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1、数项级数习题课 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望故故,原级数原级数条件收敛条件收敛由由莱布尼兹定理莱布尼兹定理:该交错级数收敛该交错级数收敛,有有设设因此因此,故故,原级数原级数发散发散.例例2 判断级数判断级数 的敛散性的敛散性.解解因因收敛收敛,发散发散,解解而级数而级数收敛收敛,例例3 判断级数判断级数 的敛散性的敛散性.例例4 讨论讨论级数级数 的收敛性的收敛性,其中常数其中常数具有相同的敛散性具有相同的敛散性,时时,级数级数收敛收敛，时时,
2、级数级数发散发散.解解例例5 证明证明利用比值判别法利用比值判别法证证 作作正项级数正项级数由级数由级数收敛的必要条件收敛的必要条件,有有所以正项级数所以正项级数 收敛收敛例例6 试确定级数试确定级数 它收敛于它收敛于 且满足且满足 并问它是绝对收敛还是条件收敛并问它是绝对收敛还是条件收敛?解解 由由 得得所求级数是一个公比为所求级数是一个公比为 的几何级数的几何级数,再由再由得得 故所求级数为故所求级数为 该级数该级数绝对收敛绝对收敛.例例7 设级数设级数 收敛收敛,证明：证明：收敛收敛.证证因因 而正项级数而正项级数 与与 均收敛均收敛.由由正项级数正项级数的比较判别法：的比较判别法：因此
3、因此,绝对收敛绝对收敛,故收敛故收敛.正项级数正项级数 收敛收敛.解解例例8 设设级数级数C级数级数例例9 证明级数证明级数 发散发散.证证因因故故从而从而由级数收敛的必要条件由级数收敛的必要条件,原级数原级数发散发散.一、单项选择题：一、单项选择题：1.若若 收敛收敛,则下列级数收敛的是则下列级数收敛的是 【】C2.若若 发散发散,则下列级数发散的是则下列级数发散的是 【】D练练 习习 题题3.设设 p 为常数为常数,则级数则级数 【】(A)绝对收敛绝对收敛 (B)条件收敛条件收敛 (C)发散发散 (D)收敛性与收敛性与p有关有关4.设设a为非零常数为非零常数,若级数若级数 收敛收敛,则必有【则必有【】BB6.下列下列级数中级数中,条件收敛的是条件收敛的是 【】DC7.下列下列级数中级数中,收敛的是收敛的是 【】解解绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛(A)发散发散(B)绝对收敛绝对收敛(C)条件收敛条件收敛(D)敛散性与敛散性与k有关有关8.设常数设常数 则级数则级数C【】二、判别下列级数的敛散性二、判别下列级数的敛散性:解解1.因因 于是于是 作业P122 2(1)(3)(5)(7)(9)