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1、2023届高考数学专项练习圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题2023届高考数学专项练习圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题【题型归纳目录】题型一：仿射变换问题题型二：非对称韦达问题题型三：椭圆的光学性质题型四：双曲线的光学性质题型五：抛物线的光学性质【方法技巧与总结】一、仿射变换问题【题型归纳目录】题型一：仿射变换问题题型二：非对称韦达问题题型三：椭圆的光学性质题型四：双曲线的光学性质题型五：抛物线的光学性质【方法技巧与总结】一、仿射变换问题仿射变换有如下性质：1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；3、其
2、它不变关系我们以椭圆为例阐述上述性质椭圆x2a2+y2b2=1 ab0，经过仿射变换x=xy=aby，则椭圆变为了圆x2+y2=a2，并且变换过程有如下对应关系：(1)点P x0,y0变为P x0,aby0；(2)直线斜率k变为k=abk，对应直线的斜率比不变；(3)图形面积S变为S=abS，对应图形面积比不变；(4)点、线、面位置不变(平直线还是平直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等)；(5)弦长关系满足ABAB=1+k21+k2，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变总结可得下表：变换前变换后方程x2a2+y2b2=1 ab0 x2+y2=a2横坐标xx纵坐
3、标yy=aby斜率k=yxk=yx=abyx=abk面积S=12xyS=12xy=abS弦长l=1+k2xl=1+k2x=1+a2b2k2x=1+a2b2k21+k2l不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比二、二、非对称韦达问题非对称韦达问题在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中，若 0，设它的两个根分别为 x1,x2，则有根与系数关系：x1+x2=-ba,x1x2=ca，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理 x1-x2,x21+x22,1x1+1x2之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及x1,x2的不同系数的代数式的应算，比如求x1x2,3x1x2+2x1-x22x1x2-x
4、1+x2或x1+x2之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去 x 或 y，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如 x1+2x2,x1y2+x2y1,x1x2或3x1x2+2x1-x22x1x2-x1+x2之类中x1,x2的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”三、三、光学性质问题光学性质问题1.椭圆的光学性质椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点(如图1)【引理【引理1 1】若点A,B在直线 L的同侧，设点是直线 L上到A,B两点距离之
5、和最小的点，当且仅当点 P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点【引理【引理2 2】若点A,B在直线L的两侧，且点A,B到直线的距离不相等，设点P是直线L上到点A,B距离之差最大的点，即 PA-PB最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点【引理【引理 3 3】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1 ab0，F1,F2分别是其左、右焦点，若点 D 在椭圆外，则 DF1+DF22a2.双曲线的光学性质双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点(如图)【引理【引理4 4】若点A,B在直线 L的同侧，
6、设点是直线 L上到A,B两点距离之和最小的点，当且仅当点 P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点【引理【引理5 5】若点A,B在直线L的两侧，且点A,B到直线的距离不相等，设点P是直线L上到点A,B距离之差最大的点，即 PA-PB最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点【引理【引理 6 6】设双曲线方程为x2a2-y2b2=1 a0,b0，F1,F2分别是其左、右焦点，若点 D在双曲线外(左、右两支中间部分，如图)，则DF1-DF20，F 0,p2为其焦点，j是过抛物线上一点D x0,y0的切线，A,B是直线 j上的两点(不同于点D)，
7、直线DC平行于y轴求证：FDA=CDB(入射角等于反射角)【结论【结论2 2】已知：如图，抛物线C:y2=2px p0，F是抛物线的焦点，入射光线从F点发出射到抛物线上的点M，求证：反射光线平行于x轴【典例例题】【典例例题】题型一：仿射变换问题题型一：仿射变换问题例例1.1.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)MN是椭圆x2a2+y2b2=1 ab0上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则kMNkOP=_，A，B是该椭圆的左右顶点，Q是椭圆上不与A，B重合的点，则 kAQ kBQ=_ CD 是该椭圆过原点 O 的一条弦，直线 CQ，DQ 斜率均存在，则kCQk
8、DQ=_例例2.2.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，作斜率为12的直线 l 与椭圆x24+y2=1 交于 P,Q 两点，且M2,22在直线 l 的上方，则 MPQ 内切圆的圆心所在的定直线方程为_例例3.3.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)是椭圆x24+y23=1上任意一点，O为坐标原点，PO=2OQ，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且QA=QB，则PAB面积为_变式变式1.1.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知直线l与椭圆x24+y22=1交于M，N两点，当kOMkON=_，MON面积最大，并且最大值为 _.记
