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1、 第一章 二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节极限运算法则时时,有有一、一、无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和.设设当当时时,有有当当时时,有有取取则当则当因此因此这说明当这说明当时时,为为无穷小量无穷小量.（合肥工大（合肥工大P31P31定理）定理）说明说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，例如，(P56,题题 4(2)解答见课件第二节解答见课件第二
2、节 例例5类似可证类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小无穷小之和仍为无穷小.定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证:设设又设又设即即当当时时,有有取取则当则当时时,就有就有故故即即是是时的时的无穷小无穷小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小.例例1.求求解解:利用定理利用定理 2 可知可知说明说明:y=0 是是的的渐近线渐近线.二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有则有证证:因因则有则有(其其中中为为无穷小无穷小)于是于是由由定理定理 1
3、可知可知也是无穷小也是无穷小,再利用极限与无穷小再利用极限与无穷小的关系定理的关系定理,知定理结论成立知定理结论成立.定理定理 3.若若推论推论:若若且且则则(同济同济P45 定理定理 5)（合肥工大（合肥工大P28 推论推论2）利用保号性定理证明利用保号性定理证明.说明说明:定理定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形可推广到有限个函数相加、减的情形.提示提示:令令定理定理 4.若若则有则有提示提示:利用极限与无穷小关系定理及本节利用极限与无穷小关系定理及本节定理定理2 证明证明.说明说明:定理定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论 1.(C 为常数为
4、常数)推论推论 2.(n 为正整数为正整数)例例2.设设 n 次多项式次多项式试证试证证证:为为无穷小无穷小(详见详见P44)定理定理 5.若若且且 B0,则有则有证证:因因有有其中其中设设无穷小无穷小有界有界因此因此由极限与无穷小关系定理由极限与无穷小关系定理,得得为为无穷小无穷小,定理定理6.若若则有则有提示提示:因为数列是一种特殊的函数因为数列是一种特殊的函数,故此定理故此定理 可由可由定理定理3,4,5 直接得出结论直接得出结论.x=3 时分母为时分母为 0!例例3.设有分式函数设有分式函数其中其中都是都是多项式多项式,试证试证:证证:说明说明:若若不能直接用商的运算法则不能直接用商的
5、运算法则.例例4.若若例例5.求求解解:x=1 时时分母分母=0,分子分子0,但因但因例例6.求求解解:时时,分子分子分子分母同除以分子分母同除以则则分母分母“抓大头抓大头”原式原式一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数为非负常数)(如如P47 例例5)(如如P47 例例6)(如如P47 例例7)三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7.设设且且 x 满足满足时时,又又则有则有证证:当当时时,有有当当时时,有有对上述对上述取取则当则当时时故故因此因此式成立式成立.（合肥工大合肥工大P28P28定理定理3 3）定理定理7.设设且且 x 满足满足时时,又又则有则有 说明说
6、明:若定理中若定理中则类似可得则类似可得例例7.求求解解:令令已知已知(见见 P46 例例3)原式原式=(见见 P33 例例5)例例8.求求解解:方法方法 1则则令令 原式原式方法方法 2内容小结内容小结1.极限运算法则极限运算法则(1)无穷小运算法则无穷小运算法则(2)极限四则运算法则极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件2.求函数极限的方法求函数极限的方法(1)分式函数极限求法分式函数极限求法时时,用代入法用代入法(分母不为分母不为 0)时时,对对型型,约去公因子约去公因子时时,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“抓大头抓大头”(2)复合函数极限求法复合函数极限求法设设中间变量中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7思考及练习思考及练习1.是否存在是否存在?为什么为什么?答答:不存在不存在.否则由否则由利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知存在存在,与与已知条件已知条件矛盾矛盾.解解:原式原式2.问问3.求求解法解法 1 原原式式=解法解法 2 令令则则原原式式=4.试确定常数试确定常数 a 使使解解:令令则则故故因此因此备用题备用题 设设解解:利用前一极限式可令利用前一极限式可令再利用后一极限式再利用后一极限式,得得可见可见是多项式是多项式,且且求求故故问问: