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1、第十六讲数列求和第十六讲数列求和2021/8/8 星期日1共 57 页2021/8/8 星期日2共 57 页3(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法4常见的拆项公式有：2021/8/8 星期日3共 57 页(6)Cnm1Cn1mCnm；(7)nn！(n1)！n！；(8)anSnSn1(n2)2021/8/8 星期日4共 57 页答案：B2021/8/8 星期日5共
2、57 页2设数列1，(12)，(12222n1)，的前n项和为Sn，则Sn的值为()A2n B2nnC2n1n D2n1n2解析：解法一：特殊值法，易知S11，S24，只有选项D适合，故选D.解法二：研究通项an12222n12n1，Sn(211)(221)(2n1)(21222n)n2n1n2.答案：D2021/8/8 星期日6共 57 页2021/8/8 星期日7共 57 页答案：B2021/8/8 星期日8共 57 页2021/8/8 星期日9共 57 页答案：B2021/8/8 星期日10共 57 页2021/8/8 星期日11共 57 页2021/8/8 星期日12共 57 页202
3、1/8/8 星期日13共 57 页2021/8/8 星期日14共 57 页2021/8/8 星期日15共 57 页2021/8/8 星期日16共 57 页2021/8/8 星期日17共 57 页【典例1】已知数列an是首项为a14，公比为q1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，2a3成等差数列(1)求公比q；(2)设AnS1S2Sn，求An.解析(1)依题意有2a54a12a3，即2a1q44a12a1q2，整理得q4q220，解得q21或q22(舍去)由于q1，所以q1.2021/8/8 星期日18共 57 页点评对于等差数列和等比数列的求和问题，可直接套用它们的前n项和公式进行求
4、解值得注意的是，在等比数列中，其前n项和公式需对公比q的取值进行分类讨论，当q1时，不能直接套用公式，尤其是当公比q是参数时，应对其分q1和q1两种情况进行讨论2021/8/8 星期日19共 57 页类型二倒序相加法求和解题准备：将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列对应相加时，如果有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和，它是等差数列求和公式的推广2021/8/8 星期日20共 57 页2021/8/8 星期日21共 57 页点评此题实际上是运用了倒序相加法求得所给函数值的和，由此可以看出，熟练掌握重要的定义、公式的推导过程是非常重要的，它有助于同学们理解各
5、种解题方法，强化思维过程的训练当数列an满足akank常数时，可用倒序相加法求数列an的前n项和2021/8/8 星期日22共 57 页类型三错位相减法求和解题准备：1.若数列an是等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn，当求该数列前n项和时，常常采用将anbn的各项乘公比，并向后错一项与anbn的同项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这样求和的方法称为错位相减法2错位相减法是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，也是数列求和中经常用到的一种方法2021/8/8 星期日23共 57 页【典例3】求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和
6、，其中a0.2021/8/8 星期日24共 57 页点评利用错位相减法求和的步骤是：在等式两边同乘等比数列bn的公比；将两个等式错位相减；利用等比数列前n项和公式求和2021/8/8 星期日25共 57 页类型四裂项相消法求和解题准备：1.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，其实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的2021/8/8 星期日26共 57 页2021/8/8 星期日27共 57 页2021/8/8 星期日28共 57 页2021/8/8 星期日29共 57 页点评使用裂项相消法时，消去了哪些项，保留了哪些项是否注意到由于数列an
7、中每一项an均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点2021/8/8 星期日30共 57 页类型五分组转化法求和解题准备：1.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但若把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，就能转化为等差数列或等比数列从而可以利用等差、等比数列的求和公式解决这种求和方法叫分组转化法2此类问题求解的关键是要分析研究数列的通项公式2021/8/8 星期日31共 57 页2021/8/8 星期日32共 57 页点评本题容易忽视对x1和x1的讨论事实上，当构成等比数列的各项含有参数时，一定要对公比是否为1进行讨论 2021/8/8 星期日33共 57 页快速解题技法求下列n2个正整数之和：123n234n1345n2nn1n22n12021/8/8 星期日34共 57 页2021/8/8 星期日35共 57 页2021/8/8 星期日36