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1、多练出技巧巧思出硕果浙江海洋学院2012-2013 学年第 2 学期复变函数课程期末考试卷（A）（适用班级：B11 数学考试时间： 120 分钟一二三四五六七八九十总 分一选择题（ 4 分5=20 分）1. 设1cos+isin33z，则arg z（B ）A. 3B. 6C. 3D. 232. 设C为正向圆周1z，sin2nCzdziz，则整数 n为（D ）A. 1B. 0C. 1D. 23. 设2( )32f zziz, 则)(zf的零点个数为（C ）A. 0B. 1C. 2D. 34. 2sin i（C ）A. 1()ee iB. 1()ee iC. 1()eeiD. 1ee5. z是函数
2、1( )1zzefze的（D ）A. 可去奇点B. 一阶极点C. 本质奇点D. 非孤立奇点二 判断题（42 分=8分） (1)如果( , ),( ,)u x yv x y在区域D内都可导 , 则函数( )( ,)( ,)f zu x yiv x y在区域D内可导 . (2) 因为1( )f zz在圆域112z内解析 , 所以)(zf是该圆域内的整函数. 学院专业班级姓名学号订精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页多练出技巧巧思出硕果(3) 设12( ),( )fzfz在 区 域D内 解 析 , nzD, 且12()(),
3、 (1,2,)nnf zfzn, 则1( )fz与2( )fz在区域D内恒等 . (4) 方程52590zz在单位圆1z内无根 . 三填空题（ 44 分=16 分）1. 复数33izi的三角表示式为c o ss i n33i. 2. 设( )( , )( , )f zu x yiv x y是解析函数，若( , )u x yy，则( )fzi. 3. 若在幂级数0nnnc z中，1lim34nnncic，则该幂级数的收敛半径为_15_. 4. 2401Rezzesz_43_. 四如果函数( )if zuv在区域D内解析，证明( )i f z在区域D内也解析 . （7 分）证明：因为函数( )if
4、 zuv在区域D内解析 , 所以 , ,u v在D内具有连续的偏导数, 且, xyyxuvuv. 而( )i f zviu, 所 以 , ,vu在D内 具 有 连 续 的 偏 导 数 , 且() , ()xyyxvuvu. 满足 C-R 方程 . 即( )i f z在区域D内也解析 .五. 计算积分（ 5 分4=20分）1. 22sin4d1zzzz解: 22221111sinsinsinsinsin44444d2(ReRe)2()11122zzzzzzzzzzzissizzzzz2 i2. 1522433d(1) (2)zzzzz解：1515224322433d2Re(1) (2)(1) (
5、2)zzzzziszzzz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页多练出技巧巧思出硕果152224300224311( )12Re2Re11(1) (21)( )1) ( )2)ttttisisttttt2 i3. 设 C 为正向圆周2z, sin3( )Cf zdz, 求(1)f解：sin3( )2sin, (2)3Cf zdizzz所以( )2cos, (2)33fzizz即2(1)3fi4. 求积分edzzz的值, 其中为正向单位圆周 : 1z. 从而证明cos0ecos(sin )d. 解：0ed22zzzzi e
6、iz. 1z的参数方程为, - ize, cossincoseede(cos(sin)sin(sin)ziiizie diidzec o sc o se( co s( si n)esi n ( si n) )idd所以cose(cos(sin )2d从而cos0ecos(sin )d. 六将函数21( )1()(2)2f zzzz在圆环102z内展为洛朗级数 . （8 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页多练出技巧巧思出硕果22212101121112111( )()(2)11323212()(2)122221(2
7、)32nnnnf zzzzzzzzzzz七 （15 分）（1）求i22e( )(1)(4)zf zzz在上半z平面的所有孤立奇点；并说明它们的类型；（2）求( )f z在上半平面内各个孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分220cosd(1)(4)xIxxx解: (1),2zizi各为一阶极点(2) 12Re( )()(4)6izz iz iees f zzizi, 2222Re( )(2 )(1)12izziziees f zzizi(3) 222d2(Re( )Re( )(1)(4)ixz iziexis f zs f zxx12122()(2)6126eeieeii. 所以220co
8、sd(1)(4)xIxxx12(2)12ee.八 （6 分）设函数( )f z在 zR内解析，令( )max( ) (0rR)zrM rf z. 试证：( )M r在区间 0,R 上是一个上升函数，且若存在1r 及212 (0,)rr rR ，使得12( )()M rM r，则( )fz常数.证明 : 由最大模原理, 显然( )M r在区间 0,R 上是一个上升函数. 若存在12rr ，使得12( )()M rM r，即在2zr 内存在点1z ，使得12()( )f zM r，即在内点取得最大模，由最大模原理，( )f z常数.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页