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1、1 1、常数项级数、常数项级数收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:习题课习题课 常数项级数审敛常数项级数审敛一、主要内容一、主要内容常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法(1)(1)比较审敛法比较审敛法(2)(2)比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式是同阶无穷小是同
2、阶无穷小特别特别 （等价无穷小）（等价无穷小）3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法Leibniz定理定理绝对收敛，条件收敛绝对收敛，条件收敛附：附：正项级数与任意项级数审敛程序正项级数与任意项级数审敛程序发散发散NYYNN改改用用它它法法Y收敛收敛收敛收敛发散发散收敛收敛发散发散N 发散发散YY 收敛收敛N用检比用检比 法法用比较法用比较法用用L准则或考察部分和准则或考察部分和NNY条条件件收收敛敛例例1求极限求极限解解考察正项级数考察正项级数由检比法由检比法收敛收敛由级数收敛的必要条件得由级数收敛的必要条件得二、典型例题二、典型例题
3、例例2 设设 试证试证 发散发散证证不妨设不妨设 a 0 由极限保号性知由极限保号性知由于由于故由比较法的极限形式得故由比较法的极限形式得 发散发散例例3 若若 都发散都发散 则则A 必发散必发散B必发散必发散C必发散必发散D以上说法都不对以上说法都不对例例3 3解解根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散解解从而有从而有原级数收敛；原级数收敛；原级数发散；原级数发散；原级数也发散原级数也发散例例4 4解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛都收敛都收敛 且且
4、例例5 设设 试证试证 收敛收敛证证由由 知知因因都收敛都收敛 故正项级数故正项级数收敛收敛再由比较审敛法知再由比较审敛法知 正项级数正项级数收敛收敛而而即即可表为两个收敛级数可表为两个收敛级数之和之和故故收敛收敛例例6 设设 且且若若收敛收敛 则则也收敛也收敛证证由题设知由题设知而而 收敛收敛由比较法得由比较法得收敛收敛Cauchy积分审敛法积分审敛法设设 单调减少单调减少则则与与 同敛散同敛散例例7 证证由由 f(x)单调减少知单调减少知即即故故与与 同敛散同敛散例例8 设设是单调增加且有界的正数数列是单调增加且有界的正数数列试证明试证明 收敛收敛证证记记则则且且而正项级数而正项级数的部分
5、和的部分和又又单调增加且有界单调增加且有界故由单调有界原理知故由单调有界原理知 存在存在即即收敛收敛进而进而收敛收敛由比较法得由比较法得收敛收敛设正数数列设正数数列 单调减少，级数单调减少，级数发散发散考察考察的敛散性的敛散性证证 记记由由 单调减少单调减少故由单调有界原理知故由单调有界原理知 存在存在且且若若由由Leibniz审敛法得审敛法得 交错级数交错级数收敛收敛 与题设矛盾与题设矛盾由检根法知由检根法知 收敛收敛 例例9 已知已知证明证明 由由知知对对有有证证例例10而而收敛收敛故由比较法知故由比较法知收敛收敛 由由知知有有而而发散发散故由比较法知故由比较法知发散发散如如但但 讨论讨论
6、的敛散性的敛散性解解对级数对级数收敛收敛绝对收敛绝对收敛发散发散发散发散分情况说明分情况说明例例11 级数成为级数成为收敛收敛发散发散级数成为级数成为绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛例例12 对对的值，研究一般项为的值，研究一般项为的级数的敛散性的级数的敛散性解解由于当由于当 n 充分大时，充分大时，定号定号故级数从某一项以后可视为交错级数故级数从某一项以后可视为交错级数总有总有级数发散级数发散非增地趋于非增地趋于 0 由由Leibniz审敛法知审敛法知 收敛收敛但但 而而发散发散故由比较法的极限形式故由比较法的极限形式发散发散 条件收敛条件收敛级数显然收敛级数显然收敛 正项级数正项级数 由级
7、数收敛的必要条件要使由级数收敛的必要条件要使 收敛必须收敛必须 但在一般项趋于但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的级数中为什么有的收敛有的却发散，的却发散，因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则更能说明问题的实质，使用起来也更有效更能说明问题的实质，使用起来也更有效的的阶阶问题的实质是级数收敛与否取决于问题的实质是级数收敛与否取决于关于常数项级数审敛关于常数项级数审敛和和作为作为变化快慢变化快慢得到检比法和检根法，检比法得到检比法和检根法，检比法和检根法的实质是把所论级数
8、与某一几何级数和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失失效效”的情况。的情况。这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项级数的敛散性判定级数的敛散性判定注注比较法、比较法的极限形式、检比法、比较法、比较法的极限形式、检比法、检根法、积分审敛法，只能对检根法、积分审敛法，只能对正项级数正项级数方方可使用可使用的一种估计的一种估计检比法、检根法只是检比法、检根法只是充分条件充分条件而非必要条件而非必要条件L准则也是准则也是充分条件充分条件而非必要条件而非必要条件通项中含通项中含 等常用等常用检比检比法法通项中含通项中含 有以有以 n 为指数幂的因子时为指数幂的因子时 常用常用检根检根法法使用比较法的极限形式时，关键在于找出与使用比较法的极限形式时，关键在于找出与同阶或同阶或 等价的无穷小等价的无穷小如如记记则则当所讨论的级数中含有当所讨论的级数中含有参数参数时，一般都要时，一般都要对参数的取值加以讨论对参数的取值加以讨论