第五节极限运算法则课件.ppt

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1、第五节极限运算法则1第1页，此课件共28页哦一、无穷小的运算性质一、无穷小的运算性质【教材上证明的是【教材上证明的是xx0时的情形】时的情形】【定理【定理1 1】有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【证】【证】,时时的的两两个个无无穷穷小小是是当当及及设设 x 使使得得,0,0,021 XX;21 时时恒恒有有当当Xx;22 时恒有时恒有当当Xx,max21XXX 取取恒有恒有时时当当,Xx 22 ,)(0 x考虑两个无穷小之和，且仅证考虑两个无穷小之和，且仅证 的情形的情形 x1）和的性质）和的性质2第2页，此课件共28页哦【注意】【注意】无穷多个无穷小的代数和未必

2、是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.，是是无无穷穷小小时时 1,)1(nn .,1 1非无穷小非无穷小之和为之和为个个但但nn小小时时的的无无穷穷都都是是 ,2,1 )2(222 nnnnn22221 nnnn 但但)111(limnnnn n个个11lim n)(时时 n22)1(nnn 22)1(nnn 21【例如】【例如】非无穷小非无穷小3第3页，此课件共28页哦【证】【证】【定理【定理2】有界函数】有界函数 与无穷小与无穷小 的乘积是无穷小的乘积是无穷小.u【分析】【分析】0,0 需需证证 u,0 0时时当当 xx（仅证（仅证 时）时）0 xx（注：（注：M为定值）为定值）2）

3、乘积的性质乘积的性质设设,),(10 xx Mu 又设又设,0lim0 xx即即,0 ,02 当当),(20 xx 时时,有有M 取取 ,min21 则当则当),(0 xx 时时,就有就有 u u MM【证完】【证完】故故,0lim0 uxx即即 u是是0 xx 时的无穷小时的无穷小.4第4页，此课件共28页哦【推论【推论1】有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.【推论【推论2】常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.【推论【推论3】有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如

4、都是无穷小都是无穷小【例【例1】.sinlimxxx 求求【解】【解】xxysin ;1sin x01lim xx由定理由定理 2 可知：可知：.0sinlim xxx【说明【说明】y=0 是是xxysin 的渐近线的渐近线.5第5页，此课件共28页哦二、极限的运算法则二、极限的运算法则【定理【定理3】.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设【证】【证】.)(lim,)(limBxgAxf .0,0.)(,)(其中其中BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得以下符

5、号以下符号lim表示自变量的同一变化过程表示自变量的同一变化过程推广到推广到有限项有限项【声明】【声明】1.函数极限运算法则函数极限运算法则6第6页，此课件共28页哦)()()(BAxgxf .0.)1(成立成立)()()(BAxgxf ABBA )()(BA.0.)2(成立成立BAxgxf)()(BABA )(BBAB.0 AB0)(lim 0 Bxgxx由由于于由第三节定理由第三节定理3*得得,)(0 xU 时时当当)(0 xUx 2)(Bxg 7第7页，此课件共28页哦【推论【推论1】).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提

6、到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果【推论【推论2】,211)(1 2BBBBB 故故有界，有界，.)3(成立成立BBxg21)(1 即即函数和函数和,差差,积积,商的极限等于极限的和商的极限等于极限的和,差差,积积,商商.8第8页，此课件共28页哦【定理【定理4】设数列设数列 ,nnyx【注意】【注意】定理定理3及其两个推论成立的前提条件是：及其两个推论成立的前提条件是：“f(x)与与g(x)的极限存在的极限存在”若若 lim，Axnn Bynn lim则则BAyxnnn )(lim )1(B

7、Ayxnnn lim )2(0 ),2,1(0 ,lim )3(BnyBAyxnnnn且且当当2.数列极限运算法则数列极限运算法则【提示】【提示】因数列是一种特殊的函数因数列是一种特殊的函数,故此定理故此定理4 可由可由定理定理3（x情形）与海因定理直接得出结论情形）与海因定理直接得出结论.9第9页，此课件共28页哦【定理【定理5】)()(xx 如如果果bx )(lim )(lim ax 而而 ba 则则【证】【证】令令)()()(xxxf 则则0)(xf由定理由定理3可知可知 )()(lim)(limxxxf baxx )(lim)(lim 由第三节函数极限的由第三节函数极限的局部保号性局部

8、保号性的推论可知的推论可知0)(lim xf 0 ba ba 【证完】【证完】3.极限保序性极限保序性10第10页，此课件共28页哦【例【例2】.531lim232 xxxx求求【解】【解】)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 ,03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 求极限方法举例求极限方法举例11第11页，此课件共28页哦【小结】【小结】则则有有设设多多项项式式,)(.1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)

9、lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设有有理理分分式式函函数数,0)(,)()()(.20 xQxQxPxF)(lim)(lim)(lim000 xQxPxFxxxxxx)()(00 xQxP).(0 xF .,0)(0则则商商的的法法则则不不能能应应用用若若 xQ需特别注意需特别注意12第12页，此课件共28页哦【解】【解】商的法则不能用商的法则不能用1432lim21 xxxx.030 【例【例3】.3214lim21 xxxx求求.3214lim 21 xxxx),01(为为型型”“【方法】无穷大的倒数法【方法】无穷大的倒数法 x=

