《2023届高三数学专项复习圆锥曲线中的面积问题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高三数学专项复习圆锥曲线中的面积问题含答案.pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届高三数学专项复习圆锥曲线中的面积问题2023届高三数学专项复习圆锥曲线中的面积问题一、考情分析一、考情分析圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题，有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形面积问题，求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量，如动直线的斜率或截距表示面积，再利用函数、方程或不等式知识求解.二、解题秘籍(一)利用弦长与点到直线距离计算三角形面积二、解题秘籍(一)利用弦长与点到直线距离计算三角形面积若直线与圆锥曲线交于点 A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示 PAB的面积，一般是先利用弦长公式求出 AB，再利用点到直线距离公式求出点
2、P到直线AB的距离d，则SPAB=12ABd.【例1】【例1】(2023届浙江省名校协作体高三上学期考试)(2023届浙江省名校协作体高三上学期考试)如图，已知双曲线C:x22-y2=1，经过点T 1,1且斜率为k的直线l与C交于A,B两点，与C的渐近线交于M,N两点(从左至右的顺序依次为A,M,N,B)，其中k 0,22.(1)若点T是MN的中点，求k的值；(2)求OBN面积的最小值.(二)三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积(二)三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积若过定点Q的直线与圆锥曲线交于点A
3、，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示 PAB的面积，可先求出点 A，B 到直线 PQ 的距离之和 d，则 SPAB=12PQd，特别的，若 PQ 与 y 轴垂足，SPAB=12PQyA-yB，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.【例2】【例2】(2022 届江苏省扬州市高邮市高三上学期 12 月学情调研)(2022 届江苏省扬州市高邮市高三上学期 12 月学情调研)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0上的点到左、右焦点F1、F2的距离之和为4，且右顶点A到右焦点F2的距离为1.(1)求椭圆C的方程;(2)直线y=kx与椭圆C交于不同的两点M，N，记MNA的面积
4、为S，当S=3时求k的值.(三三)对角线互相垂直的四边形面积的计算对角线互相垂直的四边形面积的计算对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的12.【例【例3 3】(20232023 届山东省青岛市高三上学期调研届山东省青岛市高三上学期调研)在平面直角坐标系 Oxy 中，动圆 P 与圆 C1:x2+y2+2x-454=0内切，且与圆C2:x2+y2-2x+34=0外切，记动圆P的圆心的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)不过圆心C2且与x轴垂直的直线交轨迹E于A,M两个不同的点，连接AC2交轨迹E于点B.(i)若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；(ii)若过圆心C1的直线交轨迹E
5、于D,G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值.(四四)把四边形分割成两个三角形求面积把四边形分割成两个三角形求面积如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加【例【例4 4】(20232023届届THUSSATTHUSSAT中学生标准学术能力高三中学生标准学术能力高三9 9月测试月测试)已知A、B分别为椭圆：x2a2+y2=1 a1)的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内(1)若AFB=3，求椭圆的标准方程；(2)若a=2，且CAAD，CBBD，求四边形CA
6、DB面积S的最大值(五五)利用函数性质求面积最值或范围利用函数性质求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示，此时可把面积看作关于该变量的函数，若函数的单调性容易确定，可利用函数单调性求面积最值或范围.【例【例5 5】(20232023届河南省名校联盟届河南省名校联盟2 2高三上学期联考高三上学期联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，左右焦点分别为F1,F2,M,N是椭圆上关于原点对称的两点，F1M+F1N=4.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆左顶点为A，上顶点为B，直线lAB且交椭圆于P，Q，求PQB的面积最大时，l的方程.(六六)利用均值不等
7、式求面积最值或范围利用均值不等式求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式，若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或乘积为定值的式子，可考虑利用均值不等式求最值或范围.【例【例6 6】(20222022 届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断)已知抛物线 T:y2=2px p0，点 F 为其焦点，点 M、N在抛物线上，且直线MN过点G-p2,0，FM=2 FN=6.(1)求抛物线T的方程；(2)过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求FPQ面积的最小值.三、三、跟踪检测跟踪检测1.(
8、20232023届江苏省南通市如皋市高三上学期调研届江苏省南通市如皋市高三上学期调研)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a1)上，直线l交C于P，Q 两点，直线AP，AQ 的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tanPAQ=2 2，求PAQ的面积.2.(20232023 届上海市松江二中高三上学期月考届上海市松江二中高三上学期月考)如图，已知 A x1,y1、B x2,y2为抛物线：y=14x2的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线在点A、B处的切线相交于P x0,y0.(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x1、x0、x2成等差数列，y1、y0、y2
