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1、第三章第三章 微分中值定理与微分中值定理与导数的应用导数的应用 微分中值定理的核心是微分中值定理的核心是拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理，中值定理，费马定理费马定理是它的预备定理，是它的预备定理，罗尔定理罗尔定理是它的特例，是它的特例，柯西定理柯西定理是它的推广。是它的推广。1.1.预备定理预备定理费马费马(Fermat)定理定理 费马（费马（Fermat，1601-1665），），法国人，与笛卡尔共法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节第一节 微分中值定理微分中值定理几何解释几何解释:证明证明:几何
2、解释几何解释:2.2.罗尔罗尔(Rolle)定理定理xO yCx aby f(x)AB 如果连续光滑的曲线如果连续光滑的曲线 y f(x)在在端点端点 A、B 处的处的纵坐标相等。那么，在纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点曲线弧上至少有一点 C(x x,f(x x)，曲线在曲线在 C点点的切线平行于的切线平行于 x 轴。轴。如如果果函函数数y f(x)满满足足条条件件：(1)在在闭闭区区间间a,b上上连连续续，(2)在在开开区区间间(a,b)内内可可导导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点则至少存在一点x x(a,b)，使得使得f (x x)0。证证由费马引理由费马引理,注意：注意：如
3、果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。f(x)不满足条件不满足条件(1)BxO yAab f(x)不满足条件不满足条件(3)xO yABab f(x)不满足条件不满足条件(2)xO yABabc例例1 1验证验证 例例2 2 不不求求导导数数，判判断断函函数数f(x)(x-1)(x-2)(x-3)的的导导数数有几个零点，以及其所在范围。有几个零点，以及其所在范围。解解 f(1)f(2)f(3)0，f(x)在在1,2，2,3上上满满足足罗罗尔定理的三个条件。尔定理的三个条件。在在(1,2)内至少存在一点内至少存在一点 x x1，使使 f (x x1)0，x x1是是 f (x)
4、的一个零点。的一个零点。在在(2,3)内内至至少少存存在在一一点点 x x2，使使f (x x2)0，x x2也也是是f (x)的一个零点。的一个零点。f (x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间间(1,2)及及(2,3)内。内。可导可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。函数的两个零点之间必有其导数的零点。如果函数如果函数f(x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，(2)在开区间在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点内可导，则至少存在一点x x(a,b)内，使内，使得得几何意义：几何意义：C2h xO yABaby=f(x)C
5、1x 3.3.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理证明证明作辅助函数作辅助函数 例例3 3拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.或或特别地特别地,或或拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：推论推论1 1证明证明推论推论2 2证明证明例例4 4证证由推论由推论1知知,例例5 5利用拉格朗日定理可利用拉格朗日定理可证明不等式证明不等式.证证例例6 6证证由上式得由上式得例例7 7证证类似可证：类似可证：特别，特别，4.4.柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理 设函数设函数f(x)及及g(x)满足条件：满足条件：(1)在闭区间
6、在闭区间a,b上连续，上连续，(2)在开区间在开区间(a,b)内可导，内可导，(3)在在(a,b)内内任任何何一一点点处处g(x)均均不不为为零，零，则至少存在一点则至少存在一点x x(a，b)内，使得内，使得如如果果取取g(x)x，那那么么柯柯西西中中值值定定理理就就变变成成了了拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理.说明说明：xO yAB f(b)f(a)g(a)g(b)C1g(x)C2g(h)柯西中值定理的几何意义柯西中值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为由参数方程确定的函数的导数为直线直线AB的斜率为的斜率为曲线在点曲线在点C1和和C2的的斜率为斜率为证明证明 易知易知 F(x)在在 a,b 上满足罗尔定理的全部条件，因此，上满足罗尔定理的全部条件，因此，至少存在一点至少存在一点 x x (a,b)，使使作辅助函数作辅助函数 练习：练习：P132 习题习题3-12.6.改为改为:7.9.11.(2)改为改为:证证