《2022年平面向量中“三点共线定理”妙用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年平面向量中“三点共线定理”妙用.docx（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平面对量中“ 三点共线定理” 妙用对平面内任意的两个向量a ,b b0 ,a/b的充要条件是：存在唯独的实数,使ab由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理： 在平面中 A、B、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的 O,存在唯独的一对实数x,y 使得：OPxOAyOB 且xy1；特殊地有： 当点 P在线段 AB上时,x0,y00当点 P 在线段 AB之外时,xy笔者在经过多年高三复习教学中发觉,运用平面对量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得非常简洁！本文将通过讨论
2、一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面对量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用 , 供同行沟通；例 1（06 年江西高考题理科第 7 题）已知等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn,如OB a OA 1 a 200 OC,且 A、B、C三点共线,（设直线不过点 O）,就 S200=（）A100 B101 C200 D201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1, S 200 200 a 1 a 200 100 , 应选 A；2点评： 此题把平面三点共线问题与等差数列求和问题奇妙地结合在一起,是一道经典的高考题；名师归纳总结 例 2 已知 P 是ABC 的边 BC 上的任一
3、点,且满意APxxAByAC,x .yxR,就14第 1 页,共 8 页xy的最小值是4xy 4y54解：点 P落在ABC 的边 BC上B,P,C 三点共线A Px A Byxy1且 x0,y01y4x1y41x14 x yy x1 yxy4x24,取等号时x0,y0y0,4x0由基本不等式可知：yy4xxyxyxy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y4 xy24x2y2学习必备y0y2欢迎下载1x1,y2,符合xx0,xxyxy33所以14的最小值为 9 xy点评： 此题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式奇妙地结合在一起,较综合考查了同学
4、基本功 . 例 3（湖北省 2022 届高三八校第一次联考理科）如图2,在 ABC中,AN1NC ,点 P 是 BC上的一点,如AP2mAB2 11AC ,就实数 m的图 2 3值为（）A9 11B. 5 C. 3 D. 2111111ACmAB24ANmAB8 11AN解：B P N 三点共线,又APmAB1111m81m3,应选 C1111例 4（07 年江西高考题理科）如图3,在 ABC中,点 O是 BC的中点,过点 O的直名师归纳总结 线分别交直线AB、AC 于不同的两点M、N,如 AB m AM , AC n AN ,就 mn第 2 页,共 8 页的值为解：由于 O是 BC的中点,故
5、连接AO,如图 4,由向量加法的平行四边形法就可知：AO1 2ABACABmAM, ACnAN图 3 AO1 2mAMnANAOmAMnAN22又M O N 三点共线,由平面内三点共线定理可得：m n12 2例 5（广东省 2022 届高三六校第三次联）如图mn2图 4 5 所示：点 G 是OAB 的重心, P 、 Q分别是边 OA 、 OB 上的动点,且P 、 G 、 Q 三点共线设OPx OA,OQyOB,证明：11是定值；xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：由于 G是学习必备欢迎下载OAB 的重心,OG21OAOB1OAOB1 yOQ图
6、5 323OPxOAOA1OPOQyOBOBxOG1 OAOB1 1 3 xOP1OQOG1OP1OQ3y3x3y又P G Q 三点共线,11111311 y为定值 3 3x3yxyx例 6（汕头市东山中学2022 届高三其次次模拟考试）如图6 所示,在平行四边形 ABCD中,AE1AB ,AF1AD ,CE 与 BF 相交于 G图 6 34点,记 ABa , ADb ,就 AG_A2 7a1bB. 2 7a3b C. 3a1b D. 4a2b777777分析 ：此题是以平面几何为背景,为载体,求向量的问题,所以我们很简洁联 想到点 F、G、B 以及 E,G,C 三点在一条直线上,可用平面内三
7、点共线定理求解；解：E G C 三点共线,由平面内三点共线定理可得：存在唯独的一对实数x 使得使得AGxAE1x AC, AE1AB1a , ACab33AGx1a1xab 12xa1x b 33又F G B 三点共线,由平面内三点共线定理可得：存在唯独的一对实数AGAB1AFAF1AD1b ,44AGa11b 4由两式可得：1412 xx6AG3a1b731x3777点评：此题的解法中由两组三点共线（F、G、B 以及 E,G,C 三点在一条直线上）,C 名师归纳总结 A N M P 第 3 页,共 8 页- - - - - - -B 精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备
8、 欢迎下载利用平面内三点共线定理构造方程组求解,防止了用的向量的加法和平面对理基本定懂得答此题的运算复杂,达到了简化解题过程的成效；例 6 的变式一： 如图 7 所示,在三角形 ABC 中,AM AB=1 3,AN AC=1 4,BN 与CM相交于点 P,且 AB a,AC b,试用 a 、 b 表示AP解：N P B 三点共线,由平面内三点共线定理可得：存在唯独的一对实数 图 7 x,y使得 AP xAB y AN x y 1 ,1 1 y y 1 xAN AC=1 4, AN AC b AP xAB AC xa b xa b 4 4 4 4 4又 C P M 三点共线,由平面内三点共线定理
