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1、五节极限运算法则 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、无穷小的运算性质一、无穷小的运算性质证证定理定理1 在自变量的同一过程中在自变量的同一过程中,两个无穷小的两个无穷小的和与差仍是无穷小和与差仍是无穷小.(1)即证即证:(2)即即定理定理2 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,有界量乘有界量乘以无穷小仍是无穷小以无穷小仍是无穷小.证证即证即证:(4)(3)即即推论推论注意注意无穷多个无穷小的和不一定是无穷小无穷多个无穷小的和不一定是无
2、穷小.推论推论 有限个无穷小的和有限个无穷小的和,差差,积仍是无穷小积仍是无穷小.例例:(有界量乘以无穷小仍是无穷小有界量乘以无穷小仍是无穷小)二、极限运算法则二、极限运算法则定理定理33证证由函数极限与无穷小的关系由函数极限与无穷小的关系,得得(5)(6)由函数极限与无穷小的关系由函数极限与无穷小的关系,得得1由函数极限与无穷小的关系由函数极限与无穷小的关系,得得类似可证：类似可证：2即即:(无穷小的运算性质无穷小的运算性质)3从而有从而有推论推论由函数极限与无穷小的关系由函数极限与无穷小的关系,得得(有界量乘无穷小有界量乘无穷小)注注由定理由定理3得得定理定理5证证 对于数列的极限也有类似
3、的运算法则对于数列的极限也有类似的运算法则.见书上见书上P45,定理定理4.又由函数极限的性质得又由函数极限的性质得解解例例1 1 求求三、求极限的方法举例三、求极限的方法举例例例2 2解解小结小结:解解例例3 3(约去零因子约去零因子)解解(分母有理化分母有理化)例例4 4解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例5 5例例6 6解解解解例例7 7解解例例8 8（无穷小与无穷大的关系）（无穷小与无穷大的关系）小结小结:例例9 9解解例例1010解解(有界量乘无穷小有界量乘无穷小)又又解解先通分，再求极限先通分，再求极限例例1111例例1212解解左
4、右极限存在且相等左右极限存在且相等,证证定理定理6(复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则)因而有因而有例例1313注注在定理在定理6 6的条件下有的条件下有解解注注1注注2四、小结四、小结1.极限的运算法则极限的运算法则2.极限的求法：极限的求法：(1).用极限的运算法则用极限的运算法则;(2).用约去零因子法用约去零因子法;(3).用分子有理化用分子有理化,分母有理化分母有理化;(4).利用无穷小与无穷大的关系利用无穷小与无穷大的关系;(5).利用无穷小的性质利用无穷小的性质;(6).利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.(7).换元法换元法作业作业 P49习题习题1-5，1,2,3.思考：思考：4，5下次课讨论下次课讨论