《2022年复变函数论作业及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年复变函数论作业及答案.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载习题 1 第一章 复数与复变函数1.zz123213i 求|z| ,Argz 22解：1321223Argz=arctan2 1+2k=32 k, k0,12 ,z 1z 2及z 123i,试用指数形式表示2已知z 11i,z22z2解：z 11ie4i12i1e5i22z3i2e6i所以z 1z 22e6ie4i2ez 1e4ii1e46i12z 26a222 e0 3 解二项方程z 4a40解由z4a40得z 4a4就二次方程的根为名师归纳总结 w k41aa（k=0,1,2,3 ）i第 1 页,共 9 页 =i e2k（
2、k=0,1,2,3 ）4aw 0i e4aa 1+i 2w 1i e2e3iaa 1442- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - w 254iaa 1i精品资料欢迎下载e2名师归纳总结 w 374iaa1iy32y 32第 2 页,共 9 页e24 . 设1z 、z 是两个复数,求证：|z 1z2|2|z 12 |z 2|22Rez 1z 2,证明：z 1z 22z 1z 2z 1z 2z 12z 22z 1z 2z 2z 1z 12z 22z 1z 2z 1z 2z 12z 222Rez 1z 25 设z , z , z 三点适合条件：z 1z 2z 30
3、及z 1z 2z 31试证明z , z , z 是一个内接于单位圆周z1的正三角形的顶点；证明：设z 1x 1iy ,z2x 2iy ,z 3x3iy3由于z 1z 2z 30x 1x2x 30,y 1y 2y30x 1x2x ,y 1y2y 3又由于z 1z 2z 31三点z ,z , z 在单位圆周上,且有2 x 1y 12x 22y 22x23y 1而2 x 12 y 1x 2x 32y 2y 32x 2x 32y 2y 3212x x 3y y 31同理2 x 1x2y1y22x x 1 3y y 1 32x x 2 3y y 2 31可知x 1x 22y 1y 22x 2x 32y
4、2y 32x 1x 32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即z 1z 2z 2z 3z 1z 3精品资料欢迎下载z , z ,z 是一个内接于单位圆周z1的正三角形的顶点得证；X 6以下关系表示的点z 的轨迹是什么图形？他是不是区域？（1）z11z1令 zxiy , 由z1z1得z12z12即x12x12, 所以x0, 故以虚轴为左界的右半平面 ; 是区域（2） 0arg z14且 2Rez3y 解: 由 0arg z14且 2Rez3得: 0arctanxy14且 2x3; 不0 1 2 3 即为如图阴影所示（不包括上下边界）是区域；7. 证明： z
5、 平面上的直线方程可以写成azazc a 是非零复常数, c 是实常数 证明：设直线方程的一般形式为：ax+by+c=0 a,b,c均是实常数,a,b 不全为零 由于： x = z z , y = z z 代入简化得：2 21 a bi z 1 a bi z c 02 2令1 a bi 0 得 z z c2反之（逆推可得）设有方程 z z c （复数 0 ,c 是常数）用 z x iy 代入上式,且令 1 a bi 化简即得；28. 试证：复平面上三点 a+bi,0, 1 共直线；a bi1证明： 由于 a bi a bi = 2 12（实数）0 a bi a b所以三点共直线；9求下面方程给
6、出的曲线名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - z=acostisint精品资料欢迎下载解: 令 z= xiy=acostisint得 x=a cost,y=bsintxiy,wuiv. 就有x2y21, 故曲线为一椭圆 .a2b2z10函数 w= 1 将 z 平面上曲线变成zw平面上的什么曲线（1）x + 22 y =4解: 由于x + 2y = 2z = 4 , 又由于 2 w=1 = zx1iy=xxiy2=1xiy2y4所以uvx,vy2y2144就u212x164这表示在 w平面上以原点为圆心 ,（2）x11 为
7、半径的一个圆周 . 2名师归纳总结 解: 将x1代入变换 uiv =x1iy, 得 uiv =11iy=1iyzz0第 4 页,共 9 页1y2于是 u =112,v1y2, yy且u2v21y22112u.y21y故 u 2u v 20 解得 u 1 22这表示 w 平面上的一个以 1 ,022 1v4 为圆心 , 12为半径的圆周 . （3）x2 1y21解：由于x2 1y21即x22x y20即 . zz将z1及z1代入得：ww- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 1 .w w110即精品资料ww欢迎下载1www ww w因此 w w 11u v
8、 可任意取值 2表示 w 平面上平行于虚轴的直线；11. 求证：f z arg z z 0 在全平面除去原点和负实轴的区域上连续,在负实轴上不连续 . 证 设 0z 为全平面除去原点和负实轴的区域上任意一点 .考虑充分小的正数,使角形区域 arg z 0 arg z 0 与负实轴不相交 ,从图上立刻可以看出 ,以0z 为中心 , 0z 到射线 arg z 0 的距离为半径所作的圆盘 ,肯定落在上述角形区域内,这就是说 ,只要取 0 z 0 sin .那么当 z z 0 时就有 arg z arg z 0 .因此 argz 在 z 为连续 .再由 0z 的任意性 ,知 f z arg z在所述区
