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1、第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第1 1页页四章节中值定理与导数应用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第2 2页页一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理1.费马引理费马引理 第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19
2、/202211/19/2022第第3 3页页2.罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第4 4页页几何解释几何解释:第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第5 5页页注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,又例如又例如,第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第6
3、6页页第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第7 7页页二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第8 8页页几何解释几何解释:第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第1111页页第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第1212页页证明
4、恒等式的一般方法证明恒等式的一般方法第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第1313页页第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第1515页页三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第1616页页几何解释几何解释:第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第
5、第1717页页第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第2020页页小结小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第2121页页2.设且在内可导,证明至少存在
6、一点使提示提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第2222页页3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第2626页页备用题备用题求证存在使1.设 可导，且在连续，证证:设辅助函数因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即使得第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用 嘉兴学院嘉兴学院11/19/202211/19/2022第第2727页页设 证明对任意有证证：2.不妨设