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1、,第八节 二 次 函 数,2.掌握二次函数的最值及性质；,考纲要求,1.理解二次函数的概念及图像的特征；,1二次函数的三种表示形式 一般式： 顶点式： , 其中 为抛物线的顶点坐标 两根式： ， 其中 是抛物线与x轴交点的横坐标,yax2bxc(a0),ya(xx1)(xx2),x1，x2,ya(xh)2k(a0),(h，k),2二次函数的图象和性质,b0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数,3.三个二次的关系,xx2,xx1,x1x2x0,x|xx1或,xx2,x|xx0,一元二次方程根的分布,考虑：a0的一元二次方程，当二次项 系数小于0时，先化为正。,强调：把一元二次方程化为标准形式： ax
2、2+bx+c=0 (a0),一元二次方程根的分布1：零分布 （1）有两正根 （2）有两负根 （3）一正一负 一元二次方程根的分布2：k分布 （1）有两个大于k的根 （2）有两个小于k的根 （3）一个大于k，一个小于k （4）有一个根在区间(k1,k2)内 （5）区间(k1,k2)内有两个根,x,y,O,x,y,O,命题方向1 二次方程根的分布,例题1 二次函数 ，设 的两个实根 . (1)如果,解：(1) 当 时，,方程,（舍去）,（2）如果 ，设函数 图像的对称轴为 ，求证：,例2 已知函数 的图像经过 两点,如图所示,且函数 的值域为0,9,过动点 作 轴的垂线，垂足为A，连线OP.,(1
3、)求函数 的解析式；,(2)记 的面积为S，求S的最大值；,解：由已知及图像可得函数 的对称轴 ,顶点(3,9),由上表可得当 时，三角形面积取得最大值.,即,命题方向2 与二次函数有关的综合问题,命题方向3 数学思想方法在二次函数最值中应用,例3 已知 ，求 的最小值.,1.二次函数的性质,(1)定义在R上的二次函数f(x)与x轴有两个交点(-1,0),(2,0), 若f(0)0，则f(x)有最_值(填“大”或“小”). (2)若f(x)=ax2+bx+2b0的解集为(-1,2)，则实数b的取值范围是_.(3)已知二次函数f(x)的二次项系数为1，且满足f(1-x)=f(1+x), f(2)
4、=-1，则f(x)=_.(4)若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数，则f(x)的单调递增区间为_.,2.二次方程根的分布,(1)函数f(x)=-x2+2ax+2-a，若f(x)=0在-1,1上的根只有一个，则a应满足的条件是_. (2)函数f(x)=x2-x-3的图象被x轴截得的弦长是_. (3)设f(x)=x2+px+q，且f(1)=f(2)=0，则f(x)0的解集为_. (4)若关于x的方程ax2+x+a+1=0有一个负实数根，则实数a的取值范围是_.,3.二次函数性质的应用,(1)函数f(x)=x2-4x-1(0x5)的值域是_. (2)若函数f(x)=x2-2(2+a)x+1在-1,+)上是增函数，则实数a的取值范围是_. (3)若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)-xf(-x)=2x，则方程f(x)=0的根为_.,