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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一元二次方程根的分布一学问要点二次方程 ax 2 bx c 0 的根从几何意义上来说就是抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴交点的横坐标,所以讨论方程 ax 2bx c 0 的实根的情形,可从 y ax 2bx c 的图象上进行讨论如在 , 内讨论方程 ax 2 bx c 0 的实根情形, 只需考察函数 y ax 2 bx c 与 x 轴交点个数及交点横坐标的符号,依据判别式以及韦达定理,由 y ax 2 bx c 的系数可判定出 , x 1 x 2 , x 1 x 2 的符号,从而判定出实根的情形如在
2、区间m ,n 内讨论二次方程ax2bxc0,就需由二次函数图象与区间关系来确定表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情形）况分 布 情两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0,x 10,x 20x 10,x 20一个大于 0x 10x 2大 致 图 象（00f00a）0论得 出 的 结b 2 a0b02af00f00大 致 图 象（00f00a）0得 出b0b0的 结 论2a2af00f00（不 讨 论 a）综 合 结 论00af00b 2 a0b02aa f00af00 第 1 页,共 6 页 1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -
3、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -表二：（两根与 k 的大小比较）a分 布 情 况0两根都小于k即k两根都大于k即一个根小于 k ,一个大于k即x 1k,x 2kx 1k,x 2kx 1kx 2大 致 图 象（0kk）0得 出 的 结b 2 akb 2 akfk0论fk0fk0a大 致 图 象（0）得 出 的 结 论fb0kfb0kfk02 a2ak0k0综b0k0b0k0afk0 第 2 页,共 6 页 合 结 论（不 讨 论 a）2 a2aa fka fk细心整理归纳 精选
4、学习资料 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -表三：（根在区间上的分布）a分 布 情 况0两根都在m,n内两根有且仅有一根在m,n内一根在m,n内,另一根在p,q（图象有两种情形,只画了一种）内,mnpq大 致 图 象0fm0（）a得 出 的0mfm0nfmfn0f n0或fmfn0fn0fp0fpfq0结 论bf q0大 致 图 象（2a）得 出 的 结 论mf00nfmfn0fm0或fmfn0mf n0fn0fp0fpfq0bf q02a综f
5、mfn0fmfn0 第 3 页,共 6 页 合 结 论（不 讨 论 a）3 fpfq0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -根在区间上的分布仍有一种情形：两根分别在区间m,n外,即在区间两侧x 1m x 2n ,（图形分别如下）需满意的条件是（1）a0时,fm0；（2）a0时,fm0fn0fn0对以上的根的分布表中一些特别情形作说明：两根有且仅有一根在m,n内有以下特别情形：不成立,但对于这种情形是知道了方程有一根为以1如f
6、 m0或fn0,就此时fmfn0m,n内,从而可以求出参数的值；如方程m 或 n ,可以求出另外一根,然后可以依据另一根在区间一根,因为f10,所2 mxm2x20在区间1,3上有2 mxm2x2x1mx2,另一根为2,由123得2 3m2即为所求；mm2方程有且只有一根,且这个根在区间m,n内,即0 ,此时由0可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如如不在,舍去相应的参数；如 方 程x24mx2m60有 且 一 根 在 区 间3,0内 , 求 m 的 取 值 范 围 ； 分 析 ： 由f3f00即 14 m15m30得出3m15；由0即2 16
7、m4 2 m60得出14m1或m3,当m1时,根x23,0,即m1满意题意； 当m3时,根x33,0,22故m3不满意题意；综上分析,得出3m15或m1214细心整理归纳 精选学习资料 4 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -二例题选讲（ 1）两个根在实数2k 的同一侧x2 m3 0 mR 有两个负根,求m 的取值范畴例 1已知方程4 x2 m1 （ 2）两个根在实数k 的异侧例 2：求实数 m 的范畴,使关于x 的方程2 x
8、2 m1x2m60（）有两个实根,且一个比大,一个比小（）有两个实根,且满意014（）至少有一个正根（ 3）在区间m ,n有且只有一个实根例 3：已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0.如方程有两根,其中一根在区间1,0内,另一根在区间1,2内,求 m 的范畴 . （ 4）在区间m ,n有两个实根例 4：已知方程x 2 + 3m-1x + 3 m-2=0 的两个根都属于 -3, 3 ,且其中至少有一个根小于1,求 m 的取值范畴（ 5）在区间m,n有实根例 5已知 a 是实数,函数f x 2 2 ax2 x3a ,假如函数yf x 在区间11, 上有零点,求 a 的取值范畴细心整理
9、归纳 精选学习资料 5 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -三巩固练习1已知二次方程3 m1 x22m3 xm40有且只有一个实根属于 -1, 1 ,求 m 的取值范畴2已知二次方程2m1 x22mxm1 0有且只有一个实根属于（1,2）,且x,1 x2都不是方程的根,求 m 的取值范畴3已知二次方程m1x23 m4xm10的两个根都属于（1,1）,求 m 的取值范畴4如关于 x 的方程 x 2+a-1x+1=0 有两相异实根,且两根均在区间0,2 上,求实数a 的取值范畴细心整理归纳 精选学习资料 6 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -