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1、关于一元二次方程根的分布讲课现在学习的是第1页，共34页 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点一、复习现在学习的是第2页，共34页结论结论零点存在定理零点存在定理(1) (1) 函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的一条曲线：一条曲线：(2) f(a)(2) f(a)f(b)0f(b)0）的 根的分布21212(3)40:300mmxxmx xm 法101mm1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)两根均为正根（
2、负根）224(3)40003022bacmmfmbma 法2:（ ）yx1x2ox现在学习的是第5页，共34页例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （2）有两个负根2121 2(3)40300mmxxmx xm 9mm现在学习的是第6页，共34页2.一元二次方程ax2+bx+c=0一根为正,另一根为负x1x2yoxx1x2yox 00f0a：2）（法法000fa）（或af（0） 000121acxx：法现在学习的是第7页，共34页问题的引入：问题的引入：1 1、若关于、若关于x x的方程的方程 的两的两 个根都大于个根都大于1 1，则实数，则实数 的取值范围的取值范围 是是 . . 2
3、2、关于、关于x x的方程的方程 的两个的两个 根均大于根均大于 - 2- 2小于小于4 4，求实数，求实数 的取值范的取值范围围. .03)2(2xmxmm0) 1(222mmxx现在学习的是第8页，共34页问题的解决：问题的解决：例例1 1、若关于、若关于x x的方程的方程 的两个根都大于的两个根都大于1 1，则实数则实数 的取值范围是的取值范围是 . . 分析分析（1 1）方程有根，与方程有根，与 有关有关. .仅仅靠韦达定理是不够仅仅靠韦达定理是不够的的. . (2) (2)方程有什么样的根，可以结合对应的二次函数图象方程有什么样的根，可以结合对应的二次函数图象, ,数数形结合解决形结
4、合解决. .此时与此时与 有有 有关，有关，及及 有关有关. .03)2(2xmxm判别式判别式端点的函数值端点的函数值对称轴对称轴 如图，函数如图，函数 的图象决定着：的图象决定着：（1）最小值的正负，与判别式有关）最小值的正负，与判别式有关;（2）对称轴；）对称轴；（3）函数值）函数值 的正负的正负.) 1 (f现在学习的是第9页，共34页问题的解决：问题的解决：例例1 1、若关于、若关于x x的方程的方程 的两个根都的两个根都大于大于1 1，则实数，则实数 的取值范围是的取值范围是 . . 03)2(2xmxm12206) 1 (012)2(2mmfm3226m解：令 ，则 3)2()(
5、2xmxxf现在学习的是第10页，共34页问题的解决：问题的解决： 例例2 2、关于、关于x x的方程的方程 的两个根均大于的两个根均大于 - 2- 2小小于于4 4，求实数，求实数 m m 的取值范围的取值范围. . 解：令解：令 ，则，则 所以所以, ,实数实数m m的取值范围是的取值范围是 . .)3 , 1(0) 1(222mmxx) 1(2)(22mmxxxf420158)4(034)2(0) 1(442222mmmfmmfmm31m现在学习的是第11页，共34页问题的解决：其实问题的解决：其实, ,有那么复杂吗有那么复杂吗? ? 例例2 2、关于、关于x x的方程的方程 的两个根均
6、大于的两个根均大于 - 2- 2小于小于4 4，求实数，求实数 m m 的取值范围的取值范围. .另解另解: : 原方程的两个根分别为原方程的两个根分别为 而而 ， 所以所以 ，由此可得，由此可得 . . 所以所以, ,实数实数m m的取值范围是的取值范围是 . .)3 , 1(0) 1(222mmxx11mm1, 1mm4121mm31m现在学习的是第12页，共34页问题的启示：学会具体问题具体分析问题的启示：学会具体问题具体分析. . 对于这道题而言对于这道题而言, ,后一种办法比较简单后一种办法比较简单, ,但是要但是要会前一种通法会前一种通法. . 例如例如, , 关于关于x x的方程
7、的方程 在区间在区间 上有两个不同的解上有两个不同的解, , 求实数求实数 的的 取值取值范围范围. . 用后一种方法解答比较困难用后一种方法解答比较困难. . 两种方法都要会两种方法都要会, ,我们提倡具体问题具体分析我们提倡具体问题具体分析, ,哪一种解法简单就用哪一种哪一种解法简单就用哪一种. . 04) 1(2xmx3 , 0m现在学习的是第13页，共34页问题的根源：方程根的分布问题，问题的根源：方程根的分布问题， 与对与对应的二次函数图象有关应的二次函数图象有关. .（1 1） 函数的性质决定函数的图象函数的性质决定函数的图象, ,函数的图函数的图象反映函数的性质象反映函数的性质.