9、成等比数列；(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及PAB面积的最小值.3.(20232023届浙江省嘉兴市高三上学期届浙江省嘉兴市高三上学期 9 9月测试月测试)已知椭圆C:x24+y2b2=1 0bb0，F1，F2是椭圆 的左、右焦点，点A 1,32在椭圆上，点P 4,0在椭圆外，且 PF2=4-3(1)求椭圆的方程；(2)若B 1,-32，点C为椭圆上横坐标大于1的一点，过点C的直线l与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA，PB交于M，N两点，O为坐标原点，记OMN，PMN的面积分别为S1，S2，求S21-S1S2+S22的最小值5.(20232023届广东省潮阳实验、湛江一中、
10、深圳实验三校高三上学期联考届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，椭圆上一动点P与左右焦点构成的三角形面积最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左右顶点分别为A,B，直线PQ交椭圆C于P,Q两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，已知k1=3k2.求证：直线PQ恒过定点；设APQ和BPQ的面积分别为S1,S2，求 S1-S2的最大值.6.(20232023届重庆市第一中学校高三上学期届重庆市第一中学校高三上学期9 9月月考月月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点3,12，其右焦
11、点为F3,0.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点P,Q在椭圆C上，右顶点为A，且满足直线AP与AQ的斜率之积为120.求APQ面积的最大值.7.(20232023届山东省济南市高三上学期届山东省济南市高三上学期9 9月考试月考试)已知点F是抛物线C:x2=4y与椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)的公共焦点，椭圆上的点M到点F的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M作C的两条切线，记切点分别为A,B，求MAB面积的最大值.8.(20232023届河北省廊坊市三河市高三上学期段考届河北省廊坊市三河市高三上学期段考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，且C的左、右焦
12、点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8 3(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l:x-my-1=0与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求MNQ面积的最大值9.(20232023 届河南省部分学校高三上学期届河南省部分学校高三上学期 9 9 月联考月联考)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0的左焦点为F1-1,0，上、下顶点分别为A，B，AF1B=90(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆上有三点P，Q，M满足OM=OP+OQ，证明：四边形OPMQ的面积为定值10.(20222022 届河南省高三上学期联考届河南省高三上学期联考)已知椭圆
13、E:x2a2+y2b2=1 ab0的离心率为12，且椭圆 E 经过点1,32，过右焦点F作两条互相垂直的弦AB和CD(1)求椭圆E的方程；(2)当四边形ACBD的面积取得最小值时，求弦AB所在直线的方程11.(20222022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛)顺次连接椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的四个顶点，得到的四边形的面积为8 2，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为22的直线.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点A(-4,0)的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段EF上，若|AE|AF|=|BE|BF|，求OAB(
14、O为坐标原点)面积的取值范围.12.(20222022届广西“智桂杯”高三上学期联考届广西“智桂杯”高三上学期联考)如图，已知抛物线：C:x2=y，M 0,1，N 0,-1，过点M垂直于y轴的垂线与抛物线C交于B，C，点D，E满足CE=CN，ND=NB 01的离心率为32，F1，F2是C的左、右焦点，P是C上在第一象限内的一点，F1关于直线PF2对称的点为M，F2关于直线PF1对称的点为N(1)证明：MN4；(2)设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线y=kx k0与椭圆C相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的取值范围14.(20222022 届宁夏石嘴山市高三上学期月考届宁夏石嘴山市高三上
15、学期月考)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 ab0的左焦点为 F，离心率为12，过点F且垂直于x轴的直线交C于A,B两点，AB=3(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l过点M-4,0且与椭圆相交于A，B两点，求ABF面积最大值及此时直线l的斜率.15.已知抛物线C:y2=2px p0的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当lx轴时，AB=2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q.是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.求证：SQAFSQB
16、F为定值.圆锥曲线中的面积问题圆锥曲线中的面积问题一、一、考情分析考情分析圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题，有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形面积问题，求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量，如动直线的斜率或截距表示面积，再利用函数、方程或不等式知识求解.二、二、解题秘籍解题秘籍(一一)利用弦长与点到直线距离计算三角形面积利用弦长与点到直线距离计算三角形面积若直线与圆锥曲线交于点 A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示 PAB的面积，一般是先利用弦长公式求出 AB，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离d，则SPAB=12ABd.
17、【例【例1 1】(20232023届浙江省名校协作体高三上学期考试届浙江省名校协作体高三上学期考试)如图，已知双曲线C:x22-y2=1，经过点T 1,1且斜率为k的直线l与C交于A,B两点，与C的渐近线交于M,N两点(从左至右的顺序依次为A,M,N,B)，其中k 0,22.(1)若点T是MN的中点，求k的值；(2)求OBN面积的最小值.【解析】设A x1,y1,B x2,y2联立直线l与双曲线方程y=k x-1+1x22-y2=0，消去y得 1-2k2x2-4k 1-kx-2(1-k)2=0，由韦达定理可知，x1+x2=4k-4k21-2k2,x1x2=-2 1-k21-2k2联立直线l与其
18、中一条渐近线方程y=k x-1+1y=22x，解得x=1-k22-k即xN=1-k22-k，同理可得xM=k-122+k，则xM+xN=4k-4k21-2k2=x1+x2，则可知AB的中点与MN中点重合.由于T 1,1是MN的中点，所以4k 1-k1-2k2=2，解得k=12；(2)y=k x-1+1与x22-y2=1联立，消去y得1-2k2x2-4k 1-kx-2(1-k)2-2=0由(1)知，BN=AM=AB-MN2.或SOBN=12SOAB-SOMN由于 AB=1+k22 2(1-k)2+1-2k21-2k2,MN=1+k22 2(1-k)21-2k2，所以 BN=1+k22(1-k)2
19、+1-2k2-(1-k)21-2k2，又O到直线的距离d=1-k1+k2，所以SOBN=12BNd=221-k(1-k)2+1-2k2-(1-k)21-2k2=221-k(1-k)2+1-2k2+(1-k)2整理得SOBN=2211+1-2k2(1-k)2+1，令t=1-k 1-22,1，则1-2k2(1-k)2=-2t2+4t-1t2=-1t2+4t-2，当1t=2，即k=12时，1-2k2(1-k)2的最大值为2，所以SOBN的最小值为6-24.(二二)三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分
20、为两个小三角形分别计算面积若过定点Q的直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示 PAB的面积，可先求出点 A，B 到直线 PQ 的距离之和 d，则 SPAB=12PQd，特别的，若 PQ 与 y 轴垂足，SPAB=12PQyA-yB，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.【例【例2 2】(20222022 届江苏省扬州市高邮市高三上学期届江苏省扬州市高邮市高三上学期 1212 月学情调研月学情调研)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0上的点到左、右焦点F1、F2的距离之和为4，且右顶点A到右焦点F2的距离为1.(1)求椭圆C的方程;(2)直线y
21、=kx与椭圆C交于不同的两点M，N，记MNA的面积为S，当S=3时求k的值.【解析】(1)由题意2a=4，a=2，因为右顶点A到右焦点F2的距离为1，即a-c=1，所以c=1，则b=a2-c2=3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)设M x1,y1，N x2,y2，且 OA=2根据椭圆的对称性得SAMN=12OA y1+12OA y2=12OA y2-y1=y2-y1，联立方程组y=kxx24+y23=1，整理得3k2+4y2=12，解得y=12k24k2+3，因为AMN的面积为3，可得|y1-y2|=212k24k2+3=3，解得k=32.(三三)对角线互相垂直的四边形面积的计
22、算对角线互相垂直的四边形面积的计算对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的12.【例【例3 3】(20232023 届山东省青岛市高三上学期调研届山东省青岛市高三上学期调研)在平面直角坐标系 Oxy 中，动圆 P 与圆 C1:x2+y2+2x-454=0内切，且与圆C2:x2+y2-2x+34=0外切，记动圆P的圆心的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)不过圆心C2且与x轴垂直的直线交轨迹E于A,M两个不同的点，连接AC2交轨迹E于点B.(i)若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；(ii)若过圆心C1的直线交轨迹E于D,G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值.
