,求证：直线AB恒过一个定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P(4,3)在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,离心率e=72可得；16a2-9b2=1a2+b2a=72,解出,a=2,b=3,所以,双曲线C的方程是x24-y23=1(2)当直线AB的斜率不存在时,则可设A n,y0,B n,-y0,代入x24-y23=1,得y02=34n2-3,则k1k2=y0-3n-4-y0-3n-4=9-y20(n-4)2=12-34n2(n-4)2=32,即9n2-48n+48=0,解得n=43或n=4,当n=4时,y0=3,A,B其中一个与点P 4,3重合,不合题意；当
39、n=43时,直线AB的方程为x=43,它与双曲线C不相交,故直线AB的斜率存在；当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程y=kx+m代入x24-y23=1,整理得,3-4k2x2-8kmx-4m2-12=0,设A x1,y1,B x2,y2,则x1+x2=8km3-4k2,x1x2=-4m2+123-4k2,由=(-8km)2-4 3-4k2-4m2-120,m2+34k2,所以k1k2=y1-3x1-4y2-3x2-4=kx1+m-3x1-4kx2+m-3x2-4=k2x1x2+k m-3x1+x2+(m-3)2x1x2-4 x1+x2+16=32所以,2k2-3x1x2+2km-6k+12
40、x1+x2+2m2-12m-30=0,即 2k2-3-4m2-123-4k2+2km-6k+128km3-4k2+2m2-12m-30=0,整理得3m2+16k-6m+16k2-9=0,即 3m+4k+3m+4k-3=0,所以3m+4k+3=0或m+4k-3=0,若3m+4k+3=0,则m=-4k+33,直线AB化为y=k x-43-1,过定点43,-1；若m+4k-3=0,则m=-4k+3,直线AB化为y=k x-4+3,它过点P 4,3,舍去综上,直线AB恒过定点43,-1另解：设直线AB的方程为m x-4+n y-3=1,双曲线C的方程x24-y23=1可化为3x-4+42-4y-3+3
41、2=12,即3(x-4)2-4(y-3)2+24x-4-y-3=0,由可得3(x-4)2-4(y-3)2+24x-4-y-3m x-4+n y-3=0,整理可得 24m+3(x-4)2-24n+4(y-3)2+24 n-mx-4y-3=0,两边同时除以(x-4)2,整理得 24n+4y-3x-42-24 n-my-3x-4-24m+3=0,=242(n-m)2+4 24n+424m+30,则k1,k2是方程的两个不同的根,所以k1k2=-24m+324n+4=32,即8m+12n+3=0,由可得-3 x-4=8-3 y-3=12,解得x=43y=-1,故直线AB恒过定点43,-1.(四四)判断
42、或证明与斜率有关的定值与范围问题判断或证明与斜率有关的定值与范围问题1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到定值.2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.【例【例8 8】(20222022 届山东省学情高三上学期届山东省学情高三上学期 1212 月质量检测月质量检测)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点分别为F1(-1，0),F2(1，0).过F2与x轴垂直的直线与椭圆C交于点D,点D在x轴上方,且 DF1=3
43、 22.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,是否存在一定点M使得kMA+kMB为定值,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.【解析】(1)由己知得c=1,|DF1|=3 22,所以|DF2|=22,所以2a=22+3 22=2 2 a=2,b=1.所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)如果存在点M,由于椭圆的对称性可知点M一定在 x轴上,设其坐标为(x0,0),因为椭圆右焦点F(1,0),直线斜率存在时设l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),则x12,x22=AB,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到相应的参数值