9、M(x1,y1),N(x2,y2)，当MON面积最大时，x21+x22=_y21+y22=_.是椭圆上一点，OP=OM+ON，当MON面积最大时，2+2=_.变式变式2.2.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆C:x22+y2=1左顶点为A，P,Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ 于 E，直线 QO 交 AP 于 D，直线 OP,OQ 的斜率分别为 k1,k2且 k1k2=-12，AD=DF,AE=EQ(,是非零实数)，求2+2=_.题型二：非对称韦达问题题型二：非对称韦达问题例例4.4.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2
10、b2=1(ab0)的左、右焦点是F1、F2，左右顶点是A1、A2，离心率是22，过F2的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且F1PQ的周长是4 2，直线A1P与A2Q交于点M.(1)求椭圆的方程；(2)()求证直线A1P与A2Q交点M在一条定直线l上；()N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：PF2PN是定值例例5.5.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12，短轴长为2 3(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P 4,0且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与
11、BN相交于点Q证明：点Q在定直线上例例6.6.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)点A,B是椭圆E E:x24+y23=1的左右顶点若直线l:y=k(x-1)与椭圆E E交于M，N两点，求证：直线AM与直线BN的交点在一条定直线上变式变式3.3.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知A1、A2分别是离心率 e=22的椭圆 E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右项点，P是椭圆E的上顶点，且PA1 PA2=-1.(1)求椭圆E的方程；(2)若动直线l过点 0,-4，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线AM恒过定点.变式变式4.4
12、.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)过点P 2,2，且离心率为22(1)求椭圆C的方程；(2)记椭圆C的上下顶点分别为A,B，过点 0,4斜率为k的直线与椭圆C交于M,N两点，证明：直线BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程题型三：椭圆的光学性质题型三：椭圆的光学性质例例7.7.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长
13、线经过双曲线的另一个焦点.如图，一个光学装置由有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线 C2构成，已知 C1与C2的离心率之比为 2:5.现一光线从右焦点 F2发出，依次经 C1与C2的反射，又回到了点F2，历时310-8秒.将装置中的C2去掉，如图，此光线从点F2发出，经C1两次反射后又回到了点F2，历时_.秒例例8.8.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线 C的方程为 x2+4y2=4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于
14、点P，且|PF1|=1，过点P且与直线l垂直的直线l与椭圆长轴交于点M，则|F1M|:|F2M|=()A.2:3B.1:2C.1:3D.1:3例例9.9.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点直线l：x+2y-8=0与椭圆C：x216+y212=1相切于点P，椭圆C的焦点为 F1，F2，由光学性质知直线 PF1，PF2与l的夹角相等，则 F1PF2的角平分线所在的直线的方程为()A.2x-y-1=0B.x-y+1=0C.2x-y+1=0D.x-y-1=0题型四：双曲线的光学性质
15、题型四：双曲线的光学性质例例10.10.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C：x216-y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，从 F2发出的光线射向 C 上的点 P 8,y0后，被 C 反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是()A.1314B.-1114C.1114D.-1314例例11.11.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双
16、曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角请解决下列问题：已知F1、F2分别是双曲线C：x2-y2=1的左.右焦点，若从F2发出的光线经双曲线右支上的点 A x0,1反射后，反射光线为射线 AM，则F2AM的角平分线所在的直线的斜率为()A.-3B.-2C.-1D.-22题型五：抛物线的光学性质题型五：抛物线的光学性质例例12.12.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点已知抛物线 y2=4x的焦点为