9、域内为连续 . 设 1x 是负实轴上任意一点 ,就limarg z x 1 z 及 l i m a r g z x 1Im z 0 I m z 0故 argz在负实轴上为不连续 . （如下图）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12. 命函数 fzx2xy2z0精品资料欢迎下载y0z0fz1kk试证： fz在原点不连续；证明： fzx2xy2z0y0z0当点 zxyi 沿 ykx 趋于z0时,当 k 取不同值时, fz 趋于不同的数fz 在原点处不连续；13. 已知流体在某点 M的速度 v=-1-i ,求其大小和方向；
10、名师归纳总结 解1大小： |v|=1 1 =2 ；2ei3；第 6 页,共 9 页方向： arg v=arctan 1 1414. i2 cos4isin4；4i1cos2sin2ei；211cos0isin00 ie；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22 cosisini 2 e；精品资料欢迎下载i3 i 3 cos2 sin2 3 e 2；i2 k i i仍有 e 2 i , e 1, e 1（ k 为整数）15. 将复数 1-cos +isin 化为指数形式；解 原式 =2sin 2 +2isin cos =2sin sin i cos2 2
11、2 2 2 2i =2sin cos i sin =2sin e 2 22 2 2 2 2 216. 对于复数 .,如 =0,就 . 至少有一为零 . 试证之；证 如 =0,就必 | |=0 ,因而 | | |=0. 由实数域中的对应结果知 | |.| | 至少有一为零 . 所以 . 至少有一为零 . 17. 运算 38 . 解 因-8=-8 cos isin , 故3 8 k = 3 8 cos3 2 k + i sin3 2 k . k=0,1,2 当 k=0 时, 3 8 = 0 3 8cos i sin 3 3 = 2 1i 3 1 i 3;2 2当 k=1 时, 38 1 2cos
12、i sin 2;当 k=2 时, 3 8 2 2cos 5 i sin 5 2cos i sin 1 i 3.3 3 3 3,2 2 218. 设 1z 及 z 是两个复数, 试证 z 1 z 2 z 1 z 2 2 Re z 1 z 2 并应用此等式证明三角不等式 1.2 ；证：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - z 1z22z 1z2z 1z2精品资料欢迎下载z 1 z 2 z 1 z 2z 1 z 1 z 2 z 2 z 1 z 2 z 1 z 22 2z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 22 2z 1
13、z 2 2 Re z 1 z 2其次,由所证等式以及 2 Re z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 就可导出三角不等式 1.2 ；19. 连接 1z 及 2z 两点的线段的参数方程为z z 1 t z 2 z 1 0 t 1过 1z 及 2z 两点的直线的参数方程为z z 1 t z 2 z 1 t由此可知 , 三点 1z 2z z 共线的充要条件为z 3 z 1t t 为一非零实数 z 2 z 1Im z 3 z 1 0z 2 z 120求证：三个复数 1z ,z ,3z 成为一个等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式量证 ：z 1z 2z 32 z 12 z 22 z 3
14、z2z 3z 3z 1z 1z 2；绕1z 旋转3或3即得向是等边三角形的充要条件为：向量z 1z 2z 3z 1z 2z 1e3i,z 1z 3,也就是即z 3z 113i,z 2z 122即名师归纳总结 z 3z 113i,第 8 页,共 9 页z 2z 122- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载两端平方化简,即得2 2 2z 1 z 2 z 3 z 2 z 3 z 3 z 1 z 1 z 2；21. 试证：点集 E 的边界 E 是闭集；即证E E；证：设 z 为的聚点；取 z 的任意 邻域 N z,就存在 z0 z 使得 z0 N
15、 z 且z0 E；在 N z 内能画出以 0z 为心,充分小半径的圆；这时由 z0 E 可见,在此圆内属于 E 的点和不属于 E 的点都存在；于是,在 N z 内属于 E的点和不属于 E 的点都存在,故 z E；因此 E 是闭集；222. 设有函数 =z , 试问它把 z 平面上的以下曲线分别变成 平面上的何种曲线？（1）以原点为心, 2 为半径,在第一象限里的圆弧；（2）倾角 的直线（可以看成两条射线 arg z 及 arg z）；3 3 3（3）双曲线 x 2 -y 2 =4. 解 设 z = x iy r cos i sin , u iv R cos i sin , 就 R r ,2,由此,（1）当 z 的模为 2,辐角由 0 变至 时,对应的 的模为 4,辐角由 0 变2至 . 故在 平面上的对应图形为：以原点为心,4 为半径,在 u 轴上方的半圆周. 名师归纳总结 （2）倾角3的直线在平面上对应的图形为射线2. x2y24第 9 页,共 9 页3（3）因z2x2y22xyi ,故ux22 y ,所以 z平面上的双曲线在平面上的像为直线u4. - - - - - - -