23、【解析】(1)设动圆P的半径为R，圆心P的坐标为 x,y由题意可知：圆C1的圆心为C1-1,0，半径为72；圆C2的圆心为C21,0，半径为12.动圆P与圆C1内切，且与圆C2外切，PC1=72-RPC2=12+R PC1+PC2=4 C1C2=2 动圆P的圆心的轨迹E是以C1,C2为焦点的椭圆，设其方程为：x2a2+y2b2=1(ab0)，其中2a=4,2c=2,a=2,b2=3从而轨迹E的方程为：x24+y23=1(2)(i)设直线AB的方程为y=k x-1k0,A x1,y1,B x2,y2，则M x1,-y1由y=k x-1x24+y23=1 可得：4k2+3x2-8k2x+4k2-1
24、2=0 x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3直线BM的方程为y+y1=y2+y1x2-x1x-x1，令y=0可得N点的横坐标为：xN=x2-x1y2+y1y1+x1=k x2-x1x1-1k x1+x2-2+x1=2x1x2-x1+x2x1+x2-2=24k2-124k2+3-8k24k2+38k24k2+3-2=4N为一个定点，其坐标为 4,0(ii)根据(i)可进一步求得：AB=1+k2x2-x1=1+k2x2+x12-4x1x2=1+k28k24k2+32-44k2-124k2+3=12 k2+14k2+3.ABDG,kDG=-1k，则 DG=12 k2+13k
25、2+4ABDG，四边形ADBG面积S=12AB DG=1212 k2+14k2+312 k2+13k2+4=72 k2+124k2+33k2+4(法一)S=72 k2+124k2+33k2+472 k2+124k2+3+3k2+422=28849等号当且仅当4k2+3=3k2+4时取，即k=1时，Smin=28849(法二)令k2+1=t,k0,t1，则S=72t212t2+t-1=72-1t2+1t+12=72-1t-122+494当1t=12，即k=1时，Smin=28849(四四)把四边形分割成两个三角形求面积把四边形分割成两个三角形求面积如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把
26、该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加【例【例4 4】(20232023届届THUSSATTHUSSAT中学生标准学术能力高三中学生标准学术能力高三9 9月测试月测试)已知A、B分别为椭圆：x2a2+y2=1 a1)的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内(1)若AFB=3，求椭圆的标准方程；(2)若a=2，且CAAD，CBBD，求四边形CADB面积S的最大值【解析】(1)由已知AFB是等边三角形，因为AB=2，AF=a，所以a=2，得椭圆的标准方程为x24+y2=1(2)设C x1,y1，D x2,y2，因为CAAD
27、，CBBD，所以CA AD=0，CB BD=0则A 0,1,B 0,-1,所以CA=-x1,1-y1,AD=x2,y2-1，CB=-x1,-1-y1,BD=x2,y2+1，所以x1x2+y1-1y2-1=0，x1x2+y1+1y2+1=0，两式相减得y2=-y1，带回原式得x1x2+1-y21=0，因为x214+y21=1，所以x2=-x14，SCADB=SCAB+SDAB=x1+x2=1+14x152(当x1=2时取等)所以四边形CADB面积S的最大值为52(五五)利用函数性质求面积最值或范围利用函数性质求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示，此时可把面积看作关于该变
28、量的函数，若函数的单调性容易确定，可利用函数单调性求面积最值或范围.【例【例5 5】(20232023届河南省名校联盟届河南省名校联盟2 2高三上学期联考高三上学期联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，左右焦点分别为F1,F2,M,N是椭圆上关于原点对称的两点，F1M+F1N=4.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆左顶点为A，上顶点为B，直线lAB且交椭圆于P，Q，求PQB的面积最大时，l的方程.【解析】(1)由题意得c2a2=34，化简得3a2=4c2=4 a2-b2，则a2=4b2.根据对称性得 F1M=F2N，故 F2N+F1N=4，即2a=4，所以a2=4,b