17、F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()A.43B.-43C.43D.-169例例13.13.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线y2=4x的焦点为F，一条平行于 x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点 A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为()A.9+10B.9+26C.7112+26D.8312+26例例14.14
18、.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知：如图，抛物线 C:x2=2py p0，F 0,p2为其焦点，j 是过抛物线上一点 D x0,y0的切线，A,B 是直线 j 上的两点(不同于点 D)，直线 DC 平行于 y 轴求证：FDA=CDB(入射角等于反射角)变式变式5.5.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知：如图，抛物线C:y2=2px p0，F是抛物线的焦点，入射光线从F点发出射到抛物线上的点M，求证：反射光线平行于x轴【过关测试】【过关测试】一、一、单选题单选题1.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)椭圆满足这样的光学性质
19、：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：x216+y29=1，点A、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点 A处，从 A点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最长路程是()A.20B.18C.16D.142.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线 E 的焦点分别为 F1，F2，经过 F2且与 F1F2垂直的光线经双曲线E反射后，与F1F2成45角，则双曲线E的离心率为()
20、A.2B.2+1C.2 2D.2 2-1二、二、多选题多选题3.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 F1，F2是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为2c，静放在点F1的小球(小球的半径不计)，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时，小球经过的路程可以是()A.4aB.4cC.2 a+cD.2 a-c4.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向
21、延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知F1、F2分别是双曲线C:x2-y22=1的左、右焦点，点P为C在第一象限上的点，点 M 在 F1P 延长线上，点 Q 的坐标为33,0，且 PQ 为 F1PF2的平分线，则下列正确的是()A.PF1PF2=2B.PF1+PF2=2 3C.点P到x轴的距离为3D.F2PM的角平分线所在直线的倾斜角为150三、三、填空题填空题5.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)过椭圆x24+y23=1的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则AOB面积最大值为_.6.(20222
22、022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知A，B，C分别是椭圆x24+y23=1上的三个动点，则ABC面积最大值为_.7.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，F1、F2分别为椭圆左右焦点，过F1、F2作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于 M、N、P、Q 四点，若当两条弦垂直于 x 轴时，点 M、N、P、Q 所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为_.8.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在
23、F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点设椭圆方程x2a2+y2b2=1(a b 0),F1,F2为其左、右焦点，若从右焦点 F2发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足BAD=90,tanABC=34，则该椭圆的离心率为_四、四、解答题解答题9.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,AF=2FB.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.10.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)椭圆有两
24、个顶点 A(-1,0),B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于 C,D两点，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q(1)当 CD=3 22时，求直线l的方程；(2)当P点异于A,B两点时，证明：OP OQ 为定值11.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知 A、B 分别是椭圆x22+y2=1 的右顶点和上顶点，C、D 在椭圆上，且CDAB，设直线AC、BD的斜率分别为k1、k2，证明：k1k2为定值12.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点分别为 F1-c,0，F2c,0，M,
25、N分别为左右顶点，直线l：x=ty+1与椭圆C交于A,B两点，当t=-33时，A是椭圆的上顶点，且AF1F2的周长为6(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AM,BN交于点Q，证明：点Q在定直线上(3)设直线AM,BN的斜率分别为k1,k2，证明：k1k2为定值13.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知x29+y25=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F，设过点T t,m的直线TA、TB与椭圆分别交于点M x1,y1、N x2,y2，其中m0，y10，y2b0，a，b为常数)，动圆C1:x2+y2=t21，bt1a点A1,A2分别为C0的左，右
