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1、第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系观察与思考：观察与思考：函数单调增加函数单调增加函数单调减少函数单调减少 函数的单调性与导数的符号有什么关系？函数的单调性与导数的符号有什么关系？函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。小于零。函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系观察结果：观察结果：函数单调减少函数单调减少函数单调增加函数单调增加定理定理证证应用拉格朗日定理应用拉格朗日定理,得得例例1 1
2、解解例例2 2解解例例3 3解解例例4 4解解例例4 4解解也可用列表的方式，也可用列表的方式，导数等于零的点和不可导点，可能导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点是单调区间的分界点方法方法:注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响不影响区间的单调性区间的单调性.例如例如,y-2O2-4-224x y=x3 驻点驻点例例5 5证证利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式即原式成立。即原式成立。例例6 6证证由连续函数的零点存在定理知，由连续函数的零点存在定理知，利用函数的单调性讨论方程的根。利用函数的单调性讨论方程的根。例例7 7证证小结小结单调性的判别
3、是拉格朗日中值定理定理的单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点NABM观察与思考观察与思考：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？定定义义一一 如如果果在在某某区区间间内内，曲曲线线弧弧位位于于其其上上任任意意一一点点的的
4、切切线线的的上上方方，则则称称曲曲线线在在这这个个区区间间内内是是凹凹的的；如如果果在在某某区区间间内内，曲曲线线弧弧位位于于其其上上任任意意一一点点的的切切线线的的下下方方，则称曲线在这个区间内是则称曲线在这个区间内是凸凸的。的。曲线凹向的定义曲线凹向的定义凹的凹的凸的凸的曲线凹向的定义曲线凹向的定义凹的凹的凸的凸的图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的所张弦的上方：凸的图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的下方：凹的所张弦的下方：凹的定义二定义二观察与思考：观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点拐点凹的凹的
5、凸的凸的当曲线是凹的时，当曲线是凹的时，f (x)单调增加。单调增加。当曲线是凸的时，当曲线是凸的时，f (x)单调减少。单调减少。曲线凹向的判定曲线凹向的判定曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点拐点。定理定理例例8 8解解x yO例例9 9解解上凹上凹下凹下凹上凹上凹拐点拐点拐点拐点例例1010解解拐点的求法：拐点的求法：1.1.找出二阶导数为零的点或不可导点；找出二阶导数为零的点或不可导点；2.2.若它两边的二阶导数值异号若它两边的二阶导数值异号,则为拐点则为拐点,若同号则不是拐点若同号则不是拐点.例例1111解解利用函数图形的凹凸性利用函数图形的凹凸性,证明不等式证明不等式 例例1212证证练习：练习：P151 习题习题3-43.(1)(4)(5)(7)4.(1)(4)7.(1)(4)8.(1)(4)9.(3)10.-2-112-2-112Ox y 解：解：f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。当x(-,-1)时，f(x)0，函数f(x)在(-,-1)内单调增加；当x(-1,1)时，f(x)0，函数f(x)在(1,+)内单调增加。