44、即可得到椭圆方程；(2)设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标Q-4kt4k2+3,3t4k2+3,将点Q坐标代入抛物线方程得到t=-16k 4k2+39,将此式代入4k2-t2+30得到k4+34k2-93222=AB,所以点G轨迹是一个椭圆,其焦点分别为A,B,长轴长为4,设该椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则2a=4,2c=2,a=2,c=1,b2=a2-c2=3,故点G的轨迹E的方程为x24+y23=1.(2)易知直线1的斜率存在,设直线1：y=kx+t t0,M x1,y1,N x2,y2,Q x0,y0,由y=kx+t3x2+4y2=12 得：4k2+3
45、x2+8ktx+4t2-12=0,=(8kt)2-4 3+4k24t2-120,即4k2-t2+30又x1+x2=-8kt4k2+3,x1x2=4t2-124k2+3故Q-4kt4k2+3,3t4k2+3,将Q-4kt4k2+3,3t4k2+3,代y2=4x,得：t=-16k 4k2+39,k0,将代入,得：162k24k2+381,4162k4+3162k2-810,即k4+34k2-93220,即 k2-332k2+27320,即k2-3320,-68k68且k0,即k的取值范围为:-68k0或0kb0)上,且点P到椭圆右顶点M的距离为132(1)求椭圆C的方程；(2)若点A,B是椭圆C上
46、不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14试判断直线AB是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由【解析】(1)点P 1,32,在椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上代入得：1a2+94b2=1,点P到椭圆右顶点M的距离为132,则132=a-12+94,解得a=2,b=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1(2)由题意,直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为y=kx+m(k0),M 2,0,A x1,y1,B x2,y2联立y=kx+m3x2+4y2=12 得 3+4k2x2+8kmx+4m2-12=0=64k2m2-4 3+4k24m2-12=48 4k2-m2
47、+30 x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,直线MA与直线MB斜率之积为14y1x1-2y2x2-2=14,4 kx1+mkx2+m=x1-2x2-2 化简得 4k2-1x1x2+4km+2x1+x2+4m2-4=0,4k2-14m2-123+4k2+4km+2-8km3+4k2+4m-4=0,化简得m2-2km-8k2=0,解得m=4k或m=-2k 当m=4k时,直线AB方程为y=k x+4,过定点-4,0m=4k代入判别式大于零中,解得-12k0,n0),代入A-2,0,B 1,32,得m=14,n=13,故椭圆C方程为x24+y23=1.(2)设直线l:y=
48、kx+m,P x1,y1,Q x2,y2,由y=kx+m,3x2+4y2=12 4k2+3x2+8kmx+4m2-12=0 得,x1+x2=-8km4k2+3x1x2=4m2-124k2+3,=64k2m2-4 4k2+34m2-12=192k2-48m2+144,又k1=y1x1+2=kx1+mx1+2,k2=kx2+mx2+2,故k1+k2=kx1+mx1+2+kx2+mx2+2=2kx1x2+2k x1+x2+m x1+x2+4mx1x2+2 x1+x2+4=8km2-24k-16k2m-8km2+16k2m+12m4m2-12-16km+16k2+12=3m-6km2-4km+4k2,
49、由k1+k2=-3k,得m2-3km+2k2=0,故 m-2km-k=0m=2k或m=k,当m=2k时,直线l:y=kx+2k=k x+2,过定点A-2,0,与已知不符,舍去；当m=k时,直线l:y=kx+k=k x+1,过定点-1,0,即直线l过左焦点,此时=192k2-48m2+144=144k2+1440,符合题意.所以FPQ的周长为定值4a=8.3.(20232023届重庆市南开中学校高三上学期届重庆市南开中学校高三上学期9 9月月考月月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的
50、坐标为(2,1)时,直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.【解析】(1)由题意知,离心率e=22,所以a=2b=2c,设A x1,y1,B x2,y2,x21a2+y21b2=1x22a2+y22b2=1两式相减得kkOM=-b2a2=-12,所以k=-1；所以直线为y-1=-(x-2),即y=-x+3,所以b=c=3,椭圆方程为x218+y29=1；(2)设直线为y=kx+m,由y=kx+mx2+2y2=18 得 1+2k2x2+4kmx+2m2-18=0,则xM=x1+x22=-2km1+2k2,yM=m1+2k