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1、因式分解的提高讲座 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、双十字相乘法一、双十字相乘法：用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx例题1分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3例题
2、讲解：解解:原式=(x+2y-3)(2x-11y+1)例题2分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3例题讲解：解:原式=(x+2y+3)(x+y+1)二、求根法二、求根法：定理定理1(因式定理因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根定理定理2 若即约分数是整系数多项式f(x)=a0 xn+a1xn-1+a2xn-2+an
3、-1x+an的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数例题讲解：例3 分解因式：x3-4x2+6x-4。分析分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：1，2，4，只有f(2)=23-422+62-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2解法解法 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)例题4因式分解：x35x2+9x6。例题讲解：解与分析
4、：以x=1,2,3,6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。解：x=2时，x35x2+9x60，原式有一次因式x-2，x35x2+9x6（x-2)(x2-3x+3）三、待定系数法：在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法例题5因式分解2x2+3x
5、y9y2+14x3y+20。例题讲解：解：解：2 2x x2+32+3xyxy9 9y y2 2（2 2x x3 3y y）(x x+3+3y y),),用待定系数法，用待定系数法，可设可设2 2x x2+32+3xyxy9 9y y2+142+14x x3 3y y+20+20（2 2x x3 3y ya a)()(x x+3+3y yb b），），a a,b b是待定的系数，是待定的系数，比较右边和左边的比较右边和左边的x x和和y y两项两项 的系数，得的系数，得2 2x x2+32+3xyxy9 9y y2+142+14x x3 3y y+20+20（2 2x x3 3y y+4+4）
6、(x x+3+3y y+5)+5)又解：原式又解：原式2 2x x2+(32+(3y y+14)+14)x x(9(9y y2+32+3y y20)20)这是关于这是关于x x的二的二次三项式次三项式常数项可分解为（常数项可分解为（3 3y y4)(34)(3y y+5+5）,用待定系数法，可设用待定系数法，可设2 2x x2+(32+(3y y+14)+14)x x(9(9y y2+32+3y y20)20)mxmx（3 3y y4 4）nxnx+（3 3y y+5+5）比较左、右两边的比较左、右两边的x x2 2和和x x项的系数，得项的系数，得mm=2,=2,n n=1=12 2x x2
7、+32+3xyxy9 9y y2+142+14x x3 3y y+20+20（2 2x x3 3y y+4+4）(x x+3+3y y+5)+5)例题6因式分解2x313x2+3。例题讲解：分析：用最高次项的系数分析：用最高次项的系数2 2的约数的约数11，22分别去除常分别去除常数项数项3 3的约数的约数11，33得商得商11，22，再分别以，再分别以这些商代入原式求值，可知只有当这些商代入原式求值，可知只有当x x=时，原式值为时，原式值为0 0。故可知有因式故可知有因式2 2x x-1-1。解：解：x x=时，时，2 2x x3 31313x x2+32+30 0，原式有一次因式原式有一
8、次因式2 2x x1 1，设设2 2x x3 31313x x2+32+3（2 2x x1)(1)(x x2+2+axax3 3），（），（a a是待是待定系数）定系数）比较右边和左边比较右边和左边x x2 2的系数得的系数得2 2a a1 11313，a a=6 62 2x x3 31313x x+3+3（2 2x x1)(1)(x x2 26 6x x3 3）。）。四、构造法：常用的公式补充:(1)、an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(2)、an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，
9、其中n为偶数；(3)、an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n为奇数例题7因式分解x15+x14+x13+x2+x+1。例题讲解：解解：原式=(x15+x14+x13+x2+x+1)(x-1)(x-1)=(x16-1)(x-1)=(x8+1)(x4+1)(x2+1)(x+1)(x-1)(x-1)=(x8+1)(x4+1)(x2+1)(x+1)(评注:此题是运用公式(1)、an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n为正整数；来进行构造的。)五、换元法：例题例题8 8(1)、分解因式(x x2+2+x
10、x+1)(+1)(x x2+2+x x+2)-12+2)-12;解解：设：设x x2+2+x x+1=y;+1=y;则则原式=y(y+1)-12=y y2+2+y y-12-12=(y+4)(y-3)=(x x2+2+x x+1+4)+1+4)(x x2+2+x x+1-3)=+1-3)=(x x2+2+x x-2)-2)(x x2+2+x x+5)+5)=(x x2+2+x x+5)+5)(x+2)(x-1)(2)、分解因式 x10+x5-2;解解：设：设x x5=y;5=y;则则原式=y2+y-2=(y+2)(y-1)=(x x5+2)(5+2)(x x5-1)5-1)=(x x5+2)(
11、5+2)(x x4+4+x x3+3+x x2+2+x x+1)+1)五、换元法：例题9(1)、分解因式(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2);解解：设：设x2+y2=u,xy=v;=u,xy=v;则则原式=(u+v)2-4uv=u2-2uv+v2=(u+v)2=(x2+y2+xy)2(2)、分解因式(x+3)(x2-1)(x+5)-20.解：原式=(x+3)(x-1)(x+1)(x+5)-20=(x+3)(x+1)(x-1)(x+5)-20=(x2+4x+3)(x2+4x-5)-20;令x2+4x=y,则原式=(y+3)(y-5)-20=y2-2y-35=(y-7)(y+5)=(x2+
12、4x-7)(x2+4x+5).六、拆项添项法：例题10分解因式：x4+x2+1a3+b3+c33abc解：x4+x2+1x4+2x2+1x2=(x2+1)2x2=(x2+1+x)(x2+1x)分析：a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c33abca3+3a2b+3ab2b3+c33abc3a2b3ab2(a+b)3+c33ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2(a+b)c+c23 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)六、拆项添项法：例题11分解因式：x311x+20a5+a+1分析：把中项11x拆成16x+5x 分别与x
13、5,20组成两组，则有公因式可提。（注意16是完全平方数）解：x311x+20 x316x+5x+20 x(x216)+5(x+4)=x(x+4)(x4)+5(x+4)=(x+4)(x24x+5)分析：添上a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1a5a2+a2+a+1=a2(a31)+a2+a+1=a2(a1)(a2+a+1)+a2+a+1=(a2+a+1)(a3a2+1)课后练习题 1用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z22用求根法分解因式：(1)x3+x2-10 x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；3用待定系数法分解因式：(1)、2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)、x3+9x2+26x+24。课后练习题4、用拆项添项法:(1)x3-9x+8;(2)a3b-ab3+a2+b2+1.5、用换元法分解因式：(1)(2)(3)