因式分解的概念.ppt

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1、因式分解的概念现在学习的是第1页，共24页1. .整式乘法有几种形式整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式单项式乘以多项式: a(m+n)=_ (3)多项式乘以多项式多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=_ 2.乘法公式有哪些乘法公式有哪些? (1)平方差公式平方差公式: (a+b)(a-b)=_ (2)完全平方公式完全平方公式: (ab)2=_am+anam+an+bm+bn22ab22a2ab+b复习与回顾复习与回顾现在学习的是第2页，共24页99993 3-99-99能被能被100100整除吗整除吗? ?小明是这样想的小明是这样想的:99

2、3-99=99992-99 1 =99 (992-1) =99 (99+1)(99-1) = 9910098 所以所以, 993-99能被能被100整除整除. .你知道每一步的根据吗你知道每一步的根据吗? ?想一想想一想: 99: 993 3-99-99还能被哪些整数整除还能被哪些整数整除? ?答答：98， 99探究探究现在学习的是第3页，共24页做一做做一做计算下列个式计算下列个式:3x(x-1)= _(m+4)(m-4)= _(y-3)2= _a(a+1)(a-1)= _m(a+b+c) =_根据左面的算式填空根据左面的算式填空: 3x2-3x=_ m2-16=_(3) y2-6y+9=_

3、(4) a3-a=_(5)ma+mb+mc=_3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+9a3-a3x(x-1) m(a+b+c) (m+4)(m-4) (y-3)2 a(a+1)(a-1)思考：左右两边的运算有什么特点思考：左右两边的运算有什么特点?现在学习的是第4页，共24页（1）6 等于等于 2 乘哪个整数？乘哪个整数？623（2）x21等于等于x+1乘哪个多项式？乘哪个多项式？2111xxx 对于多项式对于多项式 ，有多项式，有多项式x1使得使得，我们把，我们把x+1叫作叫作x21的一个的一个因式因式，同理，同理，x1也是也是 x21 的一个的一个因式因式211xx与2111x

4、xx 对于整数对于整数 6 与与 2，有整数，有整数 3 使得使得 623，我们把，我们把2叫作叫作6的一个的一个因数因数同同理，理，3也是也是6的一个因数的一个因数现在学习的是第5页，共24页 一般地，对于两个多项一般地，对于两个多项 f 与与 g，如果有多项式，如果有多项式 h 使得使得 f = gh ，那么我们把，那么我们把 g 叫作叫作 f 的一个的一个因式因式，此时，此时，h 也是也是 f 的一个的一个因式因式在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式把把 写成写成 的形式，叫作把的形式，叫作把 的因式分解的因式分解21x 11x

5、x21x 一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解因式分解为什么要把一个多项式因为什么要把一个多项式因式分解呢？式分解呢？现在学习的是第6页，共24页利用平方差公式，把方程的左边利用平方差公式，把方程的左边 写成写成(x+1)(x1)， 就得到方程就得到方程21x 把把 写成写成 (x+1)(x1)，叫作把，叫作把因式分解因式分解21x 21x (x+1)(x1)0这样就可以求出解了这样就可以求出解了210 x 你会解方程你会解方程吗吗?多项式的因式分解为

6、解决许多问题架起了桥梁多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁现在学习的是第7页，共24页做一做做一做计算下列个式计算下列个式:3x(x-1)= _(m+4)(m-4)= _(y-3)2= _a(a+1)(a-1)= _m(a+b+c) =_根据左面的算式填空根据左面的算式填空: 3x2-3x=_ m2-16=_(3) y2-6y+9=_(4) a3-a=_(5)ma+mb+mc=_3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+9a3-a3x(x-1) m(a+b+c) (m+4)(m-4) (y-3)2 a(a+1)(a-1)现在学习的是第8页，共24页因式分解定义因式分解定义 像上面右

7、边是整式乘法、左边是把一个多项像上面右边是整式乘法、左边是把一个多项式化成式化成几个整式（几个整式（单项式和多项式单项式和多项式）的积）的积的的形式形式, ,这种变形叫做把这个多项式这种变形叫做把这个多项式分解因式分解因式现在学习的是第9页，共24页自学指导思考整式乘法与因式分解之间的关系？整式乘法整式乘法与与因式分解因式分解是是互为逆运算变形过程互为逆运算变形过程. .因式分解有什么特点：因式分解有什么特点：1 1、等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式、等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式2 2、等式右边（即分解结果）不能含独立的加减号、等式右边（即分解结果）不能含独立的加减号3 3、分

8、解到不能再分解为止、分解到不能再分解为止现在学习的是第10页，共24页自学检测自学检测 一一 理解概念理解概念判断下列各式哪些是整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 (4).x2+4x+4=(x+2)2 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 (6).m2-4=(m+4)(m-4) (7).2 R+ 2 r= 2 (R+r)因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式

9、分解现在学习的是第11页，共24页解方程解方程把把式左端的多项式因式分解，得式左端的多项式因式分解，得从从式得式得1010 xx 或即即11xx 或因此方程因此方程的解是的解是11xx 或210 x 110 xx现在学习的是第12页，共24页 同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决本的多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁架起了桥梁 例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程等，常常需要把多项式进行因式分解方程等，常常需要把多项式进行因式分解. .