9、可得： 存在唯独的一对实数 , 使得AP AM AC , 1AM AB=1 3AM 1AB 1a,3 3AP a b 1a b 3 3x 1 x 3由 两 式 可 得 ：3 11 x y 1, y 81 x 2 114 113 2AP a b11 11例 6 的变式二： 如图 8 所示：直线 l 过 ABCD的两条对角线 AC与 BD的交点 O,与 AD边交于点 N,与 AB的延长线交于点 M；又知 AB m AM , AD n AN ,就 mn= 图 8 解：由于点 O两条对角线 AC与 BD的交点,所以点 O为 AC的中点AO 1 AB AD AB m AM , AD n AN2AO 1
10、mAM nAN mAM nAN 又 M O N 三点共线,2 2 2m n由平面内三点共线的向量式定理可得：1 m n 22 2定理的推广：推广 1：如图9所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点 O与 P. 名师归纳总结 点 O,P 位于直线 AB异侧的充要条件是：存在唯独的一对实数x,y 图 9 第 4 页,共 8 页使得： OPxOAyOB 且xy1；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载推广 2：如图 10 所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点 O与 P. 点 O,P 位于直线AB 同侧的充要条件是：存在唯独的一对实数x,
11、y使得：OPxO AyOB且xy1；图 10 R , 如点 P 落在图 11 例7 已知点P 为ABC 所在平面内一点,且AP1ABt AC t3ABC 的内部,如图 11, 就实数 t 的取值范畴是（）A0,3B. 1 3 ,2 4 C. 0,1 D. 0,243解：点 P落在ABC 的内部A,P 两点在直线 BC的同一侧,由推论 2 知：1 3t1t2,所以选 D 3例 8（06 年湖南高考题文科）如图 12：OM AB,点 P 由射线名师归纳总结 OM、线段 OB及 AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）. 且B A OPx OAy OB,就实数对（ x, y）可以是（）M A1,3B
12、. 2,2 C. 1,3 D. 1,7O 图 12 4444第 5 页,共 8 页3355解：由题目的条件知：点O与点 P 在直线 AB的同侧,所以xy1,所以 A,D 两选项不符合；对于选项B、C,都有xy1, 但当x2时,3假如点 P 在直线 AB上,就由平面内三点共线的向量式定理可知：y53假如点 P 在直线 OM上,OM AB可知：OP|AB ,由平面对理共线定理可知：存在唯独的实数 t, 使得OPtABt OB OA tOAtOB,OPxOAyOBtx tyt2,y233又由于点 P 在两平行直线 AB、OM之间,所以2 3y5,故 B 选不符合；3对选项 C同理可知：当x1时,1
13、4y5,故y3符合,所以选 C 444例 9（06 年湖南高考题理科）如图13,OM AB,点 P在由射线OM、线段 OB及 AB的延长线围成的阴影区域内 不含边界 运- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载y3图 13 动, 且 OPxOAyOB , 当x1时, y 的取值范畴是 . 2解：当x1时,2假如点 P 在直线 AB上,就由平面内三点共线的向量式定理可知：2假如点 P 在直线 OM上,OM AB可知： OPAB ,由平面对理共线定理可知：存在唯独的实数 t, 使得OPtABt OB OA tOAtOB,OPxOAyOBtx tyt
14、1,y1,又由于点 P 在两平行直线 AB、OM之间,所以1 2y3,所以实数 y222的取值范畴是：1,322O练习：3.OAB ,点 P 在边 AB 上,AB3AP ,设OAa OBb,就 OP（）A . 1a 2b B . 2a 1b a b3 3 3 3A B1 2 2 1 PC . a b D . a b3 3 3 31、平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点 A3,1,B-1,3,如点 Cx, y满意 OC =OA +OB ,其中 ,R 且 +=1,就 x, y 所满意的关系式为（）A 3x+2y-11=0 Bx-1 2+ y-2 2=5 C2x-y=0 D x+2y-5=0
15、 2、已知 P 是 ABC 的边 BC 上的任一点,且满意 AP x AB y AC , x . y R,就 1 4x y的最小值是名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 、在平行四边形学习必备欢迎下载DE交 AC于点ABCD中, O是对角线 AC与 BD的交点, E 是 BC边的中点,连接F；已知AB=a AD=b., 就 OF= （） D1 6a +1bA1 3a+1b B 1 4a+bC1 6a+b644、2022 届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD 中, E、F 分别是BC、CD 的中点,
16、DE 交 AF 于 H,记 AB 、BC 分别为 a、b,就 AH E 是线段 OD 的中点, AEA 2 5a4 5bB2 5a4 5bC2 5a4 5bD2 5a4 5b5、（2022 年广东卷） 在平行四边形ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,名师归纳总结 的延长线与 CD 交于点 F 如 ACa , BDb ,就 AFb（）a2b第 7 页,共 8 页C1 2a1D1 3A1 4a1b B2 3a1b2343- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6、在平行四边形学习必备1欢迎下载a,ADb,ABCD 中,AE1AB AFAD ,CE 与 B
17、F 相交于点 G,记 AB34就 AG B2 7a3b1C3 7a1bD4 7a2 7ba OBb ,A 2 7a1b7777、在 ABO 中,已知OC1OA ODOB ,且 AD 与 BC 相交于点 M ,设OA42就OM_（结果用 a 与b表示）AB交于圆内一点D,如8、如下列图：A,B,C是圆O 上的三个点,CO 的延长线与线段OCxOAyOBy0就有：（）A .0xy1B xy1A xy1A .1x变式：如下列图：A,B,C 是圆 O 上的三个点, CO 的延长线与线段AB 的延长名师归纳总结 线交于圆外一点F,如 OCyxOAyOBy1A .1x第 8 页,共 8 页就有：（）1A xA .0xy1B x- - - - - - -