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1、一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理1. 费马引理费马引理 . 0)()()()()()()()(0000000 xfxfxfxfxfxUxxxUxxf那么，或，有处可导，如果对任意的并且在内有定义，的某邻域在点设函数证明证明 作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件xF. 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精
2、确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理)()()()(0000 xxxfxxfdyyxfxf注意注意：函数在点：函数在点 的微分是表示函数在
3、点的微分是表示函数在点 的增量的近似值。的增量的近似值。0 x0 x.)(,)(是一个常数上在区间那末导数恒为零上的在区间如果函数定理IxfIxf).11(2arccosarcsin4xxx证明例证明恒等式的一般方法证明恒等式的一般方法.1,0)(33值并求满足定理的上的正确性，在区间中值定理对函数验证例xxfLagrange.)1ln(1,05xxxxx 时证明当例)0.()()(,)(6axfaxfLimKxfLimxx求设例xoy )()(xfYxFX)(xFNM)(aFA)(bFB)(2 F)(1 Fxoy)(xfy ABx1 2 MN).()()()(axabafbfafy 弦弦AB
4、的一般的一般方程为方程为弦弦AB的参数的参数方程方程为为)()()()()()()(aFxFaFbFafbfafy)()()()(aFbFafbfdXdY在参数方程下，弦在参数方程下，弦AB的斜率的斜率为为柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF满满足足( (1 1) )在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, , ( (2 2) )在开区间在开区间),(ba内可导内可导, , ( (3 3) ) 对对),(ba内每一点内每一点均均有有)(xF不为零，不为零，那么那么在在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使等式使等式 )()()
5、()()()( FfaFbFafbf 成立成立. . 三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD.端点的连线该点处的切线平行于两，在上，至少存在一点连续曲线弧CAB几何解释几何解释:.2ln4)1ln(arctan12172成立时，不等式，证明当例xxx.)(1)0()()()()(8xexffxfxfxf则，且满足关系式内，在证明：若函数例).10( ,)()(0)0()0()0(0)(9)()1(！证明：，试用柯西中值定理阶导数，且具有的某邻域内在设函数例nxfxxffffnxxfynnn证：证：
6、1111,)(0)0()()(nnnnnfxfxfxxf在在(0,x)之间，之间，22221111111,) 1()(0)0()()( nnnnnnfnnffnf在在 之间，之间，), 0(1.在在(0,x)之间，之间，nnnnnfxxf,)()(!)(因此，因此，, 10 ,xn从而有从而有) 10( ,)()(!)(nxfxxfnn小结小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注
7、意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.2. 设,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(3. 若)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: 设,0)()(2121xxxfxf欲证:, ),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0 )(exxxf作辅助函数, )(e)(xfxFx验证)(xF在,21xx上满足罗尔定理条件.费
8、马费马(1601 1665)费马 法国数学家, 他是一位律师, 数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博览群书并善于思考, 在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 .引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献, 近百余年来, 数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.柯西柯西(178
9、9 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 备用题备用题求证存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 设 1 , 0可导，且,0) 1 (f在连续，) 1 ,0()(xf证证: 设辅助函数)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在显然)(x在 上满足罗尔定理条件, 1 , 0)(即0)()(ffn使得)()(1ffnnn00)0(,0)( fxf设 证明对任意0, 021xx有)()()(2121xfxfxxf证证：210 xx )()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx2.不妨设 )0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x11)(xf