8、 . （2 2）方程有根，与）方程有根，与判别式判别式有关有关. .对应的二次函对应的二次函数图象与数图象与 轴有交点轴有交点. .（3 3）方程有什么样的根，与）方程有什么样的根，与端点的函数值端点的函数值有关，有关，与二次函数图象的与二次函数图象的对称轴对称轴有关有关. .仅仅靠韦达仅仅靠韦达定理是不够的定理是不够的. . 注注: :抛物线就象一根电线抛物线就象一根电线, ,函数值（包括最函数值（包括最小值）就象铆钉一样小值）就象铆钉一样, ,决定着它的走向决定着它的走向. . x现在学习的是第14页，共34页结论：我们从上面的例子总结一下解决这类问 题的步骤：1.1.根据题意大致画出对应
9、的二次函数的图象根据题意大致画出对应的二次函数的图象。2.2.列出不等式组列出不等式组( (一般重点考虑下面四个方面一般重点考虑下面四个方面) ) 判别式判别式 对称轴对称轴 端点端点 开口方向开口方向3.3.解不等式组，得出结论。解不等式组，得出结论。思路说明现在学习的是第15页，共34页意控制三个量：要注二次方程的根的分布，讨论一般地，利用二次函数端点函数值对称轴现在学习的是第16页，共34页考虑：考虑：a0的一元二次方程，当二次项的一元二次方程，当二次项系数小于系数小于0时，先化为正。时，先化为正。强调：把一元二次方程化为强调：把一元二次方程化为标准形式标准形式： ax2+bx+c=0
10、(a0)现在学习的是第17页，共34页一、若关于一、若关于x的方程的方程ax2 +bx + c=0(a0)的两个根都小于的两个根都小于m，求求a,b,c满足的条件。满足的条件。1xy01xm2x02( )0bmaf m 类型一：类型一：2( )(0)f xaxbxca 现在学习的是第18页，共34页二、若关于二、若关于x的方程的方程ax2 +bx + c=0(a0)的一个根大于的一个根大于m,另一另一个根小个根小m,求求a,b,c满足的条件。满足的条件。xy0m( )0f m 类型二：类型二：2( )(0)f xaxbxca 现在学习的是第19页，共34页例例3、若关于、若关于x的方程的方程3
11、kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于的两根一个小于1，另一根大于，另一根大于1，试试求实数求实数k 的取值范围。的取值范围。1xy0123时当0k0) 1 (f由图象得：4 k0k时当0k0) 1 (f由图象得：4 k4k04kk或综上得：2423)(2kxkxxf解：设现在学习的是第20页，共34页例例1、若关于、若关于x的方程的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于的两根一个小于1，另一根大于，另一根大于1，试试求实数求实数k 的取值范围。的取值范围。1xy01230) 1 (kf由图象得：04kk或解得：2423)(2kxkxxf解：设现在学习的是第21页，共34页三、若关于
12、三、若关于x的方程的方程ax2 +bx + c=0(a0)的一个根在的一个根在 (m,n)，另一根在另一根在(p,q)，求求a,b,c满足的条件。满足的条件。1xy0pmqn0)()(0)()(qfpfnfmf类型三：类型三：2( )(0)f xaxbxca 现在学习的是第22页，共34页例例4、若关于、若关于x的方程的方程3x2-5x+a=0的一根大于的一根大于-2而小于而小于0，另一根大于，另一根大于1而小于而小于3，试求实数，试求实数a 的取值范围。的取值范围。axxxf53)(2解：令0)3()1(0)0()2(ffff. 012a解得1xy01230)12()2(0)22aaaa（现
13、在学习的是第23页，共34页四、若关于四、若关于x的方程的方程ax2 +bx + c=0(a0)有且仅有有且仅有一个根在一个根在 (m,n) ，求求a,b,c满足的条件。满足的条件。xy0mn( ) ( )0f m f n 类型四：类型四：2( )(0)f xaxbxca 220)f(k220)(212211kkabkkabkf或或现在学习的是第24页，共34页五、若关于五、若关于x的方程的方程ax2 +bx + c=0(a0)的两个根都在的两个根都在 (m，n)内内,求求a,b,c满足的条件。满足的条件。1xy0mn0)(0)(20nfmfnabm类型五：类型五：2( )(0)f xaxbx
14、ca 现在学习的是第25页，共34页例例4、已知关于、已知关于x的方程的方程4x2-4x+m=0在在-1，1上上有两个根，求有两个根，求m的取值范围。的取值范围。1xy01mxxxf44)(2解：令0) 1 (01616fm由图象知：10m现在学习的是第26页，共34页一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布 （一）与（一）与0比较比较 （1）有两正根）有两正根 （2）有两负根）有两负根 （3）一正一负）一正一负 （二）与（二）与k比较比较 （1）有两个大于）有两个大于k的根的根 （2）有两个小于）有两个小于k的根的根 （3）一个大于）一个大于k，一个小于，一个小于k （4）有一个根在区间）有
15、一个根在区间(k1,k2)内内 （5）区间）区间(k1,k2)内有两个根内有两个根现在学习的是第27页，共34页一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布两个正根 两个负根一正根一负根一根为零 一正一负，且负的绝对值大 0acxx0abxx021210acxx0abxx02121021abxx0acxx0abxx02121C0 考虑：判别式、两根之和、两根之积现在学习的是第28页，共34页一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布0)(20kfkab0)(20kfkab两个根都小于k两个根都大于k一个根小于一个根小于k,k,一个根大一个根大于于k k yxkoyxko
16、yxkof(k)0）的 根的分布两个根都在（两个根都在（k1 , k2 )内内两个根有且仅有一个两个根有且仅有一个在在(k1 , k2 )内内x1k1 k2 x2 0)(0)(202121kfkfkabk0)(0)(21kfkfyxk2ok1yxk2ok1yxk2ok112( ) ()0f kf k考虑：判别式、开口方向、对称轴、端点值的正负220)f(k220)(212211kkabkkabkf或或现在学习的是第30页，共34页的取值范围。求实数满足、两根的的方程、若关于练习pppxpxx, 21002)13(71221xy02如图解：因为, 21002)13(22802)13(702222pppppppp304221ppppp或或4312pp或0)2(0) 1 (0)0(fff现在学习的是第31页，共34页xy0312110) 1(0f解：要使方程有根，则02310449kk25169k的范围。上有实根，求，在、若练习kkxx 1102322现在学习的是第32页，共34页xy0312110) 1(0f解：要使方程有根，则02310449kk25169k的范围。上有实根，求，在、若练习kkxx 1102342现在学习的是第33页，共34页感谢大家观看现在学习的是第34页，共34页