29、2=1，故椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)由(1)得kAB=12，设P x1,y1,Q x2,y2，l的方程为y=12x+t(t1)，代入椭圆方程x24+y2=1，整理得x2+2tx+2t2-2=0，则x1+x2=-2t，x1x2=2t2-2,=4t2-4 2t2-20，解得-2 t0，点 F 为其焦点，点 M、N在抛物线上，且直线MN过点G-p2,0，FM=2 FN=6.(1)求抛物线T的方程；(2)过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求FPQ面积的最小值.【解析】(1)过点M、N分别作抛物线T的准线l的垂线，垂足分别为M
30、1、N1，易知 MM1=MF，NN1=NF，因为 FM=2 FN，则 MM1=2 NN1，则点N为MG的中点，连接ON，则ON为FGM的中位线，所以，FM=2 ON=2 NF，则 ON=NF，所以，点N在线段OF的垂直平分线上，则点N的横坐标为p4，FN=p2+p4=3，解得p=4，所以，抛物线T的标准方程为y2=8x.(2)因为F 2,0，若直线AB、CD分别与两坐标轴垂直，则直线AB、CD中有一条与抛物线只有一个交点，不合乎题意.所以，直线AB、CD的斜率均存在且不为0，设直线AB的斜率为k k0，则直线AB的方程为y=k x-2，联立y2=8xy=k x-2，得ky2-8y-16k=0，
31、则=64+64k20，设A x1,y1、B x2,y2，则y1+y2=8k，设P xP,yP，则yP=y1+y22=4k，则xP=yPk+2=4k2+2，所以P4k2+2,4k，同理可得Q 4k2+2,-4k，故 QF=4k2+2-22+-4k2=16k4+16k2=4 k21+k2，PF=16k4+16k2=4 1+k2k2，因为PFQF，所以SFPQ=12PF QF=124 k21+k24 1+k2k2=8 1+k2k=8k+1k82k1k=16，当且仅当 k=1k，即k=1时等号成立，故FPQ面积的最小值为16.三、三、跟踪检测跟踪检测1.(20232023届江苏省南通市如皋市高三上学期
32、调研届江苏省南通市如皋市高三上学期调研)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a1)上，直线l交C于P，Q 两点，直线AP，AQ 的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tanPAQ=2 2，求PAQ的面积.【解析】(1)将点A(2,1)代入x2a2-y2a2-1=1中，得4a2-1a2-1=1，即a4-4a2+4=0，解得a2=2，故双曲线方程为x22-y2=1；由题意知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线x22-y2=1得：(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0，需满足2k2-10,=8(m2+1-2k2
33、)0，故x1+x2=-4km2k2-1，x1x2=2m2+22k2-1，kAP+kAQ=y1-1x1-2+y2-1x2-2=kx1+m-1x1-2+kx2+m-1x2-2=0，化简得：2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0，故2k(2m2+2)2k2-1+(m-1-2k)-4km2k2-1-4(m-1)=0，即2k2+(m+1)k+m-1=0，即(k+1)(m+2k-1)=0，由题意可知直线l不过A点，即m+2k-10，故l的斜率k=-1.(2)设直线AP的倾斜角为，由tanPAQ=2 2，2tanPAQ21-tan2PAQ2=2 2，得tanPAQ2=22，(负值舍去
34、)，由直线AP，AQ 的斜率之和为0,可知2+PAQ=，即tan-22=22，则tan2-=cossin=22，得kAP=tan=2，即y1-1x1-2=2，联立y1-1x1-2=2，及x212-y21=1得x1=10-4 23，y1=4 2-53，将x1=10-4 23，y1=4 2-53代入l:y=-x+m中，得m=53，故x1+x2=203，x1x2=689，而|AP|=2+1|x1-2|=3|x1-2|，|AQ|=3|x2-2|，由tanPAQ=2 2，得sinPAQ=2 23，故SPAQ=12|AP|AQ|sinPAQ=2|x1x2-2(x1+x2)+4|=2689-2203+4=1
35、6 29.2.(20232023 届上海市松江二中高三上学期月考届上海市松江二中高三上学期月考)如图，已知 A x1,y1、B x2,y2为抛物线：y=14x2的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线在点A、B处的切线相交于P x0,y0.(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x1、x0、x2成等差数列，y1、y0、y2成等比数列；(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及PAB面积的最小值.【解析】(1)抛物线的标准方程为x2=4y,于是焦点坐标为F(0,1),准线方程为y=-1.(2)y=12x,所以lAP:y=12x1x-x1+14x21=12x1x-14x21lBP
36、:y=12x2x-x2+14x22=12x2x-14x22联立y=12x1x-14x21y=12x2x-14x22,得x0=x1+x22,y0=x1x24,而y1=14x21,y2=14x22于是y20=x21x2216=y1y2,即x0=x1+x22,y20=y1y2故x1，x0，x2成等差数列,y1，y0，y2成等比数列(3)由于A,F,B三点共线,设lAB:y=kx+1联立y=kx+1y=14x2,得x2-4kx-4=0.即动点P的轨迹方程为y=-1设AB中点为C,则Cx1+x22,y1+y22,即C 2k,2k2+1SPAB=12|PC|x1-x2=122k2+216k2+16=4 1
37、+k2324当k=0时取等所以PAB面积的最小值为43.(20232023届浙江省嘉兴市高三上学期届浙江省嘉兴市高三上学期 9 9月测试月测试)已知椭圆C:x24+y2b2=1 0b0 x1+x2=-8mb2+4x1x2=4 m2-b2b2+4，由弦长公式得AB=1+k2x1-x2=2-8mb2+42-44 m2-b2b2+4=4 2bb2+4b2+4-m2，所以当m=0时，AB取到最大值，即 ABmax=4 2bb2+4=436，解得b=2所以椭圆C的方程为x24+y22=1(2)设直线l2方程为y=-2x+n，P x3,y3，Q x4,y4，联立直线l2与椭圆方程x24+y22=1y=-2
38、x+n，消去y得9x2-8nx+2n2-4=0，所以=-8n2-49 2n2-40 x3+x4=8n9x3x4=2n2-49，且n-3 2,3 2，记点P，Q到直线l1的距离分别为d1，d2，又d1=x3-y32，d2=x4-y42且 x3-y3x4-y4b0，F1，F2是椭圆 的左、右焦点，点A 1,32在椭圆上，点P 4,0在椭圆外，且 PF2=4-3(1)求椭圆的方程；(2)若B 1,-32，点C为椭圆上横坐标大于1的一点，过点C的直线l与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA，PB交于M，N两点，O为坐标原点，记OMN，PMN的面积分别为S1，S2，求S21-S1S2+S22的最小值【解析
39、】(1)因为点A 1,32在椭圆上，所以1a2+34b2=1，因为点P 4,0在椭圆外，且 PF2=4-3，所以c=3，即a2-b2=c2=3，由解得a2=4，b2=1，故椭圆的方程为x24+y2=1(2)设点M x1,y1，N x2,y2，设直线MN：x=my+t，由椭圆性质以及点C的横坐标大于1可知，t2，将直线MN代入方程x24+y2=1并化简可得，my+t2+4y2-4=0，即 m2+4y2+2mty+t2-4=0，因为直线l与椭圆有且仅有一个交点，所以=4m2t2-4 m2+4t2-4=0，即t2=m2+4直线AP的方程为：x=4-2 3y；直线BP的方程为lBP：x=4+2 3y，
40、联立方程x=my+t,x=4-2 3y,得y1=4-t2 3+m，同理得y2=t-42 3-m，所以y1-y2=4-t-4 3m2-12=4 3t+4，所以S1=12t y1-y2，S2=124-ty1-y2，所以S21-S1S2+S22=14t2y1-y22-t 4-t4y1-y22+14(4-t)2y1-y22=14y1-y22t2-4t+t2+16-8t+t2=1448t+423t2-12t+16=36-48 9t+8t2+8t+16，令9t+8=26，则S21-S1S2+S22=36-4881+282+5697，当且仅当=28，即t=209时，不等式取等号，故当t=209时，S21-S
41、1S2+S22取得最小值975.(20232023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期联考届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，椭圆上一动点P与左右焦点构成的三角形面积最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左右顶点分别为A,B，直线PQ交椭圆C于P,Q两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，已知k1=3k2.求证：直线PQ恒过定点；设APQ和BPQ的面积分别为S1,S2，求 S1-S2的最大值.【解析】(1)由题意ca=32bc=3a2=b2+c2，解得a2=4b2=1，所以椭圆
42、C的方程为x24+y2=1(2)依题意A(-2,0),B(2,0)，设P x1,y1,Q x2,y2，若直线PQ的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有kAP=-kBQ，不合题意所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为x=ty+n(n2)，与椭圆C联立x2+4y2=4x=ty+n，整理得：t2+4y2+2tny+n2-4=0，所以=16 t2+4-n20，且y1+y2=-2tnt2+4,y1y2=n2-4t2+4.因为P x1,y1是椭圆上一点，即x214+y21=1，所以kAPkBP=y1x1+2y1x1-2=y21x21-4=1-x214x21-4=-14，则kAP=-14kBP=3kBQ，即12
43、kBPkBQ=-1因为12kBPkBQ=12y1y2x1-2x2-2=12y1y2ty1+n-2ty2+n-2=12y1y2t2y1y2+t(n-2)y1+y2+(n-2)2=12 n2-4t2+4t2n2-4t2+4-2t2n(n-2)t2+4+(n-2)2=12(n+2)t2(n+2)-2t2n+(n-2)t2+4=3(n+2)n-2=-1，所以n=-1，此时=16 t2+4-n2=16 t2+30，故直线PQ恒过x轴上一定点D-1,0由得：y1+y2=2tt2+4,y1y2=-3t2+4，所以 S1-S2=12 y1-y2 2-1-12 y1-y2-2-1=y1-y2=y1+y22-4y
44、1y2=4 t2+3t2+4=4t2+4-1t2+42=41t2+4-1t2+42=4-1t2+4-122+14，而1t2+4 0,14，当1t2+4=14时 S1-S2的最大值为36.(20232023届重庆市第一中学校高三上学期届重庆市第一中学校高三上学期9 9月月考月月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点3,12，其右焦点为F3,0.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点P,Q在椭圆C上，右顶点为A，且满足直线AP与AQ的斜率之积为120.求APQ面积的最大值.【解析】(1)依题可得，c=33a2+14b2=1a2=b2+c2，解得a=2b=1c=3，所以椭圆C的方程为x2