10、现在学习的是第13页，共24页举举例例 例例1 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么式分解，哪些不是，为什么？（1） a2 + 2ab + b2 = ( (a+b) )2；（2） m2 + m - - 4 = ( (m+3)()(m- -2) )+ 2 .现在学习的是第14页，共24页解解 是是. 因为从左边到右边是把多项式因为从左边到右边是把多项式 a2+2ab+b2表示成了多项式表示成了多项式a+b与与a+b 的积的形式的积的形式.（1） a2 + 2ab + b2 = ( (a+b) )2（2） m2 + m - - 4 = (

11、 (m+3)()(m- -2) )+ 2 .解解 不是不是. 因为因为( (m+3)()( m- -2) )+2不是几个不是几个 多项式乘积的形式多项式乘积的形式.现在学习的是第15页，共24页例例2 检验下列因式分解是否正确检验下列因式分解是否正确. . （1） x2 + xy = x( (x+y) ) ； （2） a2 - - 5a + 6 = ( (a- -2)()(a- -3) ) ； （3） 2m2 - -n2 = ( (2m- -n)()(2m+n) ) .分析分析 检验因式分解是否正确，只检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的

12、多项式是否相等与左边的多项式是否相等.现在学习的是第16页，共24页解解 因为因为( (a- -2)()(a- -3) ) = a2- -5a+6， 所以因式分解所以因式分解a2 - - 5a + 6 = ( (a- -2)()(a- -3) )正确正确.（1） x2 + xy = x( (x+y) )解解 因为因为x( ( x + y ) ) = x2 + xy ， 所以因式分解所以因式分解 x2 + xy = x( (x + y) )正确正确.（2） a2 - - 5a + 6 = ( (a- -2)()(a- -3) ) （3） 2m2 - -n2 = ( (2m- -n)()(2m+n

13、) ) .解解 因为因为( (2m- -n)()(2m+n) )= 4m2- -n22m2- -n2， 所以因式分解所以因式分解2m2- -n2=( (2m- -n)()(2m+n) )不正确不正确.现在学习的是第17页，共24页1. 求求4，6，14 的最大公因数的最大公因数. 答：因为答：因为4=22 6=23 14=27练习练习所以所以最大公因数是最大公因数是2.现在学习的是第18页，共24页2. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解， 哪些不是，为什么哪些不是，为什么？（1） ( (x+1)()(x+2) )= x2+3x+2 ；（2）

14、 2x2y + 4xy2= 2xy( (x+2y) ) ；答：是答：是因式分解因式分解.（3） x2- -2 =( (x+1)()( x- -1) )- -1 ；（4） 4a2- -4a+1=( (2a- -1) )2 .答：是答：是因式分解因式分解.解解 不是不是. 因为因为x2 +3x+2不是几个多项式乘积的形式不是几个多项式乘积的形式.解解 不是不是. 因为因为( (x+1)()(x- -1) )- -1不是几个多项式乘积的形式不是几个多项式乘积的形式.现在学习的是第19页，共24页3. 检验下列因式分解是否正确检验下列因式分解是否正确.（1） - -2a2 + 4a = - -2a(

15、(a+2) ) ；（2） x3+ x2+ x = x( (x2+ x) ) ；解解 因为因为- -2a( (a+2) )= - -4a2- -4a- -2a2+4a ， 所以因式分解所以因式分解- -2a2+4a= - -2a( (a+2) )不正确不正确.（3） m2+ 3m+ 2 = ( (m+1)()(m+2) ) .解解 因为因为x( (x2+x) )=x3+x2x3+x2+x， 所以因式分解所以因式分解x3+x2+x=x( (x2+x) )不正确不正确.解解 因为因为( (m+1)()(m+2) )=m2+3m+2， 所以因式分解所以因式分解m2+3m+2=( (m+1)()(m+2

16、) )正确正确.现在学习的是第20页，共24页解解: ab-ac=a(b-c): ab-ac=a(b-c) 当当a=3.14, b=2.386, c=1.386a=3.14, b=2.386, c=1.386时时, , 原式原式=3.14=3.14(2.386-1.386) =3.14拓展延伸拓展延伸1. 当当a=3.14，b=2.386，c=1.386时，求时，求abac的值。的值。现在学习的是第21页，共24页 2(1)8787 132 2：计算：计算 22(2)10199 3.3.若若 则则101,99xy222_xxyy=87（87+13）=(101+99)(101-99)4=8700

17、=2002=400 2(1)8787 132 2：计算：计算 22(2)10199 3.3.若若 则则101,99xy222_xxyy 2(1)8787 132 2：计算：计算 22(2)10199 3.3.若若 则则101,99xy222_xxyy 2(1)8787 132 2：计算：计算 22(2)10199 3.3.若若 则则101,99xy222_xxyy现在学习的是第22页，共24页规律总结规律总结 整式的整式的乘法乘法是把是把几个整式的积几个整式的积变为变为多项式多项式的形式，的形式，特征是向着特征是向着积化和差积化和差的形式发展；的形式发展； 多项式的多项式的分解因式分解因式是把一个是把一个多项式多项式化为化为几个整几个整式乘积式乘积的形式，特征是向着的形式，特征是向着和差化积和差化积的形式发展的形式发展. . 分解因式要注意以下几点分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是分解的对象必须是多项式多项式. 2.分解的分解的结果一定是几个整式的乘积结果一定是几个整式的乘积的形式的形式. 现在学习的是第23页，共24页 若若n是整数是整数,证明证明 (2n+1)2-(2n-1)2是是8的倍数的倍数.探究探究n n2 2+n+n是奇数还是偶数？是奇数还是偶数？252517175 51212能被能被120120整除吗整除吗? ?现在学习的是第24页，共24页