26、顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;(2)设动圆C2:x2+y2=t22与C0相交于A/,B/,C/,D/四点，其中bt2 b 0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1F1F2时，|PF2|=2|PF1|(1)求椭圆C的标准方程：(2)过点Q(-4，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M，证明：直线NM过定点18.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点A(-2,-1)，且a=2b()求椭圆C的方程：()过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,
27、NA分别交直线x=-4于点P,Q求|PB|BQ|的值19.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距等于其长半轴长，M,N为椭圆C的上、下顶点，且|MN|=2 3(1)求椭圆C的方程；(2)过点P 0,1作直线l交椭圆C于异于M,N的A,B两点，直线AM,BN交于点T求证：点T的纵坐标为定值320.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为6，离心率为13.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B
28、，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1,k2，且3k1+2k2=0,求直线F1M的方程.21.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知：如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0，F1,F2分别是其左、右焦点，j是过椭圆上一点D x0,y0的切线，A,B是直线 j上的两点(不同于点D)求证：F1DA=F2DB(人射角等于反射角)22.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原
29、点，从下焦点 F1射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点F2，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为3，已知椭圆的离心率eb0)，长轴长为4，从一个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且PF=72(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A为该椭圆的左顶点，若斜率为k且不经过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，且满足k k1+k2=2证明：直线l过定点；若 OM|2+ON|2=5，求k的值24.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前 375 年-325
30、年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0)(c0)，由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为8 33c利用椭圆的光学性质解决以下问题：(1)求椭圆C的离心率；(2)点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l,F2在l上的射影H在圆x2+y2=4上，求椭圆C的方程25.(20222022 全国全国 高三专
31、题练习高三专题练习)雨过天晴时，我们常能见到天空的彩红，这种现象是阳光经空气中的水滴反射与折射综合产生的自然现象为研究方便将水滴近似视为一个球体且各光线在球的同一截面大圆内如图1，入射光线l1经折射进入该球体内部，折射光线l2经一次内部反射形成反射光线l3，再折射出球体外得到折射光线l4当 l1l4时，则称为光线l4为虹；如图2，入射光线l1经折射进入该球体内部，折射光线l2经两次内部反射形成反射光线l3，l4再折射出球体外得到折射光线l5，当 l1l5时则称为光线l5为霓图1图2 图3可参考的物理光学反射与折射的知识，有如下定义与规律：III光被镜面反射时，过入射点与镜面垂直的直线称为法线，
32、入射光线与反射光线与法线的夹角分别称为入射角与反射角，则入射角等于反射角；IV从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角折射光线与法线的夹角的正弦之比叫做介质2相对介质1的折射角，即=sinsin设球半径r=1球为某种透光性较高的介质空气相对该介质的折射率为圆弧对光线入射或折射时，其反射镜面为过入射(或反射)点的圆切线，法线为过该点的半径所在直线(1)图3中，入射光线l1经入射点P进入球内得到折射光线l2，过P的圆O切线为l，过点P的半径所在直线为法线，设入射角=3，若球介质的折射率=3，求折射角大小；(2)图1中，设初始入射光线l1的入射角为，球介质的折射率=1.5折射光线l4为虹，求co
33、s；(3)图2中，设初始入射光线l1的入射角为，球介质的折射率=4639，折射光线l5为霓，求cos圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一：仿射变换问题题型一：仿射变换问题题型二：非对称韦达问题题型二：非对称韦达问题题型三：椭圆的光学性质题型三：椭圆的光学性质题型四：双曲线的光学性质题型四：双曲线的光学性质题型五：抛物线的光学性质题型五：抛物线的光学性质【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】一、一、仿射变换问题仿射变换问题仿射变换有如下性质：1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；2、结合性：
