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1、西 安 交 通 大 学 考 试 题课程复变函数与积分变换 (B 卷)解答系别考 试 日 期2006 年1 月日专业班号姓名学号期中期末一、解答下列各题（每小题5 分，共 60 分）1、解： Cauchy-Riemann方程，yay2，bxax2，解出2a，1b. 2、解：)1 (2(ln2exp()1 (2exp()1(2iiArgiiLniiiexp(2 (ln2(2)4exp(4)(ln 2)2iikni)2sin(ln)2(cos(ln42ien；其中Zn；其主值为)2sin(ln)2(cos(ln2ie. 2、解：用 Cauchy 积分公式，2sin2|)sin(22sin22eize
2、idzzzezzCz. 4、解：用高阶导数公式，iieidzzezzCz44! 22|)6(! 2260)2(2325、解：2sin2cos)2sin2(cosniniinn，12cosnnn和12sinnnn的收敛性分别与12coskkk和112)21sin(kkk的相同，由高等数学中的 Leibniz 判别法，后两个级数收敛，故前两个也收敛，所以1nnni收敛。成绩精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页共4 页第 1 页6、解：记55nncn，则1|1nncc（ n） ，所以收敛半径为1。7、解：1)(zezg的零点
3、为ik2（Zk） ，显然它们都是孤立零点；而01)2( 2ikeikg，所以这些点都是)(zg的 1 级零点；但其中0z是分子2z的 2 级零点，所以，0z是函数f的可去奇点，其他的ik2（0, kZk）都是f的 1 级极点 . 8、解：0z是f的 1 级极点，所以220sinsinRes( ), 0Res, 0lim()1zzzezezf zzzz. 9、解：1)(2zzzf在复平面上有两个奇点i，i，且都包含在曲线C 内；由留数定理，2222(Res,Res,)111Czzzdziiizzziiiiii2)22(210、解：由分式线性映射的保圆性，以及zzw1在 C 上无奇点，知映射zzw
4、1将 C 变成圆周 . 由zzw1，得11wz，而1| : zC，故象曲线为1|1|w；或1)1(22vu. 11、解： )(tu=)(1j， tsin=)1() 1(j，所以)(tf= )(tu + tsin=)(1j+)1() 1(j精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页共 4 页第 2 页12、解：tsin=112s，由 Laplace变换的微分性质 , L tt sin)(=)11(2sdsd，所以L tt sin=222) 1(2)11(sssdsd；L ttetsin=22) 1)1()1(2ss. 二、解：
5、在圆环域1|1|0z上的 Laurent级数为01) 1() 1(11)1(1111) 1)(2(1)(nnnzzzzzzzf；在圆环域|1|1z上的 Laurent级数为111111111)1(111) 1)(2(1)(zzzzzzzzf20)11() 1()11()1(1111nnnnnnzzzz三、解：显然满足0) 1(1z，1)0(1z，) 1(1z的分式线性映射111zzz. 可把0)Im(, 1| :zzz变成角形域2arg0:11zz；而212zz可将该角形域变成上半平面0)Im(:22zz；而izizw22可将 0)Im(:22zz变成单位圆盘 1| :ww；故它们的复合映射2
6、22222)1() 1()1() 1()11()11(zizzizizzizzw即为满足要求的一个映射. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页共 4 页第 3 页四、解：有理函数)4)(1(1)(22zzzf的分母次数 =分子次数 +4，且该函数在在实轴上无奇点，而在上半平面仅有两个奇点i，i2；故dxxxx)4)(1(cos22=)2,)4)(1(Re,)4)(1(Re2)4)(1(222222izzesizzesidxxxeizizix)63()126(22121eeieiei五、解：设)(tx=)(sX，方程两边求 Laplace变换，得到sssXssXsXs111)(2)()(2；将(0)(0)0 xx代入，得sssXss111)()2(2；解出)1111121(21)1)(2(1)111()(sssssssssX；求 Laplace逆变换，得到)1(21)(2ttteeetx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页共 4 页第 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页