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1、( (一一) )、函数项级数、函数项级数(1) (1) 定义定义设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数, ,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .(2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域如如果果Ix 0,数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛,第1页/共46页则称则称0 x为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. .函数项级数函数项级数)(1xunn 的
2、所有收敛点的全体称为的所有收敛点的全体称为收敛域收敛域, ,(3) (3) 和函数和函数在收敛域上在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数)(xs, ,称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数. .第2页/共46页(1) (1) 定义定义形如形如nnnxxa)(00 的级数称为的级数称为幂级数幂级数.,00时时当当 x其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.( (二二) )、幂级数、幂级数nnnxa 0第3页/共46页如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .定理定理
3、1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ;(2) (2) 收敛性收敛性第4页/共46页如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能
4、收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论第5页/共46页定义定义: : 正数R称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.定理定理 2 2 如果幂级数如果幂级数 0nnnxa的所有系数的所有系数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;第6页/共46页a.a.代数运算性质: : 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径
5、各为和和设设 (3)(3)幂级数的运算幂级数的运算第7页/共46页乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内第8页/共46页b.b.和函数的分析运算性质: : 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐
6、项积分. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次.第9页/共46页4 4、幂级数展开式、幂级数展开式 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数.nnnxnf 0)(!)0(称为称为)(xf在点在点0 x的的麦克劳林级数麦克劳林级数.(1) 定义定义第10页/共46页定理定理 )(xf在点在点0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)(0 xU 内收内收敛于敛于)(xf在在)(0 xU
7、内内0)(lim xRnn. .(2) 充要条件充要条件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xU 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展开式是唯一的且展开式是唯一的. .第11页/共46页(3) 展开方法展开方法a.a.直接法( (泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收b.b.间接法 根据唯一
8、性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.第12页/共46页),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常见函数展开式常见函数展开式第13页/共46页)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x第14页/共46页(5) 应用应用a.a.近似计算b.b.欧拉公式,sincosxixeix ,2cos
9、ititeet ,2sinieetitit 第15页/共46页(1) (1) 三角函数系三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函数系( (三三) )、傅里叶级数、傅里叶级数), 2 , 1( n其中其中第16页/共46页 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中(2) (2) 傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2n
10、nnnxbnxaa定义定义三角级数第17页/共46页其中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann称为傅里叶级数. 10)sincos(2nnnnxbnxaa第18页/共46页(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) ) 设设)(xf是是以以 2为为周周期期的的周周期期函函数数.如如果果它它满满足足条条件件:在在一一个个周周期期内内连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点,并并且且至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点,则则)(xf的
11、的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛,并并且且(1) 当当x是是)(xf的连续点时的连续点时,级数收敛于级数收敛于)(xf;(2) 当当x是是)(xf的间断点时的间断点时, 收敛于收敛于2)0()0( xfxf;(3) 当当x为端点为端点 x时时,收敛于收敛于2)0()0( ff.第19页/共46页 如果如果)(xf为奇函数为奇函数, 傅氏级数傅氏级数nxbnnsin1 称为称为正弦级数正弦级数.(4) (4) 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数 当当周周期期为为 2的的奇奇函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶 级级数数时时,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 ), 2 , 1(sin)(2),
12、 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann第20页/共46页 当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如果如果)(xf为偶函数为偶函数, 傅氏级数傅氏级数nxaanncos210 称为称为余弦级数余弦级数.第21页/共46页奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxxxfxF令令的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期的延拓周期的延拓第22页/共46页偶延拓偶延拓:
13、0)(0)()(xxfxxfxF令令的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x第23页/共46页式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开的条件的条件满足收敛定理满足收敛定理的周期函数的周期函数设周期为设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的周期函数的傅氏展开的周期函数的傅氏展开周期为周期为 l 2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln第24页/共46页二、典型例题二、典型例题第25页/共46页.)1)(1(0
14、敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数 nnxn例例解解, 1)1)(1(0 Rxnnn敛半径为敛半径为的收的收, 111 x收敛域为收敛域为, 20 x即即则有则有设此级数的和函数为设此级数的和函数为),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs两边逐项积分第26页/共46页 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求导，得求导，得两边再对两边再对 x)21()( xxxs.)2(12x 第27页/共46页.1lnarctan)(2克劳林级数克劳林级数展开成麦展开成麦将将xxxxf 例例解解,32)1ln(32 xxx
15、x,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1第28页/共46页 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x第29页/共46页的幂级数的幂级数成成的和函数展开的和函数展开将级数将级数)1()!12(2)1(12111 xnxnnnn例例解解设法用已知展开式来解设法用已知展开式来解的展开式，的展开
16、式，是是分析分析xnxnnnsin)!12()1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x第30页/共46页21sin21cos221cos21sin2 xx 01202)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),(第31页/共46页形形函数，同时画出它的图函数，同时画出它的图写出该级数的和写出该级数的和的正弦级数并在的正弦级数并在为周期为周期内展开成以内展开
17、成以在在将将 2220cosxxx例例解解,cos),(,sincos2), 0(cos)(1进行奇开拓进行奇开拓内对内对必须在必须在周期的正弦级数周期的正弦级数为为内展开成以内展开成以在在要将要将xnxbxxxfnn ),0 ,(cos, 00), 0(cos)(xxxxxxF令令第32页/共46页 0sincos2nxdxxbn 0)1sin()1sin(1dxxnxn1)1(11)1(1111 nnnn mnnnmno2,)1(412,2)1( n, 0 na), 2 , 1 , 0( n第33页/共46页 012sin1xdxb, 0 12)0(.2sin)14(8cosmxmxmmx
18、上级数的和函数为上级数的和函数为在在 22x ),2 ,()0 ,(cos2, 00),2(), 0(,cos)(xxxxxxs第34页/共46页和函数的图形为xyo 2 2第35页/共46页的和的和由此求级数由此求级数为周期的付氏级数，并为周期的付氏级数，并以以内展开成内展开成将函数将函数 1212)11(2)(nnxxxf例例解解,)11(2)(是偶函数是偶函数 xxxf 100)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn第36页/共46页 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k, 0 nb
19、 122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x), 2 , 1( n第37页/共46页, 0 x取取由上式得 122,)12(14252kk 122,8)12(1kk 121212)2(1)12(11kknkkn而而,141)12(11212 kkkk3481212 nn.62 第38页/共46页时，时，当当证明：证明：624cos2212 xxnnxxn例例解解,24)(2xxxf 设设上展开成余弦级数：上展开成余弦级数：在在将将, 0)( xf 020)24(2dxxxa)412(233 ,33 02cos)24(2nxdxx
20、xan第39页/共46页sin)22(sin)24(2002nxdxxnxxxn nxdxncos)22(202 222 n.12n )0(cos6241222 xnnxxxn故故624cos2212 xxnnxn第40页/共46页选选 择择 题题C第41页/共46页D第42页/共46页A第43页/共46页则此则此处收敛处收敛在在设幂级数设幂级数,1)1(1 xxannn).(2处处级级数数在在 xB4 4A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D.收敛性不能确定第44页/共46页5.设函数2( )(01)f xxx1( )sin,nnS xbn xx 102( )sin,1,2,3,nbf xn xdx n ,而其中则1()()2S 1111( );( ) ;( );() .2442ABCDC第45页/共46页感谢您的观看！第46页/共46页