34、在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；3、其它不变关系我们以椭圆为例阐述上述性质椭圆x2a2+y2b2=1 ab0，经过仿射变换x=xy=aby，则椭圆变为了圆x2+y2=a2，并且变换过程有如下对应关系：(1)点P x0,y0变为P x0,aby0；(2)直线斜率k变为k=abk，对应直线的斜率比不变；(3)图形面积S变为S=abS，对应图形面积比不变；(4)点、线、面位置不变(平直线还是平直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等)；(5)弦长关系满足ABAB=1+k21+k2，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变总结可得下表：变换前变换后方程x2a2+y2
35、b2=1 ab0 x2+y2=a2横坐标xx纵坐标yy=aby斜率k=yxk=yx=abyx=abk面积S=12xyS=12xy=abS弦长l=1+k2xl=1+k2x=1+a2b2k2x=1+a2b2k21+k2l不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比二、二、非对称韦达问题非对称韦达问题在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中，若 0，设它的两个根分别为 x1,x2，则有根与系数关系：x1+x2=-ba,x1x2=ca，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理 x1-x2,x21+x22,1x1+1x2之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及x1,x2的不同系数的代数式的应算，比如求
36、x1x2,3x1x2+2x1-x22x1x2-x1+x2或x1+x2之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去 x 或 y，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如 x1+2x2,x1y2+x2y1,x1x2或3x1x2+2x1-x22x1x2-x1+x2之类中x1,x2的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”三、三、光学性质问题光学性质问题1.椭圆的光学性质椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点(如图1)【引理【引理1 1】若点A,B在直
37、线 L的同侧，设点是直线 L上到A,B两点距离之和最小的点，当且仅当点 P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点【引理【引理2 2】若点A,B在直线L的两侧，且点A,B到直线的距离不相等，设点P是直线L上到点A,B距离之差最大的点，即 PA-PB最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点【引理【引理 3 3】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1 ab0，F1,F2分别是其左、右焦点，若点 D 在椭圆外，则 DF1+DF22a2.双曲线的光学性质双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点(如图)
38、【引理【引理4 4】若点A,B在直线 L的同侧，设点是直线 L上到A,B两点距离之和最小的点，当且仅当点 P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点【引理【引理5 5】若点A,B在直线L的两侧，且点A,B到直线的距离不相等，设点P是直线L上到点A,B距离之差最大的点，即 PA-PB最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB的延长线和直线L的交点【引理【引理 6 6】设双曲线方程为x2a2-y2b2=1 a0,b0，F1,F2分别是其左、右焦点，若点 D在双曲线外(左、右两支中间部分，如图)，则DF1-DF20，F 0,p2为其焦点，j是过抛物线上一点D x0,y0
39、的切线，A,B是直线 j上的两点(不同于点D)，直线DC平行于y轴求证：FDA=CDB(入射角等于反射角)【结论【结论2 2】已知：如图，抛物线C:y2=2px p0，F是抛物线的焦点，入射光线从F点发出射到抛物线上的点M，求证：反射光线平行于x轴【典例例题】【典例例题】题型一：仿射变换问题题型一：仿射变换问题例例1.1.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)MN是椭圆x2a2+y2b2=1 ab0上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则kMNkOP=_，A，B是该椭圆的左右顶点，Q是椭圆上不与A，B重合的点，则 kAQ kBQ=_ CD 是该椭圆过原点 O 的
40、一条弦，直线 CQ，DQ 斜率均存在，则kCQkDQ=_【答案】-b2a2-b2a2-b2a2【解析】作变换x=xy=aby，那么椭圆变为圆，方程为：x2+y2=a2，P是MN中点，那么kMNkOP=-1，kMNkOP=bakMNbakOP=b2a2kMNkOP=-b2a2，AB是圆的左右顶点即直径，那么AQBQkAQkBQ=-1，kAQkBQ=bakAQbakBQ=b2a2kAQkBQ=-b2a2，CD是过圆心O的一条弦即直径，那么CQDQkCQkDQ=-1，kCQkDQ=bakCQbakDQ=b2a2kCQkDQ=-b2a2例例2.2.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习
41、)如图，作斜率为12的直线 l 与椭圆x24+y2=1 交于 P,Q 两点，且M2,22在直线 l 的上方，则 MPQ 内切圆的圆心所在的定直线方程为_【答案】x=2【解析】如图，作仿射变换：x=2xy=y，椭圆变为x2+y2=1，直线PQ的斜率12变为直线PQ的斜率1，M2,22变为M22,22kONkPQ=-1,ONPQ，由垂径定理MN平分PMQ，其方程为x=1，MN平分PMQ，MPQ内切圆的圆心所在的定直线方程为x=2故答案为：x=2例例3.3.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)是椭圆x24+y23=1上任意一点，O为坐标原点，PO=2OQ，过点Q的直线交椭圆于A，