10、1 时时分母分母=0,分子分子0,但因但因13第13页，此课件共28页哦)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx【解】【解】【例【例4】.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x.1 后后再再求求极极限限因因子子先先约约去去不不为为零零的的无无穷穷小小 x31lim1 xxx.21)00(型型【方法】消去零因子法【方法】消去零因子法在在x1（但（但x1）时是相同）时是相同的函数的函数,故而极限相等故而极限相等)00(型型14第14页，此课件共28页哦【例【例5】.147532lim2323 xxxxx求求【解】【解】.,

11、分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小除分子分母除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72【方法】【方法】抓大头（以消除不定性）抓大头（以消除不定性）无穷小量分出法无穷小量分出法)(型型 15第15页，此课件共28页哦【小结】【小结】以分子、分母中自变量的最高次幂除分子以分子、分母中自变量的最高次幂除分子,分母分母,以分以分出无穷小出无穷小,然后再求极限的方法，称之然后再求极限的方法，称之.【无穷小量分出法】【无穷小量分出法】分式求极限一般有如下结果：分式求极限一般有如下

12、结果：为非负常数为非负常数)nmba,0(00 mn 当当mmmxaxaxa 110limnnnbxbxb 110,00ba,0,mn 当当mn 当当16第16页，此课件共28页哦【例【例6】).21(lim222nnnnn 求求【解】【解】,是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时 n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.【方法】先变形再求极限法【方法】先变形再求极限法17第17页，此课件共28页哦【小结】无穷多项和或积的极限的一般解法是：【小结】无穷多项和或积的极限的一般解法是：利用夹

13、逼准则（第六节内容介绍）利用夹逼准则（第六节内容介绍）把无限和或积通过恒等变形化为有限表达式再求之把无限和或积通过恒等变形化为有限表达式再求之.详见高等数学学习指导详见高等数学学习指导P21 例例19【特别注意】【特别注意】含无穷多项和或积的极限，不能逐项求极含无穷多项和或积的极限，不能逐项求极限限.应先写为有限表达式，再求极限应先写为有限表达式，再求极限.18第18页，此课件共28页哦【例【例7】).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy【解】【解】,0两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点 x)1(lim)(lim00 xxf

14、xx ,1)1(lim)(lim200 xxfxx,1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,.1)(lim0 xfx故故【方法】分段函数在分界点的极限，一般考察左右极限【方法】分段函数在分界点的极限，一般考察左右极限.19第19页，此课件共28页哦三、复合函数的极限法则三、复合函数的极限法则.)(lim)(lim)()(lim)(),()(lim)(00000000000AufxgfxxxgfAufuxgxUxuxguxxxguuuxxuuxx 时的极限也存在，且时的极限也存在，且当当则复合函数则复合函数，又，又时，时，但在但在，即，即于于时的极限存在且等时的极限存在且等当当法则）设法则）设

15、（复合函数的极限运算（复合函数的极限运算【分析】【分析】需证需证时时，当当 0 ,0,00 xx有有 Axgf)(1.【定理【定理6】20第20页，此课件共28页哦【证明】【证明】Aufuu)(lim 0时时，当当 0 ,0,0 0 uu有有 Auf)(0)(lim 0uxgxx 又又 0 对上述对上述 ,01 有有 0)(uxg,),(00时时又由假设又由假设 xUx 0)(uxg 10,min 取取（1）（2）0 10时时当当 xx21第21页，此课件共28页哦)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu)(xgu 令令)(lim00 xguxx【意义】【意义】（换元法求极限）（换元法求极

16、限）,0 0时时则则当当 xx（1）（）（2）两式同时成立两式同时成立即即.)(000成成立立 uuuxg从而从而 AufAxgf)()(此即此即 )(lim)(lim00Aufxgfuuxx 【证完】【证完】22第22页，此课件共28页哦【注意】【注意】为方便记忆，定理为方便记忆，定理6可简单的叙述为可简单的叙述为内层函数极限存在、外层函数极限也存在，则内层函数极限存在、外层函数极限也存在，则复合后的函数极限必存在复合后的函数极限必存在.(.(不严格不严格)若定理若定理6中中,)(lim)(0 xgxxx则类似可得则类似可得 )(lim)(0 xgfxxxAufu )(lim2、【、【方法】

17、方法】直接代入法直接代入法.lim;213lim10212eexxxx 如如23第23页，此课件共28页哦【例【例8】.lim333axaxax 求求【解】【解】axaxaxax 3233)()(lim原式原式3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令【方法】先有理化后可变为【方法】先有理化后可变为定式定式)00(未定式未定式型型24第24页，此课件共28页哦三、小结1.【极限运算法则】【极限运算法则】(1)无穷小运算性质无穷小运算性质(2)极限四则运算法则极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件25第25页

18、，此课件共28页哦(4)复合函数极限求法复合函数极限求法设中间变量设中间变量(2)利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限(3)利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限2.【求函数极限的方法】【求函数极限的方法】(1)多项式、分式函数极限求法多项式、分式函数极限求法1)xx0时时,用代入法用代入法(分母不为分母不为 0)2)xx0时时,对对00型型,消去无穷小公因子消去无穷小公因子3)x时时,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“抓大头抓大头”无穷小因子分出法无穷小因子分出法26第26页，此课件共28页哦【思考题】【思考题】在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为什是否有极限？为什么？么？（提示：用反证法）（提示：用反证法）)(xf)(xg)()(xgxf 27第27页，此课件共28页哦【思考题解答】【思考题解答】没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf)(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：)()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误28第28页，此课件共28页哦