45、4+y2=1.所以离心率e=32.(2)易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴，故可设PQ:y=kx+m,k0,P x1,y1,Q x2,y2，由x24+y2=1y=kx+m 可得，1+4k2x2+8mkx+4m2-4=0，所以x1+x2=-8mk1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2，=16 4k2+1-m20，而kAPkAQ=120，即y1x1-2y2x2-2=120，化简可得20 kx1+mkx2+m=x1-2x2-2，20k2x1x2+20km(x1+x2)+20m2=x1x2-2(x1+x2)+4，20k24m2-41+4k2+20km-8mk1+4k2+20m2
46、=4m2-41+4k2-2-8mk1+4k2+4化简得6k2+mk-m2=0，所以m=-2k或m=3k，所以直线PQ:y=k x-2或y=k x+3，因为直线PQ不经过点A，所以直线PQ经过定点-3,0.设定点B-3,0,SAPQ=SABP-SABQ=12ABy1-y2=52kx1-x2=52k(x1+x2)2-4x1x2=52k-8km1+4k22-44m2-41+4k2=5 k216 4k2+1-m21+4k2=101-5k2k21+4k2，因为1-5k20，所以0k2b0)的公共焦点，椭圆上的点M到点F的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M作C的两条切线，记切点分别为A,B，求
47、MAB面积的最大值.【解析】(1)抛物线C的焦点为F 0,1，即c=1，椭圆上的点M到点F的最大距离为a+c=3，所以a=2，b2=3，所以椭圆方程为y24+x23=1.(2)抛物线C的方程为x2=4y，即y=x24，对该函数求导得y=x2，设点A x1,y1，B x2,y2，M(x0,y0)，直线MA的方程为y-y1=x12(x-x1)，即y=x1x2-y1，即x1x-2y1-2y=0，同理可知，直线MB的方程为x2x-2y2-2y=0，由于点M为这两条直线的公共点，则x1x0-2y1-2y0=0 x2x0-2y2-2y0=0，所以点A，B的坐标满足方程x0 x-2y-2y0=0，所以直线A
48、B的方程为x0 x-2y-2y0=0，联立x0 x-2y-2y0=0y=x24，可得x2-2x0 x+4y0=0，由韦达定理可得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，所以 AB=1+x022x1+x22-4x1x2=1+x0224x20-16y0=x20+4x20-4y0，点M到直线AB的距离为d=x20-4y0 x20+4，所以SMAB=12ABd=12x20+4x20-4y0 x20-4y0 x20+4=12x20-4y032，因为x20-4y0=3-3y204-4y0=-34y0+832+253，由已知可得-2y02，所以当y0=-2时，MAB面积的最大值为8 2.8.(20232023
49、届河北省廊坊市三河市高三上学期段考届河北省廊坊市三河市高三上学期段考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8 3(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l:x-my-1=0与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求MNQ面积的最大值【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c，则e=ca=32，即c2a2=a2-b2a2=34，所以1-b2a2=34，即a=2b，又C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8 3，所以412bc=8 3，即bc=4 3，综上解得a2=16,b2=
50、4，所以椭圆C的方程为x216+y24=1(2)易得M(1,0)，设P x1,y1,Q x2,y2，则N x1,-y1，联立直线l与椭圆C的方程x=my+1x216+y24=1，得m2+4y2+2my-15=0，则y1+y2=-2mm2+4,y1y2=-15m2+4又SPQN=12 2y1 x2-x1,SPMN=12 2y1 1-x1，易知x2-x1与1-x1同号，所以SMNQ=SPQN-SPMN=y1x2-x1-1-x1=y1x2-x1-1-x1=y1 x2-1=y1 my2=my1y2=15|m|m2+4=15|m|+4|m|152|m|4|m|=154，当且仅当|m|=4|m|，即m=2