42、B两点，并且QA=QB，则PAB面积为_【答案】92【解析】作变换x=xy=32y 之后椭圆变为圆，方程为x2+y2=4，PO=2OQAQ=BQ,O 是PAB的重心，又O是PAB的外心PAB是等边三角形，SPAB=343R2=3 3SPAB=32SPAB=92故答案为：92变式变式1.1.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知直线l与椭圆x24+y22=1交于M，N两点，当kOMkON=_，MON面积最大，并且最大值为 _.记M(x1,y1),N(x2,y2)，当MON面积最大时，x21+x22=_y21+y22=_.是椭圆上一点，OP=OM+ON，当MON面积最大时，2
43、+2=_.【答案】-122 4 2 1【解析】作变换x=xy=2x 此时椭圆变为圆，方程为x2+y2=4，当OMON时，SMON=12OMONsinMON最大，并且最大为1222=2，此时kOMkON=12kOM12kON=12kOMkON=-12，SMON=12SMON=2.由于OMON，OM=ON,x1=y2y1=x2，x21+x22=x21+x22=x21+y21=4，y21+y22=y122+y222=y21+y222=x22+y222=2，因为OP=OM+ON，所以 OP 2=2OM 2+2ON 2+2OM ON 4=4 2+2,2+2=1.故答案为：-12；2；4；2；1.变式变式
44、2.2.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆C:x22+y2=1左顶点为A，P,Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ 于 E，直线 QO 交 AP 于 D，直线 OP,OQ 的斜率分别为 k1,k2且 k1k2=-12，AD=DF,AE=EQ(,是非零实数)，求2+2=_.【答案】1【解析】解法1：可得点A-2,0，设P x1,y1,D x0,y0，则y1=k1x1,y0=k2x0，由AD=DP 可得x0+2=x1-x0,y0=y1-y0，即有x0=x1-21+,y1=1+y0，k1x1=y1，1+y0=1+k2x0=k2x1-2，两边同乘以k1，可得k21x1=k1
45、k2x1-2=-12x1-2，解得x1=2 1+2k21,y1=2 1+2k21k1，将P x1,y1代入椭圆方程可得2=11+2k21，由AE=EQ 可得2=11+2k22=2k1+2k21，可得2+2=1；故答案为：1解法2：作变换x=xy=2y 之后椭圆变为圆，方程为x2+y2=2，kQPkOQ=2kOP2kOQ=2kOPkOQ=-1OPOQ，设PAO=,QAO=，则+=PAQ=12PAQ=4，DP=Rcos,EQ=Rcos,AP=2Rcos,AQ=2Rcos，=ADDP=ADDP=AP-DPDP=2cos2-1=cos2，=AEEQ=AEEQ=AQ-EQEQ=2cos2-1=cos2，
46、2+2=cos22+cos2=cos22+cos22-2=cos22+sin22=1.故答案为：1题型二：非对称韦达问题题型二：非对称韦达问题例例4.4.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点是F1、F2，左右顶点是A1、A2，离心率是22，过F2的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且F1PQ的周长是4 2，直线A1P与A2Q交于点M.(1)求椭圆的方程；(2)()求证直线A1P与A2Q交点M在一条定直线l上；()N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：PF2PN是定值【解析】(1)设椭圆的焦距是2c，据题意
47、有：ca=224a=4 2，a=2，c=1，则b=1，所以椭圆的方程是x22+y2=1.(2)()由(1)知A1-2,0，A22,0，F21,0，设直线PQ的方程是x=my+1，代入椭圆方程得：m2+2y2+2my-1=0，易知=4m2+4 m2+2=8m2+80，设P x1,y1，Q x2,y2，y1y2，则y1+y2=-2mm2+2y1y2=-1m2+1 y2-y1=-y1+y22-4y1y2=-2 2m2+2m2+2，直线A1P的方程是：y=y1x1+2x+2，直线A2P的方程是：y=y2x2-2x-2，设M x,y，既满足也满足，则x=2 x2y1+x1y2+2 y2-y1x1y2-x
48、2y1+2 y2+y1=2 2my1y2+y1+y2+2 y2-y12 y1+y2+y2-y1=2-2mm2+2-2mm2+2-2 2 2m2+2m2+2-2 2mm2+2-2 2m2+2m2+2=2 4m+2 2 2m2+22 2m+2 2m2+2=2，故直线A1P与A2P交点M在一条定直线l：x=2上.()设N 2,t，P x1,y1，x1-2,2，则 PN=2-x1，PF2PN=x1-12+y212-x1=x1-12+1-x222-x1=12x1-222-x1=22.例例5.5.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为1
49、2，短轴长为2 3(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P 4,0且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q证明：点Q在定直线上【解析】(1)因为椭圆的离心率12，ca=12，a=2c，又2b=2 3，b=3因为b2=a2-c2=3c2=3，所以c=1，a=2，所以椭圆C的方程为x24+y23=1(2)解法一：设直线MN:x=ty+4，M x1,y1，N x2,y2，x=ty+4x24+y23=1，可得 3t2+4y2+24ty+36=0，所以y1+y2=-24t3t2+4y1y2=363t2+4 直线AM的方程：y=y1x1+2x+2直
50、线BN的方程：y=y2x2-2x-2由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，联立可得x=2ty1y2+6y2+2y13y2-y1因为y1+y2y1y2=-23t，所以x=2ty1y2+6y2+2y13y2-y1=-3 y1+y2+6y2+2y13y2-y1=1所以点Q在直线x=1上解法二：设M x1,y1，N x2,y2，Q x3,y3，x1,x2,x3两两不等，因为P，M，N三点共线，所以y1x1-4=y2x2-4y21x1-42=y22x2-423 1-x214x1-42=3 1-x224x2-42，整理得：2x1x2-5 x1+x2+8=0又A，M，Q三点共线，有：y3x3+2=y1x1